基于Matlabatlab的FIRFIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)

郭天賜

（河南大學(xué)歐亞國(guó)際學(xué)院，河南　開(kāi)封　47755000011）

基于Matlabatlab的FIRFIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)

郭天賜

（河南大學(xué)歐亞國(guó)際學(xué)院，河南開(kāi)封47755000011）

FIR數(shù)字濾波器是數(shù)字信號(hào)處理的一個(gè)重要組成部分，由于FIR數(shù)字濾波器具有嚴(yán)格的線性相位，因此，在信息采集和處理過(guò)程中得到了廣泛的應(yīng)用。本文介紹了FIR數(shù)字濾波器的概念，并在分析三種設(shè)計(jì)方法原理的基礎(chǔ)上，借助Matlab仿真軟件工具分別實(shí)現(xiàn)窗函數(shù)法、頻率采樣法和等波紋逼近法設(shè)計(jì)FIR濾波器。

數(shù)字濾波器；FIR濾波器；設(shè)計(jì)

現(xiàn)實(shí)中我們經(jīng)常接觸的信號(hào)有很多種。對(duì)于信號(hào)的各個(gè)應(yīng)用，濾波器是必不可少的一種工具。選用合適的濾波器對(duì)產(chǎn)品的質(zhì)量有一定的提升作用。同樣，不適合的濾波器將影響產(chǎn)品的使用。

1　FIR濾波器及其設(shè)計(jì)方法

1.1FIR濾波器的基本概念

FIR濾波器即沖激響應(yīng)是有限單位長(zhǎng)的濾波器，是一個(gè)穩(wěn)定的系統(tǒng)。因此，F(xiàn)IR濾波器在生活的各個(gè)方面都有廣泛的應(yīng)用。

1.1.1FIR濾波器的優(yōu)點(diǎn)

①對(duì)于嚴(yán)格的線性相位要求能簡(jiǎn)單地完成，同時(shí)被處理的信號(hào)產(chǎn)生可減少相位失真；

②可得到多帶幅頻特性；

③極點(diǎn)全部在原點(diǎn)（永遠(yuǎn)穩(wěn)定），無(wú)穩(wěn)定性問(wèn)題；

④總是滿足因果性；

⑤無(wú)反饋運(yùn)算，運(yùn)算誤差小。

1.1.2FIR濾波器的缺點(diǎn)

①因?yàn)闊o(wú)極點(diǎn)，要獲得好的過(guò)渡帶特性，須以較高的階數(shù)為代價(jià)；

②需要計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)以使程序完成。

1.2數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法

FIR數(shù)字濾波器有很多設(shè)計(jì)的方式，其中較為常用的是頻率采樣設(shè)計(jì)法、窗最優(yōu)化設(shè)計(jì)法和函數(shù)設(shè)計(jì)法。本文主要論述利用窗函數(shù)法、頻率采樣法和等波紋切比雪夫逼近法來(lái)實(shí)現(xiàn)FIR濾波器的多種設(shè)計(jì)。

2　FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)

FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)過(guò)程一般包括以下基本問(wèn)題：

①根據(jù)實(shí)際要求確定數(shù)字濾波器性能指標(biāo)；

②用一個(gè)因果穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù)去逼近這個(gè)理想性能指標(biāo)。

2.1窗函數(shù)法

窗函數(shù)法從時(shí)域出發(fā)，傳輸函數(shù)的系數(shù)由截取一段理想濾波器的單位脈沖響應(yīng)來(lái)表示，被稱為設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的最簡(jiǎn)單的方法。由于窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器是在時(shí)域進(jìn)行的，且理想單位脈沖響應(yīng)一般是非因果、無(wú)限長(zhǎng)的，這就需要截取，截取的方法就是加窗。Matlab工具箱中加入了許多的窗函數(shù)，其中三角窗的最小阻帶值為25db、主瓣寬度為8π/M、精確過(guò)度帶寬6.1π/M，矩形窗最小阻帶值為21db、主瓣寬度為4π/M、精確過(guò)度帶寬1.8π/M，布拉克曼窗最小阻帶值為74db、主瓣寬度為12π/M、精確過(guò)度帶寬為11π/M，切比雪夫窗最小阻帶值為21db、主瓣寬度為4π/M、精確過(guò)度帶寬為1.1π/M，漢寧窗最小阻帶值為44db、主瓣寬度為8π/M、精確過(guò)度帶寬為6.6π/M，海明窗最小阻帶值為53db、主瓣寬度為4π/M、精確過(guò)度帶寬為1.8π/M，凱塞窗最小阻帶值為21db、主瓣寬度為4π/M、精確過(guò)度帶寬為1.8π/M［1-2］。由頻率相應(yīng)Hd（ejw）求取沖擊響應(yīng)，即分析出系統(tǒng)的穩(wěn)定性和耦合性，然后通過(guò)在Matlab上編寫(xiě)軟件程序，從而設(shè)計(jì)出一個(gè)近似的頻率響應(yīng)，實(shí)現(xiàn)了硬件濾波器軟件的設(shè)計(jì)。設(shè)計(jì)過(guò)程如下：

