徑向速度變化地層井孔聲場的快速模擬

翟宇文，唐曉明，魏周拓

?

徑向速度變化地層井孔聲場的快速模擬

翟宇文，唐曉明，魏周拓

(中國石油大學(華東)地球科學與技術學院，山東青島266580)

在聲波測井過程中，為了精細刻畫井孔附近巖石和流體特性所引起的速度徑向變化規律，常用的方法是對井孔到原狀地層的區域進行徑向分層，然后利用傳播矩陣的方法來模擬丼周的速度變化，然而，這種方法用于波形數據反演的過程中十分耗時。提出了一種利用Born近似快速模擬縱波速度徑向變化的方法。推導了速度擾動時散射場積分表達式，并據此計算徑向速度擾動模型下的散射聲場，得到其近似解析解。數值模擬結果表明，與傳統的方法相比，新的近似解能給出合理的模擬結果，提供了一種利用聲波波形數據反演速度徑向變化的新思路。

聲波測井;Born近似;散射波

0 引言

在一般的聲波測井環境下，井壁周圍的地層彈性波速度與遠離井壁處的速度相比，會發生一系列變化。造成這種變化有多種原因，其中包括鉆井或者應力釋放造成的地層破壞，鉆井流體的侵入造成地層孔隙流體性質變化，以及地層巖石中含有的粘土吸水后與鉆井液體發生作用造成的粘土膨脹現象等。

為了研究地層速度的徑向變化這一現象，傳統的方法是對地層進行徑向分層(如圖1所示)，將其近似為一個階梯變化的多層柱狀結構，對多層柱狀結構用Thomson-Haskell傳播矩陣[1,2]的方法來進行數值模擬，分層越細，獲得的速度徑向變化也就越準確。然而，反演過程中，分層太多會導致工作量加大，耗時明顯增加。圖1中，我們用最簡單的單一蝕變地層模型來闡述地層速度的徑向變化。

Hornby[3]假設井壁附近地層的速度在井軸方向和井徑方向都有變化，利用走時層析技術重建了井壁附近地層的二維速度剖面。這種方法采用的走時測量的(源和接收器)位形與淺層地震勘探中常用的彎曲回折射線的層析成像技術的位形[4]相似。該技術先對二維模型用射線追蹤方法進行正演計算得到聲波走時，然后再使得計算和實測的走時之差達到最小，得到與數據符合最好的速度分布模型。該技術僅僅利用波的走時就得到了地層速度變化的信息，但是，將這種技術用于聲波測井日常處理的最大障礙之一是該方法計算耗時。如果需要對整個測井區間的大量源與接收器的位置計算二維層析剖面，那么計算量將是巨大的。一種高效而又實用的層析成像重建技術是推廣這一應用的關鍵。

本文探究一種新的方法來快速模擬地層速度在徑向上的變化。根據地震勘探領域對彈性波散射的研究，我們也可以將地震勘探領域中常用的線性近似方法——Born近似[5]，引入聲波測井領域，用來模擬地層縱波的徑向速度變化。本文在Aki[6]等求出的散射波積分表達式的基礎上，通過合理的近似，對積分式進行求解，得到了散射波的近似解析解。然后，將模擬的結果和傳統計算方法的結果進行對比分析。結果表明，當Born近似的條件被滿足時(通常的測井環境情況均可以滿足)，利用近似解析解模擬縱波徑向速度變化能夠取得滿意的結果。因此，這種方法用來快速反演丼周附近地層的縱波速度變化參數。

1 Born近似模型

Aki和Richaids在《定量地震學》[5]中討論了弱非均勻介質中的彈性波，并認為整個地震圖是由兩部分組成的，分別是原生波和散射波，原生波也就是在均勻介質中傳播的入射波，散射波則是入射波在傳播過程中遇到非均勻介質后產生散射而形成的波。對于井孔中的聲波場來說，可以認為接收器接收到的波場等于聲源在均勻介質中傳播的波場加上非均勻介質存在時產生的散射波。對于一個點聲源，可以寫成如下形式：

只考慮地層中的速度擾動，并推導擾動聲波場的積分表達式，最終得出在進行Born近似后，散射波的積分表達式如式(2)所示：

(2)

根據圖2的幾何關系可以得出：

(3)

將式(1)、(3)代入式(2)中，可以得到散射波的積分解如式(4)所示：

2 數值模擬

根據前文的敘述，當給出速度擾動項的具體函數表達式后，就可以用式(4)快速計算散射波。用簡單的蝕變模型來計算式(4)的積分。

首先，按照圖1的模型，用傳統的傳播矩陣[2]的方法分別計算井孔中的聲波場，包括：均勻地層(參數見表1)，蝕變地層(模型1和2)，所用聲源是中心頻率為8 kHz的雷克子波，源距為2 m。具體計算模型彈性參數設置如表1所示。

在圖1的單一蝕變地層模型中，設置了兩種不同的蝕變地層的縱波速度變化情況，分別用表1中的模型1和模型2表示，沿井孔到原狀地層的方向，縱波速度分別設置為增加和降低的兩種情況。

表1 圖1模型的計算參數設置

圖3顯示了不同模型下接收波形的對比情況。其中，紅色實線是從模型1中得到的波形，藍色實線是利用模型2計算得到的波形。為了方便對比，同時計算了均勻地層(縱波速度是4000 m/s)的波形，用黑線表示。

