用細胞神經網絡與無限折疊映射對圖像加密

武++剴++李國東

摘要：針對圖像在傳輸中的安全隱患問題，依據混沌理論，采用六維細胞神經網絡與無限折疊映射混沌系統相結合的方法，對數字圖像進行加密，實驗結果表明：加密后的圖像統計特性不明顯，相鄰像素間的相關性小，抗攻擊性強，安全保密性高，借助混沌序列隨機性強和多維細胞神經網絡可以加大密鑰空間的特點，實現了圖像的有效加密.

關鍵詞：混沌；細胞神經網絡；無限折疊映射；圖像加密

DOI：IO.15938/j.jhust.2015.03.006

中圖分類號：TP273

文獻標志碼：A

文章編號：1007- 2683（ 2015）03- 0030- 05

0 引 言

混沌是自然界及人類社會中普遍存在的一種非線性現象，它是確定性非線性系統產生的類似隨機性的行為，確定但是又難以預測.在混沌系統中，當初始值發生微小的變化，整體的運動軌道就會發生巨大的變化，無法預測.混沌學興盛于20世紀70年代，法國的數學家龐加萊被公認為是混沌理論的創始者，他在研究三體問題時把動力學系統和拓撲學相結合，認為三體問題的某些解具有不可預測性，這就是一種保守系統中的混沌.1971年，RU-ELLE和TAKENS發表文章《論湍流的本質》，提出了用混沌描述湍流形成機理的論點.PECORA和CARORN于1990年發現了混沌可以被同步并且用電路實現了同步.由于混沌系統的確定性和隨機性的特點，只要給定系統的參數和初始條件，混沌特征就能夠被反復呈現.也正是由于混沌系統的這些確定又敏感的特點，使得它能夠更好的應用于密碼學.利用混沌系統的遍歷性，可以產生許多難以重構和預測的混沌序列，讓不法破譯者難以破解，因此用于加密信息非常合適，而且它的隨機性、抗破譯能力都勝于傳統的序列密碼，這使得混沌序列能夠成為一種加密序列.英國數學家Matthews于20世紀80年代末首次提出了混沌序列在密碼學中的應用.

同一時期，計算機和網絡通訊技術也得到了迅猛發展，這大大加快了人類社會信息的交流速度，然而信息時代的信息傳輸技術給人們帶來方便的同時也伴隨著安全隱患，網絡作為公共的資源平臺，存在著信息竊取，破壞等諸多弊端，數字信息的傳輸對個人和社會的發展都有著重要的影響，已成為國防和國民經濟的重要組成部分.所以對信息的保密工作要求不斷提高，圖像在傳輸中的安全問題也越來越受到人們高度重視，從而對密碼學的要求日益提升.密碼學歷史源遠流長，起初只是獨屬于軍事方面的一項技術研究，后來傳播并應用到民間社會，更興起了商業密碼學的熱潮.SHANNON曾經發表的著作“保密的通信理論”，引領了密碼學的發展方向，圖像加密屬于密碼學范疇，加密圖像通常有幾個特征，圖像的像素值和像素點的位置一般都會發生變化加密圖像的統計特征不明顯，而且各相鄰像素間的相關性很低，文章依據混沌理論，在已有學者的研究基礎上，將兩種混沌系統結合進行加密，驗證了其可靠性.

1 細胞神經網絡混沌系統

在1988年，CHUA和YANG兩人最先提出了細胞神經網絡細胞神經網絡（cellular neural network，簡稱CNN），它是一種具有實時信號處理能力的大規模非線性模擬電路，它的基本單位是細胞，是一種局部互連的神經網絡系統，一個MxN的細胞神經網絡有M行Ⅳ列的細胞排列組成，C（i，j）表示第i行第j列的細胞，定義C（i，j）的r鄰域如下：

式中： 為半徑為r的C（i，j）的鄰域；c（m，n）為該鄰域內的細胞，圖l表示了3種鄰域的細胞結構圖（粗線表示中心細胞）：

圖1不同鄰域的細胞神經網絡結構分布圖

用一階非線性微分方程的形式表示細胞的狀態方程如下式：式中： 為閾值常數；Yij為輸出變量，可以表示為戈ij的分段函教；P為線性電容；Rx為線性電阻；矩陣M為反饋模板；矩陣Ⅳ是控制模板.