為了把理想濾波器的無(wú)限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)hd（n）乘以窗函數(shù)w（n）來(lái)產(chǎn)生一個(gè)被截?cái)嗟拿}沖響應(yīng)，人們使用了加窗的方法，即h（n）=hd（n）w（n），并且對(duì)頻率響應(yīng)進(jìn)行平滑。

窗函數(shù)主要用來(lái)減少序列因截?cái)喽a(chǎn)生的Gibbs效應(yīng)。為了克服這種現(xiàn)象，應(yīng)該在設(shè)計(jì)窗函數(shù)時(shí)，濾波器的頻率特性最大程度地降低主瓣寬度的數(shù)值，且能量要求盡可能不被浪費(fèi)；窗函數(shù)頻率特性中的ω越接近π其能量越接近零點(diǎn)［3］。

2.2頻率采樣法

頻率采樣法從頻域出發(fā)，理想濾波器的頻率響應(yīng)為H（ejw），進(jìn)行相同間隔的抽樣，將得出的理想頻率響應(yīng)通過(guò)采樣的方式得到hd（k）：

再利用Hd（k）可求得FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H（Z）及頻率響應(yīng)H（ejw），通過(guò)離散傅立葉反變換。而在各采樣點(diǎn)間的頻率響應(yīng)則是其加權(quán)內(nèi)插函數(shù)延伸疊加的結(jié)果。但在現(xiàn)實(shí)中信號(hào)大多是無(wú)限長(zhǎng)的序列，插值逼近理論在實(shí)際應(yīng)用中會(huì)有理想的頻率響應(yīng)曲線和理想的頻率響應(yīng)特性，內(nèi)插函數(shù)的值越接近理想值，誤差越小，逐步轉(zhuǎn)變形狀的近似誤差，誤差的大小，為此設(shè)計(jì)時(shí)需要隨機(jī)地在不連續(xù)的區(qū)域添加不等量過(guò)度點(diǎn)。為了提高逼近的質(zhì)量，可以通過(guò)在頻率相應(yīng)的過(guò)渡帶內(nèi)插入比較連續(xù)的采樣點(diǎn)，從而使得通帶和阻帶之間變換比較緩慢，以達(dá)到減少逼近誤差的目的。選取w∈［0，2π］內(nèi)N個(gè)采樣點(diǎn)的約束條件為：

2.3等波紋逼近法

2.3.1等波紋切比雪夫逼近準(zhǔn)則

對(duì)于通帶和阻帶的誤差數(shù)值在濾波器的設(shè)計(jì)中有不同的要求。等波紋切比雪夫逼近準(zhǔn)則通過(guò)對(duì)通帶應(yīng)用加權(quán)函數(shù)A，對(duì)阻帶使用應(yīng)用加權(quán)函數(shù)B，以此來(lái)實(shí)現(xiàn)相同的在不同頻段的（通常指的是通帶和阻帶）加權(quán)誤差最大值，從而實(shí)現(xiàn)濾波器最大誤差在滿足性能指標(biāo)的條件下達(dá)到最小值。

窗函數(shù)法與頻率采樣法在FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)中被人們廣泛地應(yīng)用，但兩者均無(wú)法成為最優(yōu)化的設(shè)計(jì)，被廣泛應(yīng)用的原因是因?yàn)榭紤]到成本與使用的問(wèn)題。通常情況下線性相位濾波在不同的頻帶內(nèi)逼近的最大容許誤差要求不同。即使得Hd（ejw）和H（ejw）之間的最大絕對(duì)誤差最?。?］。

等波紋切比雪夫逼近是采用加權(quán)逼近誤差E（ejw），它可以表示為：

其中，W（ejw）為逼近誤差加權(quán)函數(shù)在誤差要求高的頻段上，可以取較大的加權(quán)值，否則，應(yīng)當(dāng)取較小的加權(quán)值。

雖然按照FIR數(shù)字濾波器單位取樣響應(yīng)h（n）的對(duì)稱性和采樣點(diǎn)數(shù)的奇偶性，F(xiàn)IR濾波器可被分為不同類(lèi)型的幾種濾波器，但濾波器的頻率響應(yīng)的公式卻是可以寫(xiě)成同樣的式子：

其中，k∈｛0，1｝，H（ω）為幅度函數(shù)，且是一個(gè)純實(shí)數(shù)，表達(dá)式也可以寫(xiě)成統(tǒng)一的形式：

其中，Q（ω）為ω的固定函數(shù)，P（ω）為M個(gè)余弦函數(shù)的線性組合［5］。

2.3.2仿真函數(shù)

利用remezord和remez函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)FIRDF的最優(yōu)化設(shè)計(jì)，而且remezord和remez函數(shù)存在于數(shù)字信號(hào)處理工具箱中：

