尋找問題“原型” 巧引解題思路

林朝順

教材內容是高考試題的重要來源，對于一些難度較大的題目，往往是經過命題者的加工，若能揭開其神秘面紗，找到其“原型”，便會豁然開朗，輕松找到解題思路.下面結合筆者的教學，總結常見的幾種類型，以期拋磚引玉.

一、尋找不等關系“原型”，輕松破解不等式

例1.（2013年新課標全國卷Ⅱ理科數學試題）

已知函數f（x）=ex-ln（x+m）

（1）設x=0是f（x）的極值點，求m，并討論f（x）的單調性.

（2）當m≤2時，證明f（x）>0.

解析：（1）略.

（2）易證不等式ex≥x+1和ln（1+x）≤x，兩個不等式都是等號當且僅當x=0時成立.所以ex≥x+1≥ln（1+x+1）=ln（x+2）≥ln（x+m）.上式的第一個不等號和第二個不等號不會同時成立，所以當m≤2時，證明f（x）>0.

點評：本題解題的關鍵是聯想到微積分中常見的不等式——ex≥x+1，對上式兩邊取對數得x≥ln（1+x）.

結論1：當a>1時，ax≥（lna）x+1，ax≥ln（1+ax）

結論2：當a>1時，ax>ln[ln（a）x+2]

解析：當a>1時，ax≥（lna）x+1，ax≥ln（1+ax），因此ax≥（lna）x+1

≥ln[1+（lna）x+1]=ln[2+（lna）x]，以上式子的兩個等號不會同時成立，所以結論2成立.

二、還原幾何圖形“原型”，揭開面紗的真相

例2.（福建省2013屆高三第四次大聯考）

已知底面為正方形的四棱錐O-ABCD，各側棱長都為2，底面面積為16，以O為球心，2半徑作一個球，則這個球與四棱錐O-ABCD相交部分的體積是 .

解析：發現四棱錐O-ABCD是正方體的一部分.于是，以O為中心，以ABCD為一個面，把四棱錐O-ABCD補成一個正方體ABCD-EFGH，因為四棱錐O-ABCD的高是2，所以所作的球是正方體ABCD-EFGH的內切球.于是，所求的體積是正方體內切球體積的，所以這個球與四棱錐O-ABCD相交部分的體積是：×π×23=π

點評：很多幾何圖形是由我們熟悉的圖形通過割補等變換得到，若能還原為我們熟悉的圖形，必定會給解題帶來方向。

結論1：已知底面為正方形的四棱錐O-ABCD，各側棱長都為2，底面面積為16，以O為球心，2為半徑作一個球，則這個球與四棱錐O-ABCD相交部分的體積是64.

點評：所作的球是正方體ABCD-EFGH的外接球.

結論2：已知底面為正n（n=3，4，5）邊形的正棱錐頂點為O，各側棱長都為a，頂點到底面的距離為h，以O為球心，h為半徑作一個球，則這個球與正棱錐相交部分的體積是.

結論3：已知底面為正n（n=3，4，5）邊形的正棱錐頂點為O，各側棱長都為a，底面面積為b，頂點到底面的距離為h，以O為球心，a為半徑作一個球，則這個球與正棱錐相交部分的體積是.

點評：結論2、3中，把正n棱錐補成正多面體即可.

三、幾點啟示

1.注重教材，積累“原型”.課本中蘊含著豐富的知識和方法，很多試題以課本知識為背景，都可以在課本中找到“原型”.要引導學生重視教材，拓展教材，利用教材構造完整的知識體系，弄清各塊知識的來龍去脈，在更高的層次把握和運用教材.

2.注重探究，提升能力.引導學生從不同角度思考問題，認識不同問題的本質屬性。經常進行一題多解、一題多變、多題一解等訓練，提升學生的探究問題能力，從而能夠對問題舉一反三，觸類

旁通.

3.識別“原型”，轉化問題.轉化與化歸是高中數學中的核心思想.是由“未知”通往“已知”的橋梁，利用化歸思想解題的關鍵是確定合理、可行的轉化目標，明確將未知轉化為已知的意義，其中，識別“原型”有時會給化歸指明正確的方向.

參考文獻：

王劍明.課本不等式應用三重境界[J].中學數學，2013（19）.

編輯 魯翠紅