從“教材”到“學材”，重構“學”的課堂

段安陽

[摘 要]教學活動都是基于一定的材料展開的，當材料為學生的學習提供了很好的支持時，就具有了學材的意義。教師要結合教學實例，較為全面地闡釋從“素材”到“教材”，從“教材”到“學材”，從“學材”到“學堂”的變換邏輯，探尋小學數學學材開發的價值，以此指導實踐。

[關鍵詞]教材 學材 數學 重構

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）26-003

學校每周有一次教研組活動，五年級的小周老師執教《圓的周長》。上課鈴響后，小周老師出示圓形茶杯蓋。

師：這個圓形的周長在哪里？誰能上來指一指？（一生上臺指）

師：如何知道這個圓的周長是多少？

生1：用棉線繞茶杯蓋一圈，拉直棉線在直尺上量一下就知道了。

師：很聰明的辦法。其他人還有不同辦法嗎？

生2：把茶杯蓋直接放在直尺上滾一周，就能量出周長。

師：這也是一個聰明的辦法。

生3：老師，他們的辦法書上都有，不是他們自己想出來的。

學生突如其來的“告狀”，讓老師有點尷尬，他略帶責備地說：“這說明他們課前認真預習了，要向他們學習才對。”

接著，老師讓大家拿出事先準備好的三個大小不同的圓形紙片，先量出每個圓的直徑，再用自己喜歡的方法量出每個圓的周長，用周長除以直徑，看看有什么發現。大家都在忙，一個學生端坐不動。集中交流時，他的手舉得最高，老師示意他回答。

生4：我發現圓的周長總是它直徑的3倍多一些。

生5：老師，他沒有量，更沒有算，他是照著書上說的。

老師又一次陷入尷尬……

到了評課研課環節，老師們不約而同聚焦到課上兩個尷尬場景，都說在自己的課堂上也經歷過類似的尷尬。有的老師說從來都不要學生預習，以保留新課的神秘感。有的老師說學生自己有課本，他們自己會提前看書的，談什么神秘。最后大家聚焦到學生手里都有的課本上，有的老師說書上明明寫著“觀察上面算式，看看你有什么發現”，下面緊接著就是結論。有的老師說自己挖空心思設計了精美的課件，后來還是讓教材上現成的結論打垮了。預習是一個好的學習習慣，值得提倡，但課本上有現成的數學結論，學生無需動腦，無需思考，就能“發現”結論，這實際上還是傳統的“填鴨式”教育，只不過變“人填”為“書填”，學生發現的僅僅是書本上現成的數學知識。缺失了真探究，沒有了真思考，哪來的數學真發現？最后大家一致期盼：要是教材有疑問，有例題，不呈現結論就好了，那樣學生才有真探究、真思考，才能發現自己的數學，課堂才會呈現出更多意想不到的精彩，學生的創造力才能得到更好的激發與培養。

一、從“素材”到“教材”：教材使用現狀調查

學生和老師手里都有的教科書，對學生而言稱之為課本，對老師而言稱之為教材。教科書是課程領導、學科專家、教學名師圍繞課程標準精選素材，精心改編，精致打造的，對落實課程標準的教學要求起到了積極的作用。在教學中，教科書的使用情況究竟如何呢？一線老師的評價和建議是什么？筆者為此進行了一次網絡微調查。調查結果與筆者的預測驚人一致：80%以上的老師在教學新知時不要學生閱讀課本；90%以上的老師在展示課上從頭到尾不要學生打開課本；95%以上的老師認為數學教材編排科學嚴謹，絕大多數例題選用的素材，符合學生的年齡特點，具有啟發性，但是教材在解題思路上引導過細，局限了學生的思維，規律、法則、公式等結論赫然在目，學生無需思考。教材的探究性、結論的神秘性喪失，對培養學生積極自主的探究能力是不利的。主要表現在以下幾個方面。

1.方法越位，數學探究變得虛空

新穎的學習材料能激發學生強烈的學習熱情和探究欲望，促使學生積極調動已有的知識經驗，對問題作出反應與加工，從而創造性地解決問題。然而現行教材，往往在呈現問題后，有很多越位的鋪墊、方法的提示、解法的引導，學生無需進行獨立深入的思考，就可以按照教科書上提示的步驟進行所謂的“探究”。如學習《圓的認識》，教材上要求學生想辦法畫一個圓。但是課本緊接著出示的三幅圖，把常用的三種畫法一一呈現出來。（見下圖）第一種，沿著圓形物體周邊描一圈；第二種，用圖釘、細線和鉛筆，固定圖釘，拉直細線，筆尖繞一圈，可以畫出一個圓；第三種，用圓規畫圓。學生不需要動腦筋、想辦法，照著書上的提示去做就可以，學生的自主探究和獨立思考成為一紙空文。