在細胞神經網絡系統中，細胞間的聯系主要由控制模板和反饋模板來決定，文章選擇六維的參數模板可以加大密鑰空間，并且驗證了其混沌特性，下面是構造的多維細胞神經網絡的狀態方程：其中：

在混沌理論研究中，格里波基曾證明出可以根據Lyapunov指數判定混沌的存在性，其中只要保證至少有一個Lyapunov指數為正數，就可以說明該系統是混沌系統，通過計算Lyapunov指數法來研究系統（4）的動力學行為，得到6個Lyapunov指數分別為：

其中：有1個正的Lyapunov指數，所以系統（4）是一個混沌系統.利用四階Runge -Kutta算法求解式（5），圖2為系統（4）產生的混沌吸引子.

2 圖像加密算‘法

圖像加密過程由六維細胞神經網絡系統構造出六組混沌序列，作為圖像加密的秘鑰源，再根據一種無限折疊映射進行圖像置亂，實現圖像的加密.其映射是一串數列，后一個數可以寫成前一個數的通項公式， 是q與 的商對p取模，其中， .該映射系統是一維Markov系統，具有一個正的李雅普諾夫常數，因此是混沌系統.當a趨近于正無窮或者6趨近于0時，該混沌系統的不變分布圖趨近于均勻分布.并且當b=l且a>10或者當a=l且6<0.5時，所得到的序列可以通過均勻性統計檢驗.

1）加密方案展示圖

2）加密算法具體步驟

步驟1：根據細胞神經網絡混沌系統（4），給定參數取值，并賦初始值（0.2，0.2，0.2，0.2，0.2，0.2），從結果中選取固定的3個值作為密鑰（文章取X1，x2，X3三組序列的第200位數作為密鑰值）.

步驟2：讀取明文圖像，截取大小為MxN的圖像矩陣，利用一維無限折疊映射混沌系統，取a=25，b=l，將密鑰值代人公（4），產生3組不同的混沌序列.

步驟3：將步驟2中產生的混沌序列按照3：6：1的權重進行疊加并求和，將結果取整且保證值不超過256，形成置亂矩陣，

步驟4：加密處理，按照一定的權重將明文圖像矩陣與置亂矩陣值對應相加并求和，形成密文圖像.

步驟5：解密，按照上述步驟的逆過程進行解密.

3）實驗結果模擬

根據上述加密算法，對rlce米粒圖像和lena圖像進行加密，利用MATLAB7.0進行編程運行，得到如下結果：

3 實驗結果分析

1）相關性分析

相關性系數定義如下：其中： 是數x與數 的相關系數；E，D表示均值和方差；x，y在圖像中表示相鄰像素值，

本文從水平，豎直，對角3個方向隨機選取了10000個相鄰像素，對它們進行了相關性分析，原始圖像在水平方向上各相鄰像素間的相關系數為0.9373，加密后的圖像像素相關系數為0.0198，取垂直方向，原始圖像相鄰像素相關系數為0.9223.加密后變為0.0437，而對角線方向，原始圖像相鄰像素相關系數為0.9105，加密后變為0.0596，很容易可以看出，經過加密以后，圖像中各相鄰像素的相關系數大大下降，接近于0，說明此算法可行.

2）密鑰敏感性分析

密鑰敏感性分析是指當密鑰發生微小的變化時，對同一圖像用同樣方法加密后的密文圖像就無法解密.如把秘鑰keyl增加10-15，此時解密圖像如圖5，結果表明，本文的加密算法對密鑰有很強的敏感性，可以有效提高圖像的安全性能.

4 結 論

我們的社會不斷發展，尤其在高科技領域不斷突破，這使人們很快進入到虛擬的網絡時代，然而它在帶給我們諸多便利的同時更潛伏著大量危機，人們的隱私，國家的重大機密都有可能被網絡吞噬，因此信息的安全保障問題越來越受到人們以及國家的關注.對圖像信息的加密能夠有效起到一定的防御作用.文章在研究混沌理論的基礎上，利用細胞神經網絡和一種無限折疊映射的復合混沌系統對圖像進行加密，選擇高維的細胞神經網絡混沌系統可以加大密鑰空間，采用隨機性強的混沌序列作為密鑰源易于管理，在此加密方案下，圖像像素的統計特性被更改，相鄰像素間的相關系數也大大降低，起到了隱藏圖像真實信息的作用.