關于確定θ2極小多項式的幾個定理

胡懷蘭(重慶師范大學數學科學學院，重慶401331)

關于確定θ2極小多項式的幾個定理

胡懷蘭
(重慶師范大學數學科學學院，重慶401331)

在已有定理的基礎上，巧妙地利用初等數論的方法，得出在一些特定情況下由θ的極小多項式求得θ2的極小多項式的幾個相關定理.這些定理對于確定域的判別式以及整基有重要作用.

極小多項式;代數整數;整系數多項式

1　關鍵符號、定義與引理

Z:{自然數，自然數的相反數};Q:有理數集;Z［x］:系數屬于Z的多項式組成的集合;Q［x］:系數屬于Q的多項式組成的集合.

定義1［1］代數數α叫做代數整數(簡稱作整數)，如果存在一個系數屬于Ζ的首1多項式f(x)，使得f(α)=0.

引理1［2］設α為代數數，f(x)為α在Q上的極小多項式，則α為整數的充要條件是f(x)∈Z［x］.

引理2［3］如果f(x)是Z［x］中的首1多項式，而g(x)∈Q(x)是f(x)的首1多項式因子，則g(x)∈Z［x］.

2　主要定理與證明

定理1θ為代數整數，則θ2也為代數整數.

證明θ為代數整數，設它在Q上的極小多項式為

則

于是

定理2代數整數θ為有理數，則θ∈Z，θ2∈Z，即θ2的極小多項式就為f(x)=x－θ2.

定理3代數整數θ不為有理數，其在Q上的極小多項式為f(x)=x2+px+q時，θ2的極小多項式

當p=0時，θ2+q=0，則g(x)=x+q即為θ2在Q上的極小多項式.

假設g(x)=x2－(p2－2q)x+q2在Q上在可約，即在Q上有根，而其有理根只可能為±1，±q，±q2，帶入發現都不是解，從而在Q上不可約，即g(x)=x2－(p2－2q)x+q2為θ2在Q上的極小多項式.證畢.

定理4代數整數θ的極小多項式為f(x)=xn+kx+l，θ2的極小多項式為

即θ2是整系數多項式的根，再根據Eisenstein判別法［1］或者其他有理系數多項式是否可約判定定理確定其是否可約.若在Q上不可約，即為θ2的極小多項式;若可約，由引理2，θ2的極小多項式h1(x)為的因式.綜上所述且h1( x)∈Z［x］.

即θ2是整系數多項式的根，若在Q上不可約，即為θ2的極小多項式;若可約，由引理2，θ2的極小多項式h2(x)為的因式.綜上所述且 h2(x)∈Z［x］.證畢.

［1］柯召，孫琦.數論講義［M］.北京:高等教育出版社，2001

［2］華羅庚.數論導引［M］.北京:科學出版社，1979

［3］張德馨.整數論［M］.哈爾濱:哈爾濱工業大學出版社，2011

Several Theorems on Determining the Minimal Polynomial ofθ2

HU Huai-lan
(School of Mathematical Sciences，Chongqing Normal University，Chongqing)

Based on the existing theorems，in some certain cases，this paper uses the method of elementary number theory to obtain several related theorems of theminimal polynomial ofθ2got from theminimal polynomial of θ.These theorems play an important role to determine the discriminant and integermatrix of domain.

minimal polynomial;algebraic integer;integer coefficient polynomial.

O156.1

A

1672－058X(2015)09－0043－02

10.16055/j.issn.1672－058X.2015.0009.011

2015－01－07;

2015－02－13.

胡懷蘭(1990-)，女，重慶巫溪人，碩士研究生，從事數論研究.