由于波形數據中縱波部分的幅度很小，因此在圖中開了一個小窗，將三個波形的前端縱波部分放大顯示。從圖3中可以看出，波場比較散亂，由于蝕變地層縱波速度的變化，使得縱波到時發生了變化，但是，不同模型之間縱波到時的差別很小，因此，到時的差別較難反應蝕變帶特征。

然而，若研究波形數據中的散射波變化特征，可以發現：不同的變化模型的散射波形存在明顯的差異。將不同速度變化情況下接收到的波場減去均勻地層中的波場，得到模型1和模型2中的散射波，如圖4所示。

圖4是兩種速度變化模型所對應的散射波。圖中的紅線和藍線分別代表模型1和模型2的散射波，分別對應速度增加和速度減小的情況。從圖中可以看出，減去均勻場之后，對于不同的模型，剩余的散射波特征變化非常明顯，當蝕變地層的速度低于原狀地層速度時，其相位為正，當蝕變地層的速度高于原狀地層速度時，其相位為負。這個現象可以方便地描述地層徑向速度的變化情況。

接下來，應用Born近似解來擬合這兩種情況下的散射波。由于只考慮縱波部分，因此，對原始波形進行時域開窗處理，只保留縱波的前幾個周期，將原始波形中的其他部分平滑掉。然后，給定合適的和值，用式(4)去計算理論散射波，用以擬合圖4所示的兩種模型下的散射波，擬合結果如圖5所示。

(a) 速度增加模型(模型1)

(b) 速度降低模型(模型2)

圖5 速度增加和降低時的散射波擬合

Fig.5 The scattered waveform fitting for the increasing velocity model and the decreasing velocity model

圖5給出了用Born近似式理論計算的散射波與圖4中的散射波的擬合結果，圖5(a)、5(b)分別對應速度增加和降低的兩種變化情況，其中5(a)中的紅線和5(b)圖中的藍線分別是模型1和2經過時域開窗后的散射波波形，空心圈是與之對應的Born近似解計算的散射波，由圖5可以看出，在速度增加和減小兩種情況下，通過近似解析解計算出的波形和通過傳統的傳播矩陣計算出來的波形之間有良好的擬合效果；尤其是縱波前一兩個周期，兩者的誤差很小，這說明在滿足Born近似的條件下，Born近似解可以給出相對準確的結果。

針對本文所用的模型，用傳播矩陣的方法計算一個模型需要2 min左右的耗時，而用Born近似的方法去模擬散射聲場只需要10 s左右。另外，對整個井段的大量深度點進行批量處理時，本文的方法在耗時方面的優勢更加明顯。

3 結論

通過本文的研究，我們獲得了一種新的模擬徑向速度變化的方法。將地震勘探領域比較成熟的散射理論引入聲波測井領域，并將Born近似應用到井孔聲場中，在前人獲得的速度擾動情況下的散射波積分表達式的基礎上，做了更進一步的理論研究，通過合理的近似，獲得了散射波的解析表達式。用傳統的傳播矩陣的方法進行分層計算與Born近似解進行計算的對比結果表明，利用Born近似能得到相對合理的結果，該方法可以快速模擬丼周散射聲場，并進一步判斷丼周地層速度變化情況。因此，這也提供了一種利用聲波測井數據反演速度徑向變化的新思路。

[1] Schmitt D P. Shear-wave logging in elastic formations[J]. J. Acoust. Soc. Am, 1988, 93: 640-657.

[2] Tang X M, Cheng C H. 2004: Quantitative borehole acoustic methods[M]. Elsevier.

[3] Hornby B E. Tomographic reconstruction of near-borehole slowness using refracted borehole sonic arrivals[J]. Geophysics, 1993, 58(12): 1726-1738.

[4] Zhu X, McMechan G A. Estimation of near-surface velocities by tomography[C]// 58thAnn. Internat. Mtg. soc. expl. Geophys. 1988 Expanded Abstracts, 1236-1238.

[5] Eaton D W. Weak elastic-wave scattering from massive sulfide orebodies[J]. Geophysics, 1999, 64(1): 289-299.

[6] Aki K, Richards P G. Quantitative Seismology[M]. America: University Science Books, 1986, 185-193.

附錄

式(4)的導出過程如下：

將式(1)代入式(2)，并考慮模型的軸對稱性可以得出：

利用式(3)，對上式中的和0做Fraunhofer近似，得出：

Fast modeling of borehole acoustic p-waves in the presence of radial velocity variation

ZHAI Yu-wen, TANGXiao-ming, WEI Zhou-tuo

(School of Geosciences, China University of Petroleum, Qingdao 266580,Shandong,China)

Traditionally, borehole acoustic modeling of radial formation changes is done with a propagator matrix method, which, however, is time-consuming in inversion processing. In this study, the use of the Born approximation for a fast modeling of the radial velocity variation is proposed. The integral expression for the perturbed acoustic wave field is derived, and an approximate analytical solution for it is obtained. Compared with exact modeling, the approximate solution gives reasonably accurate results when the Born condition is satisfied, and provides a fast forward model for the waveform inversion of radial velocity variation by using borehole acoustic data.

acoustic logging; Born approximation; scattered wave

P631.814

A

1000-3630(2015)-05-0403-04

10.16300/j.cnki.1000-3630.2015.05.005

2014-11-18;

2015-01-19

國家重點基礎研究發展計劃973項目(2014CB239006)、國家自然科學基金(41474092)、國家自然科學基金(ZR2014DQ004)資助項目。

翟宇文(1990－), 男, 山東昌邑人, 碩士研究生, 研究方向為聲波測井方法與數據處理技術。

魏周拓, E-mail: weizhoutuo@163.com