（1）n，f0，a0，weight=remezord（f，a，dev）

是用來(lái)代替remezord中的N，歸一化頻帶邊緣、頻帶的振幅頻帶振幅中存在的功能和在每個(gè)頻帶之內(nèi)權(quán)重的加權(quán)系數(shù)的輸入?yún)?shù)，它們代表不同的含義。

（2）h=reme（n，f0，a0，weight，′ftype′）

功能：利用remez函數(shù)可以得到最優(yōu)化設(shè)計(jì)的FIR DF的h（n）系數(shù)，輸入?yún)?shù)中濾波器的階數(shù)由第一個(gè)數(shù)據(jù)n來(lái)表示。為了區(qū)分濾波器的類(lèi)型，人們?cè)谧詈蠹尤雈type值來(lái)區(qū)分不同類(lèi)型的濾波器。remezord函數(shù)的階數(shù)n提升的高估或低估。因此在通過(guò)remezoed函數(shù)求出濾波器的系數(shù)后，對(duì)于阻帶最小衰減的檢測(cè)觀察其是否滿足設(shè)計(jì)要求［6］。如果此時(shí)的阻帶最小衰減不能滿足設(shè)計(jì)要求，那么就必須提高濾波器的階數(shù)。

3　結(jié)果分析

在間斷點(diǎn)處增加一個(gè)過(guò)渡點(diǎn)后的情況?？梢钥闯鰹V波器的帶外衰減指標(biāo)有了明顯的改善，但同時(shí)增加了濾波器的過(guò)渡帶寬。

采樣點(diǎn)上2/N點(diǎn)集中在指定的通帶和阻帶截止頻率的整數(shù)倍的頻率，這種方法受到一定的限制，相對(duì)而言，不夠靈活。充分地提高N，對(duì)于任何給定的頻率可以接近。但計(jì)算量和復(fù)雜性增加。頻率采樣法明顯偏離設(shè)計(jì)指標(biāo)，且相對(duì)來(lái)說(shuō)更不易操作，只有過(guò)渡帶樣點(diǎn)值與實(shí)際相對(duì)出入較小時(shí)，衰耗特性才會(huì)取得令人滿意的結(jié)果。

4　結(jié)論

在設(shè)計(jì)中，要使設(shè)計(jì)的濾波器的沖激響應(yīng)同時(shí)滿足預(yù)先設(shè)定的全部參數(shù)是十分困難的，如果該濾波器的特性不滿足要求，但是原有參數(shù)必須做適當(dāng)調(diào)整。這在程序中很容易實(shí)現(xiàn)，只需對(duì)參數(shù)M、δ1、δ2事先給定，允許ωp與ωs隨著要求的改變而變化，就可以得到新條件下濾波器的特性。從而達(dá)到節(jié)約資源的效果。這樣使得設(shè)計(jì)出來(lái)的濾波器更為簡(jiǎn)單經(jīng)濟(jì)。

相對(duì)于前兩種濾波器的設(shè)計(jì)方法，等波紋逼近法有著無(wú)法忽視的優(yōu)勢(shì)。其不僅程序簡(jiǎn)單而且在實(shí)現(xiàn)中的應(yīng)用層面也相對(duì)較寬廣。當(dāng)一個(gè)產(chǎn)品需要壓縮程序空間時(shí)，對(duì)于濾波器設(shè)計(jì)模塊最優(yōu)化設(shè)計(jì)給出的濾波器必定是我們的首選方式。

［1］郭士劍，賀志國(guó).Matlab7.x數(shù)字信號(hào)處理［M］.北京：人民郵電出版社，2008.

［2］程耕國(guó)，陳華麗.信號(hào)與系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)教程（Matlab）版［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2009.

［3］謝仕宏.Matlab R2008控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)仿真實(shí)例教程［M］.北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2005.

［4］徐昕，伯曉晨，等.Matlab工具箱應(yīng)用指南——控制工程篇［M］.北京：電子工業(yè)出版社，2000.

［5］程耕國(guó).信號(hào)與系統(tǒng)：上冊(cè)［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2009.

［6］程耕國(guó).信號(hào)與系統(tǒng)：下冊(cè)［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2009.

Design of FIR Digital Filter based on Matlab

Guo Tianci
（Eurasian International College，Henan University，Kaifeng Henan 475001）

FIR digital filter is an important part of digital signal processing，due to its strict linear phase，so in the process of information acquisition and processing，it has been widely used.The concept of FIR digital filter is introduced in this paper，and based on the analysis of three design principles and methods，with the tool of MATLAB simulation software，F(xiàn)IR digital filter is designed by the window function method and frequency sampling method and the ripple approximation method respectively.

digital filter；FIR filter；design

TN713.7

A

1003-5168（2015）10-0042-3

2015-9-20

郭天賜（1995-），男，本科，研究方向：通信工程。