資金時間價值基礎運算解讀

鐘文娟

（河南教育學院 工商管理學院，鄭州 450000）

資金時間價值基礎運算解讀

鐘文娟

（河南教育學院 工商管理學院，鄭州 450000）

資金時間價值是財務管理中的重要概念，是財務管理的基礎，直接影響企業的財務管理活動，如籌資、營運等，尤其是長期投資決策。只有正確掌握資金時間價值的計算，才能準確處理長期財務管理行為。本文通過對資金時間價值概念的介紹，準確解讀如何計算資金時間價值。

資金時間價值；復利終值；復利現值；年金終值；年金現值

1　資金時間價值概念

資金時間價值是指在不考慮風險和通貨膨脹的情況下，資金經過一定時間的投資和再投資所增加的價值。貨幣在使用過程中隨時間推移而發生的增值現象，稱為貨幣具有時間價值的屬性。但資金不會隨著時間變化而自動發生增值，只有在投資中循環才會有收益，才會有增值的可能。

資金時間價值主要點明這一點，闡述資金在投資中隨著時間的推移而產生的增值。資金時間價值在財務管理中的計算主要包括兩部分，即終值和現值。終值是指將來值，指的是本金和利息之和，用F表示；現值是指本金、現在的價值，用P表示。資金時間價值的計算有單利和復利兩種形式。在企業貸款業務中，銀行利息都是按復利計算的，單利計算比較簡單。

2　復利終值和現值的計算

復利的計息方式是指本金能產生利息，利息在下期也轉作本金并與原來的本金一起計算利息。計算過程中，用i表示利率，n表示期數，本金*利率=利息。

2.1復利終值

復利終值的計算實質上是“知道現值求終值”。

第1期時點上的復利終值根據定義可得F1=P+P*i=P（1+i）。

第2期時點上的復利終值根據定義可得F2= P （1+i）+ P （1+i）*（1+i）=P （1+i）2。

以此類推，第n期的復利終值表示為：Fn=P （1+i）n。

復利終值計算公式是F關于P的函數。其中，（1+i）n為復利終值系數，用符號（F/P，i，n）表示，可以通過查詢復利終值系數表獲得。

2.2復利現值

復利現值是未來某一特定時間的一筆未收付款項，按折現率計算的現在時點的價值。相當于原始本金，是指若干期后一定量貨幣的現在價值。

復利現值的計算實質上是“知道終值求現值”，是復利終值的逆運算。

根據1期復利終值的逆運算計算的復利現值P1=F（1+i）-1；根據2期復利終值的逆運算計算的復利現值P2=F（1+i）-2；以此類推，期數為n的復利現值表示為：Pn=F（1+i）-n。

復利現值計算公式是P關于F的函數。其中，（1+i）-n為復利現值系數，用符號（P/F，i，n）表示，可以通過查詢復利現值系數表獲得。

3　年金終值和現值的計算

年金是指一定時期內，系列等額收付的款項，通常記作A。理解年金需要掌握年金的兩個特點，即時間間隔相同、金額相同。年金有普通年金、即付年金、遞延年金和永續年金4種表現形式，其中，普通年金計算是所有年金計算的基礎，其他年金計算以普通年金計算為起點進行修正。

3.1普通年金

普通年金又稱后付年金，于每期期末發生收付款。即資金發生時點在期末，如圖1所示。

圖1　普通年金的時間軸表示

從時間軸可以看出普通年金的特點，最初時點沒有年金，在最后的期末有年金。

3.1.1普通年金終值的計算

普通年金終值是“和”的概念，是每一個A復利到最后一期時點上的和，實質上是n個復利終值之和。需要注意的是終值的“終”是終到n點，計算每期資金在第n期期末即時間軸中n的位置時點上的資金價值總和。

根據復利終值的計算可知，從第n期到第1期，每一個A的復利終值為A（1+i）0，A（1+i）1，A（1+i）2，…，A（1+i）n-1。該數列是公比為（1+i）、期數為n的等比數列，年金終值即該數列之和，根據等比數列求和公式Sn=a1（1-qn）/（1-q），年金終值F=［A（1+i）］［1-（1+i）n］/［ 1-（1+i）］，整理得F=A* ［（1+i）n-1］/i。

