研習代數式，感受數學思想及方法

賈蕓蕓

把握數學思想方法有利于學生對數學概念和性質的深刻理解和掌握，從而更加靈活地運用數學知識解答相關問題，培養創新能力和應用能力.在解題中常常需要求代數式的值，在求代數式值的過程中，常常滲透多種數學思想方法.本文通過一些具體例子，對代數式這一章所涉及的數學思想及方法作一個總結，與同學們一起感受數學思想方法在代數式化簡、求值問題中的威力.同時讓同學們體會一下什么是思想，什么是數學思想，數學思想及方法對數學研究意味著什么.

1. 感受用字母表示數的思想

用字母表示數的思想，是基本的數學思想之一.字母表示數是代數的基本特征，也是代數式產生的根本，它能將一些基本的數量關系簡明地表示出來，而且能給運算帶來方便.求代數式的值就是反過來把代數式中的字母用數替換，再按它的運算關系計算出結果，通過求代數式的值可以更好地感受到字母表示數的意義.課本中的文字表述題、實際應用題都體現了這種思想.

例1 （2014·四川樂山）蘋果的單價為a元/千克，香蕉的單價為b元/千克，買2千克蘋果和3千克香蕉共需_______元.

【考點】列代數式.

【分析】用單價乘數量得出買2千克蘋果和3千克香蕉的總價，再相加即可.

解：單價為a元的蘋果2千克用去2a元，單價為b元的香蕉3千克用去3b元，共用去：（2a+3b）元.

從特殊的、具體的、確定的數到一般的、抽象的字母或者含有字母的代數式，這是數學發展史上的一大飛躍.用字母表示數掌握的好壞直接關系到列代數式、代數式的運算、列方程解應用題等內容的學習.

2. 感受整體（換元）思想

在研究問題的過程中，不是從問題的某個局部入手，而是將問題看作一個完整的整體，把注意力和著眼點放在問題的整體結構上，通過研究整體形式、整體結構或整體處理，達到簡潔地解決問題的目的，這就是整體思想.

例2 （1） 當代數式5a+3b的值為6時，求代數式2（a+b）+4（2a+b）+2的值.

（2） 已知t=-，求代數式2（t2-t-1）-（t2-t-1）+3（t2-t-1）的值.

【考點】代數式求值.

【分析】第（1）題將所求的代數式先去括號化簡為2（5a+3b）+2，再將已知的值5a+3b作為一個整體代入. 第（2）題把（t2-t-1）當作一個整體進行合并同類項，化簡為4（t2-t-1），然后再代入求值顯然簡潔了許多.這兩題都滲透了“整體”和“換元”的思想.

解：（1） 2（a+b）+4（2a+b）+2=2（5a+3b）+2，把5a+3b=6代入得：2（5a+3b）+2=2×6+2=14.

（2） 原式=4（t2-t-1）.把t=-代入得：4（t2-t-1）=-1.

以上兩小題均采用了整體代入的思想，作為整體思想，對于剛進入中學的七年級學生而言是一個新接觸的內容，所以這里是個難點，平時要多練習、多思考、多總結.

3. 感受歸納思想

求代數式的值問題有些沒有直接給出代數式，而是只給出一些有規律的數、式子或圖形，讓我們去求很大數值時的對應值，就需要我們根據具體的數、式或圖歸納出它的規律，并用代數式表示，然后再歸納求值.

例3 （2014·湖南婁底）如圖是一組有規律的圖案，第1個圖案由4個▲組成，第2個圖案由7個▲組成，第3個圖案由10個▲組成，第4個圖案由13個▲組成，…，則第2 015個圖案由_______個▲組成.

【考點】規律型：圖形的變化類，代數式求值.

【分析】仔細觀察圖形，結合大三角形每條邊上的三角形的個數與圖形的序列數之間的關系發現圖形的變化規律，利用發現的規律求解即可.

解：觀察發現：

第一個圖形有3×2-3+1=4（個）三角形；

第二個圖形有3×3-3+1=7（個）三角形；

第一個圖形有3×4-3+1=10（個）三角形；

…

第n個圖形有3（n+1）-3+1=3n+1（個）三角形；

所以第2 015個圖形有3×2 015+1=6 046（個）三角形.

故答案為：6 046.

通過這一思維過程感受“從具體到抽象，由特殊到一般”的不完全歸納的思想方法.利用歸納出的規律求出當n=2015時代數式3n+1的值.

4. 感受數形結合的思想

“數形結合”是數學中最重要也是最基本的思想方法之一，是解決許多數學問題的有效思想，本章有很多內容都體現了數形結合的數學思想.

例4 （2014·貴州六盤水）如圖是一個運算程序的示意圖，若開始輸入x的值為81，則第2 014次輸出的結果為（ ）.

A. 1 B. 27 C. 9 D. 1

【考點】代數式求值、圖表型.

【分析】根據運算程序進行計算，然后得到規律.從第4次開始，偶數次運算輸出的結果是1，奇數次運算輸出的結果是3，然后解答即可.

解：第1次，×81=27，

第2次，×27=9，

第3次，×9=3，

第4次，×3=1，

第5次，1+2=3，

第6次，×3=1，…

依此類推，偶數次運算輸出的結果是1，奇數次運算輸出的結果是3，∵2014是偶數，∴第2014次輸出的結果為1. 故選D.

數形結合思想就是根據題設條件求解目標，將抽象的數學語言和直觀的圖形聯系起來，發揮形象思維與抽象思維各自的優勢，利用圖形特點和數的轉化去解決問題.它是一種重要的思想方法，本題程序問題體現了這種方法.

5. 感受分類討論思想

分類討論思想體現在數學學習的不同階段，剛開始學習有理數和實數時就涉及分類討論單位問題.在學習“代數式”中也涉及分類討論.

例5 某地出租車司機收費標準如下：3公里以內（含3公里）收費10元，超過3公里的部分每公里收費2元（不足1公里以1公里計算）.若乘坐n公里（n為整數），請用代數式表示應付多少車費？

【考點】列代數式.

【分析】根據題意當n小于或等于3時車費始終等于10元，當n大于3時車費為10+2（n-3），本題要進行分類討論.

解：當0

當n>3時，車費=10+2（n-3）=（2n+4）（元）.

以上是“代數式”這一章的內容中所涉及的部分數學思想，貫穿整章和整套教材的數學思想遠不止這些，希望同學們在平時的學習中能善于思考，善于總結，為數學學習的可持續發展奠定基礎.

（作者單位：江蘇省淮安外國語學校）