2.結論外顯，數學發現流于形式

教材上現成的結論，讓學生的數學發現流于形式。學生對新知的學習是一種“復制”型的感知過程，就是理解與不理解、懂與不懂的區別，習得的是間接經驗，是書本在灌輸。如《圓的認識》一課，“圓和以前學過的三角形、長方形等多邊形相比，有什么相同之處？有什么不同？”本來這個問題是非常具有探索性和挑戰性的，目的是讓學生把現在學習的圓與之前已學的五種平面圖形作對比。但是教材在問題下面赫然顯示的是三個結論：圓和多邊形都是平面圖形；多邊形由線段圍成，有頂點；圓由曲線圍成，沒有頂點。（見下圖）

面對課本給定的現成的數學結論，學生無需獨立思考，嚴重壓縮了學生的創新思維空間。如此，學生數學思維的獨特性、求異性和批判性如何得到積極培養？

3.脫離生活，數學學習變得茫然

數學抽象的規律、定理、法則等知識需要借助直觀具體、生動形象的現實外殼，才能落地生根，為學生理解和掌握，才能成為學生自己的數學。學生也正是在對具體形象的數學材料進行再加工、再創造的過程中實現對數學的再認識和再建構。如《圓的面積》一課中，書上呈現的例題是：一個自動旋轉噴水器的最遠噴水距離大約是5米，它旋轉一周噴灌的面積大約是多少平方米？

自動旋轉噴水器是什么樣子？噴出的水是線狀還是點狀？不要說學生感覺陌生，很多老師也不太清楚。這樣遠離學生生活經驗的素材就不是一個好素材。毋庸置疑，現行教材在數學材料現實化、生活化、趣味化等方面已經作出了積極的成功改革，但很多背離現實的數學材料依然大量充斥著數學教材，我們教學時需要根據地域特點和學生生活實際創生符合學生認知的學材，調動學生積極的認知情感。

二、從“教材”到“學材”：學材開發的教育意蘊

《數學課程標準》在實施建議中強調：“創造性地使用教材，積極開發和利用各種教學資源，為學生提供豐富多彩的學習素材。”這就要求我們轉變觀念，變“教材”為“學材”，讓學習活起來。所謂“學材”，是基于兒童視角和立場，對以教材為主的教學資源進行再創造的材料，是教師依據自己的學科理解和教學風格，從學生已有的認知出發，對教學資源進行開掘、整合、拓展后形成的適合學生自主學習的材料。學材是人與知識對話的紐帶，是“文本課程”向“體驗課程”轉化的新媒介。

有了學材視角，就能弱化教材“法定知識”的權威，從教師“教教材”轉變為教師“用教材”教，學生“用學材”學，以學生的發展為目標，加強學材與學生世界的聯系，引導學生由“被動學”轉變為“主動求知”，以喚起學生學習的主動性為最終目標。那學材開發的教育意蘊何在？

1.凸顯開放性的學材觀

學生的學習材料應該是開放的，是學生實踐的直接經驗和書本的間接經驗整合的結果。隨著科學技術的發展，教學手段日趨現代化，教學內容也日新月異，所以學材不僅包括現有的教科書，還包括各種配套視聽教材，各類指導書和補充讀物，以及其他教學輔助用具及教學程序軟件包等。

2.凸顯發現式的教學觀

弗賴登塔爾曾說：“泄露一個可以由學生自己發現的‘秘密，那是‘壞的教學方法，甚至是罪惡。”從本質上講，當前大多數版本的教材編寫基調還是“接受式學習”，而不是“發現式學習”。體現探究性發現學習的學材，應該有大量留白，用開放的呈現方式，讓學生在互動對話中做數學，用數學。所有的結論性的規律、法則、定理、性質、公式，以及探究解決問題的方法，不在學材上呈現，給學生留有100%的思考、探究空間。這些數學結論在教師使用的教材上呈現。學材上輔助一些認知框架提示語，如“對于××，我已經知道了什么？”“在生活中，哪些地方我曾經見過？”“我的設想”“我的發現”“我的解題過程”等，課本上沒有方法暗示，沒有現成答案，其過程要求學生自己來完成，因而課本既是預設的，又是生成的，是把課本與學生的筆記合二為一的個性化的產品，讓學生在預習過程中或學習過程中“DIY”，生成個性化的課本。

