點接觸弧齒錐齒輪齒面成型與分析

楊廣明

（重慶電子工程職業學院，重慶 401331）

0 引言

弧齒錐齒輪是一種應用在交錯軸和相交軸，并承擔高速重載傳動的空間齒輪，在汽車傳動裝置等領域應用廣泛[1]。長期以來，弧齒錐齒輪的齒面形式只能在有限的幾種模式中選擇，其齒面形式取決于所采用的機床形式，并且承載能力及振動噪聲問題嚴重影響其在工業裝備中的進一步應用[2]。

如何提高弧齒錐齒輪的傳動性能，降低嚙合噪聲是目前亟待解決的主要問題，當前相關研究主要局限于以實現齒面優化，提高承載能力為目標的幾何設計、加工制造以及接觸特性分析，仍未從根本上有效地提升傳動性能[3～6]。

區別于一般齒輪共軛曲面成型理論，本文基于空間曲線嚙合理論，提出新型點接觸弧齒錐齒輪齒面成型原理，建立高性能輪齒齒面設計方法，為進一步開展該新型齒輪傳動的設計制造和工業應用奠定理論基礎。

1 齒面成型原理及設計方法

圖1 空間嚙合坐標系

在坐標系S1下，給定齒輪1上空間圓錐螺旋曲線表達式：

式中θ為圓錐螺旋曲線參數，p為螺旋參數。

根據共軛曲線原理[7]，一對嚙合曲線沿指定接觸方向的嚙合方程可表示為：

其中：

i21表示齒輪傳動比，nx, ny, nz分別為沿給定接觸方向的法矢量在各坐標軸的分量。依據坐標變換，聯立式(1)和式(2)，推導得到齒輪2上配對嚙合的曲線方程為：

圖2 等距包絡設計

將上述求得的一對共軛的圓錐螺旋曲線沿指定法線方向做等距運動，等距線可表示為：

式中h為等距量，當h＞0時，曲線沿指定法線的正向等距，當h＜0時，曲線沿指定法線的負向等距。

以等距量|h|為半徑，等距線上任意一點為球心建立球面模型，并沿求得的等距線運動包絡成管狀嚙合面，進一步按設計要求利用齒頂圓及齒根圓截取該曲面最終形成輪齒齒面。參照齒面構建方法[8]，分別得到該新型齒輪的齒面方程：

上述弧齒錐齒輪齒面成型過程以空間共軛的圓錐螺旋曲線為基礎，齒面繼承了原有曲線的嚙合特性，即沿齒輪軸線方向的點接觸，可實現近似純滾接觸；同時，所最終形成的齒廓形式為凸、凹圓弧樣式，相比原有漸開線齒廓可有效增大綜合曲率半徑，從而提高接觸強度。

設計實例參照表1中參數，建立的三維實體模型如圖3所示，通過運動仿真分析該齒面能夠實現既定要求。

表1 弧齒錐齒輪嚙合副設計參數

圖3 三維實體模型

2 齒面接觸分析

依據彈性力學理論圣維南原理，在遠離齒輪接觸區域，其受力分布情況對接觸區域影響不大，誤差小于百分之一。為節約計算量，對大小齒輪各選4個齒進行有限元分析，其幾何模型如圖4所示。

圖4 錐齒輪副有限元分析幾何模型

對于齒輪實體部分，由于目前接觸算法的固有限制，應用高階實體單元會導致等效節點接觸力在角節點和邊中節點之間的震蕩，對于接觸狀態的校核和判斷是不利的。在實際應用中，應用高階單元特別是高階六面體單元進行接觸分析會導致計算難以收斂，因此，綜合考慮計算效率及精度后，選用低階六面體單元SOLID185單元劃分大小齒輪實體部分網格。在接觸區域附近，應力變化十分劇烈，同時會在相當大程度上直接影響接觸應力計算結果，為保證計算精度，經試算后，對參與接觸齒面部分單元邊長大小設定為0.2mm，對其它部分單元邊長大小設定為1mm～2mm。

