解析難點打開疑團

趙密密

一、 整式加減的實質是去括號、合并同類項，合并同類項是把同類項的系數相加減，而字母和字母的指數保持不變，因此，整式的加減最終要轉化為數的加減來解決.

例如：2x+5x-4x=（2+5-4）x，最終只需計算2+5-4. 利用轉化思想方法我們能把一個復雜的問題轉化為一個簡單的、容易解決的問題，把一個陌生的問題轉化為一個熟悉的問題.

例1 試說明多項式（4x+5x2+2x3-1）+（x2-2x+x3-4）-（3x3+6x2+2x-9）的值與x無關.

【分析】先按常規進行化簡，化簡后此多項式的結果不含x，那么就可以說明此多項式的值與x無關.

解：原式=4x+5x2+2x3-1+x2-2x+x3-4-3x3-6x2-2x+9

=（4x-2x-2x）+（5x2+x2-6x2）+（2x3+x3-3x3）+（-1-4+9）

=4.

所以原式的值與x無關.

【點評】多項式的值與多項式中某個（或某些）字母無關，就是該多項式經化簡后結果中不含這個（或這些）字母.

二、 有些數學問題，單獨求解困難，甚至不能解出.若認真分析題意、仔細觀察結構，把將要解決的問題看作一個整體，通過研究問題的整體形式、整體結構而做種種整體處理，就能達到順利而又簡捷地解決問題的目的.

例2 已知A=3a2+6ab-4b2，B=9a2+16ab-8b2，當3a2+8b2的值為11時，求8A-3B.

【分析】先把A、B的值整體代入8A-3B中，再去括號、合并，最后把3a2+8b2的值代入化簡后的式子計算即可.

解：8A-3B=8（3a2+6ab-4b2）-3（9a2+16ab-8b2）=-3a2-8b2.

∵3a2+8b2=11，

∴8A-3B=-11.

【點評】此題關鍵是將A，B的值整體代入（8A-3B）中，再去括號、合并，結果一定要轉化成含有（3a2+8b2）的代數式.

例3 已知m2-2mn=1，5mn-3n2=-2，求m2+8mn-6n2的值.

【分析】此題條件和所求代數式中都含有因式m2、mn、n2，可考慮對所求代數式進行變形，構造出m2-2mn、5mn-3n2，將其看成一個整體計算.

解：將多項式變形

m2+8mn-6n2

=m2-2mn+10mn-6n2

=（m2-2mn）+2（5mn-3n2）

=1-4

=-3.

【點評】此題考查了整體代入思想，運用此思想是數學解決問題的重要策略.

三、 含有絕對值符號的化簡求值問題，若已知條件涉及數軸，可借助數軸的直觀性先確定字母的值或取值范圍，然后化簡求值.

例4 有理數a，b，c在數軸上的位置如圖所示，化簡a+b-b-1-a-c-1-c的結果是_______.

【分析】先根據數軸判斷出a，b，c的正負情況以及絕對值的大小，然后判斷出（a+b），（b-1），（a-c），（1-c）的正負情況，再根據絕對值的性質去掉絕對值符號，合并同類項即可.

解：由圖可知，a+b<0，b-1<0，a-c<0，1-c>0，

∴原式=（-a-b）+（b-1）+（a-c）-（1-c）

=-a-b+b-1+a-c-1+c=-2.

【點評】數形結合是數學中一種非常重要的思想，它利用“數”與“形”各自的優點，互相補充，為我們解決問題創造便利.

四、 閱讀理解題是近幾年常考題之一，解決這類題要反復閱讀題目，探索閱讀材料中所蘊含的重要思想方法，運用數學思想方法來解決問題.

例5 閱讀材料：大數學家高斯在上學讀書時曾經研究過這樣一個問題：1+2+3+…+n=？經過研究，這個問題的一般性的結論是：

1+2+3+…+n=n（n+1）.

其中n是正整數.現在我們來研究一個類似的問題：1×2+2×3+…+n（n+1）=？

觀察下面三個特殊的等式

1×2=（1×2×3-0×1×2），

2×3=（2×3×4-1×2×3），

3×4=（3×4×5-2×3×4）.

將這三個等式的兩邊分別相加，可以得到1×2+2×3+3×4=×3×4×5=20.

讀完這段材料，請你思考后回答：

（1） 1×2+2×3+…+100×101；

（2） 1×2+2×3+…+n（n+1）；

（3） 1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）.

【分析】（1） 通過閱讀材料發現：

1×2+2×3+…+100×101

=（1×2×3-0×1×2+ 2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+…100×101×102-99×100×101）=（100×101×102-0×1×2）=×100×101×102=343 400；

（2） 仿上可得1×2+2×3+…+n（n+1）=n（n+1）（n+2）；

（3） 由此規律可以推出：

1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=n（n+1）（n+2）（n+3）.

解：（1） 343 400；

（2） n（n+1）（n+2）；

（3） n（n+1）（n+2）（n+3）.

【點評】此題設有固定的模式，注重閱讀，從中汲取知識，提高綜合素質，遇到這類題方能得心應手.

（作者單位：江蘇省淮安外國語學校）