3.凸顯主體化的學生觀

學生是真正的學習主體，一節課的優劣不是看教師教得多精彩，而是看學生是否得到了充分的發展，如果學生不想學、不會學、學不好，那么無論多好的教材，無論教師講得多精彩都是徒勞。建構主義理論認為，學習不是教師把知識簡單地傳授給學生的過程，而是學生自己主動建構的過程，即每個學習者都以自己原有的知識經驗為基礎，對新信息重新認識、理解和編碼，建構自己的知識結構。所以，開發學材時，要注意落實學生的主體地位，考慮學生原有知識與新知識的銜接與組織，尋求學生舊知與新知之間最佳發展的中間地帶，力求把新知識的教學按學生的認知規律與特點組織嫁接到學生原有的經驗中。

三、從“學材”到“學堂”：學材開發的實踐建構

提起教室，大家就會想起，臺上教師滔滔不絕，臺下學生正襟危坐，課堂成為教師的講堂。如今，教室正發生著悄然的變化：教師不再口若懸河，學生也不再唯唯諾諾，教師成為學生學習的組織者、引導者、合作者，學生善學善問，敢說敢為，課堂上經常看到學生積極展示自我，表達觀點，發表見解。以兒童視角審視內容，積極與內容對話，抓其本質，掘其思想，能將學習內容以最適合學生進行主動探究學習的方式進行重組，將“以知識為中心的課本”轉化為“以學習為中心的學堂”，讓預設的“學材”走進現實的“學堂”。筆者結合自己的實踐探索，略談以下幾種“學材”開發與“學堂”實施的方式。

1.生活型學材——返回生活世界，探尋數學本源

“學生的數學學習內容應當是現實的，有意義的，富有挑戰的。”學習內容的現實性要求數學來源于生活，取材于現實，讓數學學習內容有現實意義，生活根基。我們要努力開掘那些發生在學生身邊的，學生非常熟悉的，同時暗含著某種數學現象或數學規律的實際問題，以此為突破口進行學材設計。如《四則混合運算》一課，筆者舍棄了教材中的“純數學”，選擇游樂園活動這一方式展開學習情境。以學生熟悉喜愛的生活情景作為背景，提出一系列的實際問題，從計算游玩時的費用，引出四則混合運算題就水到渠成了。學生圍繞這一問題深入展開探討與分析，以兩積之和為載體，主動探索發現可以簡化計算步驟，實現生活與數學的緊密聯系，擺脫傳統計算課的教學模式。顯而易見，當學習內容從“科學世界”的概念狀態進入“生活世界”的經驗狀態后，不僅能有效地激活學生思維，還能促進新信息與已有經驗的整合，實現思維內化。

生活型學材取材范圍廣泛，教師要有效嫁接數學與生活，有效對接兒童與數學，因地制宜，因人而異，積極嘗試，大膽探索，給學生源于生活的綠色環保的新鮮的數學。

2.游戲型學材——激發學習興趣，感知數學的趣味性

馬丁·加德納說：“喚醒學生的最好方法是向他們提供有吸引力的數學游戲、智力題、魔術、笑話、悖論、打油詩或那些呆板的教師認為無意義而避開的其他東西。”兒童視游戲為生命，游戲也是成人不可或缺的生活方式。數學游戲為學生學習數學提供了感性材料和愉悅的平臺，符合兒童的年齡特征。創生開掘游戲型學材，在兒童具體形象思維和抽象數學知識之間架起一座橋梁，為他們感知數學的趣味做積極的鋪墊。如一年級學習“分類”時，我創生設計了“整理書包”的游戲，讓學生在整理書包的過程中，探索解決問題的思路：先把書包里的文具分類放好，初步感知簡單的分類——把一樣的東西放在一起。學生在操作中，自主探索發現，可按顏色分類，也可以按照形狀分類，發現分類標準不一樣，分類結果也不一樣。在教學“圓的認識”時創生設計“投籃比賽”，課前帶領學生圍成長方形、正方形、等邊三角形進行投籃游戲，并拍視頻，課上播放視頻，引發學生思考：如何設計公平公正的投籃比賽？讓學生在游戲中、情境中深入思考，優化調整，解決問題。通過游戲活動，學生自主發現只有圍成圓形投籃才最公平，同時學生還能感受到數學其實蠻好玩的，從而培養數學學習興趣。