該齒輪副接觸模型采用赫茲接觸模型，即不考慮摩擦對接觸應力影響。而在考慮計算效率及適應性后，采用增廣拉格朗日算法進行接觸計算。在輪齒接觸過程中，任意一對輪齒均會出現嚙入及嚙出過程，其接觸狀態不定，將接觸行為設定為標準接觸。而接觸對法向接觸剛度FKN經過試算后設定為1，可以綜合滿足計算效率及計算精度要求。

有限元分析里面的實體單元節點僅有UX, UY, UZ三方向自由度。為實現轉動及轉矩的施加，在齒輪副有限元分析里面運用多點約束單元（MPC184單元），其實際情況相當于在轉動中心點與轉動約束面之間施加多根剛性梁連接，在數學上表現形式為坐標變換。其中，在大齒輪底面與轉動中心點建立基于多點約束算法的綁定接觸對，在小齒輪內壁與轉動中心點同樣建立基于多點約束算法的綁定接觸對。在轉動中心節點與絕對坐標系間對大小齒輪分別建立以各自回轉軸為自由度運動學約束的184單元，如圖5所示。

圖5 有限元分析模型

考慮到各型齒輪材料與齒面接觸分析相關的物性參數（彈性模量及泊松比）變化不大，變化通常小于百分之一，因此選用20CrMnMo作為定性材料進行分析，其物性參數彈性模量E=210000MPa，泊松比ν=0.254。對于邊界載荷，設定為小齒輪施加114Nm轉矩，大齒輪施加0.3rad/s的角速度。在嚙合過程，小齒輪在某一位置的等效應力云圖如圖6所示。

圖6 小齒輪等效應力

在建立有限元模型時，包括模型幾何長度，物性參數等都是以mm作為長度基準的，因此，上圖中等效應力數值單位應為kPa。可以看出，由于小齒輪齒輪根部是圓弧曲線形式，在該位置應力集中現象不算嚴重。即便是在未給齒根部分以過渡曲線圓滑過渡的情況下，其齒輪齒根部分彎曲應力也一般在200MPa以內。同時，小齒輪接觸點運動軌跡是在理論接觸線區域，接觸位置處于沿齒高方向中部位置，并未移動到齒頂部分造成尖點接觸。綜合有限元分析過程，小齒輪最大等效應力最大值為1388.54MPa，最大等效應力最小值為926.87MPa。

某一嚙合位置下，大齒輪的等效應力云圖如圖7所示。

圖7 大齒輪等效應力

從圖中可以看出，大齒輪齒根部分彎曲應力也相對較小，在200MPa以內。在各個時刻有限元分析過程中，大齒輪最大等效應力最大值為1512.75MPa，最大等效應力最小值為915.62MPa。

齒輪對的接觸應力簡圖如圖8所示。在接觸單元構成的齒面上，齒輪呈現明顯的點接觸特性。在大多數情況下，接觸區域形狀為近似橢圓。橢圓形狀的接觸區域輪廓符合理想情況下赫茲接觸理論預測。但是由于齒根彎曲變形會對齒輪實際接觸情況產生影響，因此接觸區域只是近似橢圓。由于沿齒寬方向齒廓截面形狀并不一致，其輪齒在各截面抗彎剛度因而不同，因此在加載時，齒根彎曲變形并不一致，這造成在部分接觸區域會有兩個分離的接觸應力高值區。在嚙合過程中，最大接觸應力最大值為2324.2MPa，最大接觸應力最小值為1758.74MPa。

圖8 錐齒輪副接觸應力

3 結論

本文提出一種新型點接觸弧齒錐齒輪傳動，主要結論如下：1）基于空間曲線嚙合理論提出了齒面成型原理，推導并建立了圓錐螺旋曲線沿給定接觸方向的嚙合方程，利用等距包絡設計方法成形了輪齒齒面；2）基于數值實例建立了三維實體模型，運動仿真分析表明：該齒輪傳動嚙合過程沿軸線方向呈點接觸；形成的凸、凹圓弧齒廓相比原有漸開線能夠有效增大綜合曲率半徑，從而提高接觸強度等性能；3）基于有限元手段對齒輪副進行了力學特性分析，接觸區域符合理論設計，并具有優良的特性；4）后續將進一步開展該新型傳動設計、制造及實驗性能分析，預期具有廣泛應用前景。

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