年金終值計算公式是F關于A的函數，其中，［（1+i）n-1］/i是年金終值系數，用符號（F/A，i，n）表示，可以通過查詢年金終值系數表獲得。償債基金是指為了在約定的未來某一時點收付一定數額的資金而必須分次等額形成的存款準備金。實際上是“知道終值求年金”，是普通年金終值計算的逆運算。償債基金系數與年金終值系數互為倒數關系，記作（A/F，i，n），可以通過查年金終值系數表并計算獲得。

3.1.2普通年金現值的計算

普通年金現值也是“和”的概念，是指一定時期內每期期末等額收付款項的復利現值之和。即每一個A的復利現值之和。需要注意的是現值的“現”是折現到0點，計算第1期期初即時間軸中0的位置時點上的資金價值。

根據復利現值的計算可知，從第n期到第1期，每一個A的復利現值為A（1+i）-n，A（1+i）-（n-1），…，A（1+i）-2，A（1+i）-1。該數列是公比為（1+i）、期數為n的等比數列，年金現值即該數列之和，同理，根據等比數列求和公式，年金現值P=［A（1+i）-n］［1-（1+i）n］/［ 1-（1+i）］，整理得P=A*［1-（1+i）-n］/i。年金終值計算公式是P關于A的函數，其中，［1-（1+i）-n］/i是年金現值系數，用符號（P/A，i，n）表示，可以通過查詢年金現值系數表獲得。

資本回收額是指初始投入資本在未來給定年限內每年年末的等額回收值。實際上是“知道現值求年金”，是普通年金現值計算的逆運算。資本回收系數與年金現值系數互為倒數關系，記作（A/P，i，n），可以通過查年金現值系數表并計算獲得。

3.2即付年金

即付年金又稱預付年金、先付年金，是指在每期期初收付款。即資金發生時點在每期期初，如圖2所示。

圖2　即付年金的時間軸表示

從時間軸可以看出即付年金的特點，最初時點（0點）有年金，在最后的期末（n點）沒有年金。即付年金終值和現值的計算以普通年金終值和現值計算為基礎，計算可以根據時間軸的特點湊出普通年金在進行時間價值換算。

3.2.1即付年金終值的計算

從時間軸中來看，任何年金終值的計算是“終”到n點。可以用兩種方法計算。

（1）分步法

圖3　即付年金終值的分步法計算

如圖3所示，第一步，先算出在n-1時間點上的年金終值F＇，在0的時間點上有年金A，可以看成是第0期期末，則構成了從第0期到n-1期，期數共n期的普通年金，根據普通年金終值的計算，F＇=A（F/A，i，n）；第二步，算出最終的終點n時間點的終值。由F＇到F，是間隔1期的復利終值計算。根據復利終值計算公式，則F= F＇（1+i），即：F=A（F/A，i，n）（1+i）。

（2）湊整法

圖4 即付年金終值的湊整法計算

從圖4的時間軸來看，第n期期末沒有年金，為了湊成普通年金，在第n期期末加上年金A，構成從第0期到第n期、期數是n+1期的普通年金。終值要算到n點，這個A在n點的價值仍然是A，在整個年金終值總和中再將A減去，相當于沒有增加也沒有減少，即利用n點A的作用加一次減一次還是原來的總和。根據普通年金終值系數的概念，期數為n+1期的普通年金終值系數應該記為（F/A，i，n+1），則該終值計算公式為F＇=A（F/A，i，n+1），該終值多了一個A，將A減去即為即付年金終值。則F=F＇-A，即：

F=A（F/A，i，n+1）-A=A［（F/A，i，n+1）-1］。

3.2.2即付年金現值的計算

從圖5的時間軸中來看，任何年金現值的計算是“折現”到0點。可以用兩種方法計算。（1）分步法

圖5　即付年金現值的分步法計算

第一步，為了湊出普通年金的形式，可以使時間軸向前延伸1期至0期期初即-1點的位置，先算出在該時間點上的年金現值P＇，在-1的時間點上沒有年金A，可以看成是第0期期初，則構成了從第0期到n-1期、期數為n期的普通年金，根據普通年金現值的計算，P＇=A（P/A，i，n）。