再如，學習“有余數的除法”時設計6人搶5張凳子的“搶凳子”游戲，學習“四則混合計算”時開展“巧算24點”游戲。這些都是很好的游戲型學材。

3.探究型學材——經歷探究過程，發現數學規律

把學過的內容作適當拓展，突出探究性、挑戰性，可以開拓學生思維，激發學習情感。如在學習了“大數的認識”后，開發數學探究課“對折的力量”。上課時，出示一張普通的A4紙，告知前提條件為“一張普通A4紙的厚度大約為0.01毫米”。接著，拋出大問題：如果把一張足夠大的A4紙對折30次，它的高度有多少？先讓學生猜一猜，寫下自己的估算結果，再讓學生動手折一折，從簡單中找規律，推理發現結果。學生紛紛動手對折，發現當紙對折到第8次時，就折不動了。這時，教師啟發學生回過頭去，從對折次數與紙張層數之間找規律，學生探索發現，每對折一次，紙的層數是原來層數的2倍，再通過推算，發現對折30次時，所達到的高度遠遠超過了珠穆朗瑪峰的高度，這讓全班同學不敢相信。學生在一系列的數學活動中，綜合應用所學知識解決數學問題，培養了數感。學生紛紛感嘆道：“想不到一張白紙經過若干次對折，竟比珠穆朗瑪峰還高！”“對折的力量可真大呀！”這節課讓我們看到了學生對數學探究的興趣，看到了學生在探究中的快樂，更重要的是讓學生感受體驗到科學的探究方法和探究精神。探究型學材開發案例還有很多，比如：（1）在平面上畫20條直線，這些直線最多能形成多少個交點？（2）南京到北京之間有15個高鐵站，需要印制多少種火車票？（3）有一張紙形狀是長方形的，第1次把這個長方形剪開成5個長方形；第2次在5個剪成的長方形中任取一個，也剪成5個長方形；第3次再在第2次剪成的5個長方形中任取一個，也剪成5個長方形……照這樣剪20次，一共有多少個長方形？（4）50邊形的內角和是多少度？

4.文化型學材——滲透數學文化，感悟數學思想

學材的開發還可以結合學習內容介紹有關數學家的故事、數學趣聞與數學史料，使學生了解數學發展的歷史，滲透數學文化，開闊視野，啟迪思維。如結合五年級學習內容，我們開發了數學文化課——“數字黑洞”：任選三個不同的數字，分別組成一個最大數和最小數，求出兩數之差（如果差不夠三位數，用0補足），并照上面的方法不斷重復運算。學生舉例試算后發現一個神奇而有趣的現象：三個不同的數字，按照以上規則進行運算，最后結果都是495，無論是哪三個數字，結果都如此，仿佛掉進了495這個數字黑洞一樣。接著，教師引發學生猜想：四個不同的數字，照這樣的規則運算，是不是也會掉進數字黑洞呢？還是495嗎？學生躍躍欲試，個個動筆舉例驗證，連平時聽課睡覺、作業不交的人也在埋頭算運。大家經歷猜想和驗證，發現：四個不同數字的黑洞是6174。最后，教師補充拓展：數學家們還發現了其他數字黑洞，如數字黑洞123、數字黑洞153等，讓學生了解設定不同的規則，可以得出不同的數字黑洞，拓展學生的數學視野，提升學生的數學素養。

文化型學材案例，如：兔子繁殖與斐波那契數列、吝嗇財主與智慧長工的翻倍問題、韓信點兵與中國剩余定理、劉徽與割圓術、祖沖之與圓周率、李白喝酒與倒推策略、印度河內塔與世界末日、高斯速算與配對求和、哥德巴赫猜想與陳景潤、九宮格與洛書、楊輝三角中的規律、畢達哥拉斯定理、莫比烏斯圈等，都可以配合教學內容，開掘為學生喜愛的數學文化型學材，用以拓展學生的數學視野，幫助學生感悟數學思想和數學文化。

總之，我們要正確樹立兒童立場研究兒童，用兒童視角研究數學，研究教法，努力尋找數學與兒童的最佳結合點開發學材，尋找數學知識結構和認知規律的中間地帶發展兒童，體現基于兒童、為了兒童和發展兒童的生命教育哲學，給兒童既“好吃”又有“營養”的數學學材和生命化的學堂，讓兒童發現自己的數學，讓兒童體驗好玩的數學，讓兒童培植自己生長的數學，使兒童的數學學習成為他們快樂童年的重要組成部分。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 教育部.數學課程標準（2011版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012（1）.

[2] 李星云.論小學數學學材的開發與運用[J].教育評論，2008（1）.

[3] 米山國藏.數學的精神、思想和方法[M].成都四川教育出版社，1986.

[4] 蔣玉琴.創生學材的實踐與思考[J].江蘇教育，2004（7）.

[5] 波利亞.數學的發現[M].北京：科學出版社，2006.

（責編 童 夏）