第二步，算出最終的折現點0時間點的現值。由P＇到P，是間隔1期的復利終值計算。根據復利終值計算公式，則P= P＇（1+i），即：P=A（P/A，i，n）（1+i）。

（2）湊整法

圖6　即付年金現值的湊整法計算

如圖6所示，該計算方法宗旨是先不管第1期期初的年金A，則圖6時間軸中帶下劃線的年金A構成了從第1期到n-1期、期數為n-1期的普通年金。根據普通年金現值系數的概念，期數為n-1期的普通年金現值系數應記為（P/A，i，n-1），則該現值計算公式為P＇=A（P/A，i，n-1），該現值較之最終要計算的n期的即付年金現值少了0時間點上的年金A，將A加上即為即付年金現值。則P=P＇+A，即：P=A（P/A，i，n-1）+A =A〔（P/A，i，n-1）+1〕。

3.3遞延年金

遞延年金是指間隔若干期（m）以后于每期期末發生的系列等額收付款項。正確理解遞延年金的相關計算必須準確找出間隔期m，假設等額收付款項期數為n。在遞延年金計算終值和現值過程中，也要在時間軸中湊出普通年金的形式便于計算，如圖7所示。

圖7　遞延年金

從圖7的時間軸中可以看出遞延年金的特點，前m期每期期末沒有年金A的發生，從m期以后的n期中每期期末都發生年金收付。

3.2.1遞延年金終值的計算

遞延年金終值與遞延期數無關，其計算與間隔期和收付期有關，計算方法與普通年金終值相同。若收付期為n期，則遞延年金計算公式為：F=A（F/A，i，n）。

3.2.2遞延年金現值的計算

遞延年金現值折現點是到0點，可以用兩種方法計算。

（1）分步法

圖8　遞延年金現值的分步法計算

該方法計算原則是先找出普通年金形式，再進行復利折現。

如圖8所示，第一步，算出圖中所有年金在m點的現值和P＇。在圖8的時間軸中找出正確的遞延期，從時間軸可以看出，有年金A發生的時間點是從第m+1期到m+n期每期的期末，則構成了從第m+1期到m+n期、期數為n期的普通年金，根據普通年金現值的計算，P＇=A（P/A，i，n）；第二步，算出最終的折現點0時間點的現值P。由P＇到P，是間隔m期的復利現值計算。根據復利現值計算公式，則P= P＇（P/F，i， m），則遞延年金現值計算公式為：P=A（P/A，i，n）（P/F，i，m）。

（2）湊整法

圖9　遞延年金現值的湊整法計算

如圖9所示，從時間軸前m期每期期末都假設存在A，構成從第1期到m+n期、期數為m+n期的普通年金。根據普通年金現值系數的概念，期數為m+n期的普通年金現值系數應記為（P/A，i，m+n），則該現值計算公式為P＇=A（P/A，i，m+n），該現值較之最終要計算的遞延年金現值多了前m期每期期末年金現值之和。從時間軸可以看出，m期（A）構成了從第1期到m期、期數為m的普通年金，其現值計算為A（P/A，i，m），應在P＇扣除。則遞延年金現值計算公式如下：P=A（P/A，i，m+ n ）-A（P/A，i，m）。

3.4永續年金

永續年金是指無限期于每期期末收付的年金。永續年金每期年金A是無窮的，沒有盡頭。永續年金沒有終止的時間，所以沒有終值。只需要掌握永續年金現值的計算。

永續年金現值可從普通年金現值的計算公式中推導出來。

已知普通年金現值的計算公式為P=A* ［1-（1+i）-n］/i，永續年金現值即對該公式n為無窮大求極限，整理得計算公式為：P=A/i。

10.3969/j.issn.1673 - 0194.2015.14.037

F230

A

1673-0194（2015）14-0047-02

2015-05-22