調和映照與像域為線性連結的剪切函數的關系

占龍俊，黃心中

（華僑大學數學科學學院，福建泉州362021）

調和映照與像域為線性連結的剪切函數的關系

占龍俊，黃心中

（華僑大學數學科學學院，福建泉州362021）

調和映照；線性連結；調和擬共形映照；α近于凸.

1 預備知識

Huang［3］對Chuaqui等［2］所得的結論進一步推廣，得到不少有趣的成果.Huang［3］還特別指出，在一定條件下，f（D）的線性連結性與f（z）的擬共形性，及h（D）線性連結性與h（z）的單葉性是一對不變量.文獻［6－8］分別對單葉調和映照的性質及穩定性問題進行研究.

Chen等［10］證明了定理C［2］.

2 主要結果及證明

證明 假設F（z）＝h（z）－g（z），若h（z）在D上不單葉，則存在z1，z2∈D，且z1≠z2，使得h（z1）＝h（z2）.由h（z）＝F（z）＋g（z），則F（z2）－F（z1）＝g（z1）－g（z2）.根據F（z）的單葉性，令w＝F（z）有w2－w1＝g（F－1（w1））－g（F－1（w2））.由于F（D）是M－線性連結區域.則存在連結w1－w2∈F（D）的可求長曲線γ∈F（D）滿足l（γ）≤M｜w1－w2｜，即

這與w2－w1＝g（F－1（w1））－g（F－1（w2））矛盾，從而說明h（z）在D上單葉.

令ξ＝h（F－1（w））＝w＋g（F－1（w）），任意ξ1，ξ2∈h（D），存在w1，w2∈F（D），使ξ1＝h（F－1（w1）），ξ2＝h（F－1（w2））.由于F（D）是M－線性的連結區域，則存在γ為連結w1，w2的曲線，使l（γ）≤M｜w1－w2｜.取Γ＝h（F－1（γ）），有

又

又

相應于定理C的結果，進一步研究其參數化的情況，得到定理2.

證明 因F（z）為D上α近于凸映照，由文獻［6］得F（z）在D上的單葉，且F（D）是1／cos（απ／2）－線性連結區域，則由定理C可得h（z）在D上的單葉.

令ξ＝h（F－1（w））＝w＋g（F－1（w）），任意ξ1，ξ2∈h（D），存在w1，w2∈F（D），使ξ1＝h（F－1（w1）），ξ2＝h（F－1（w2））.由于F（D）是1／cos（απ／2）－線性連結區域，則存在γ為連結w1，w2的曲線，使l（γ）≤1／cos（απ／2｜w1－w2｜）.取Γ＝h（F－1（γ）），有

又

又

注1 注意到當｜λ｜＜1時，這時t可以取到小于2的常數.

又

對于fλ（z）＝h（z）＋λg（z）時，采用相同的證明方法，可得到定理3中的結論.定理3證畢.

在定理1，2，3中，若F（z）＝h（z）＋g（z）有相應的假定，結論仍是成立的.

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［10］ CHEN Shao－lin，PONNUASMY S，RASILA A，et al.Linear connectivity，Schwarz－Pick lemma and univalency criteria for planar harmonic mappings［EB／OL］.［2015－01－05］.http：／／arxiv.org／abs／1404.4155.

Relation Between Harmonic Mapping and Its Shear Function With Linearly Connected Image Domain

ZHAN Long－jun，HUANG Xin－zhong

（School of Mathematical Sciences，Huaqiao University，Quanzhou 362021，China）

harmonic mapping；linearly connected domain；harmonic quasiconformal mapping；α－close－to convex

陳志賢 英文審校：黃心中）

O174.51；O174.55文獻標志碼： A

1000－5013（2015）05－0603－06 doi：10.11830／ISSN.1000－5013.2015.05.0603

2015－01－05

黃心中（1957－），男，教授，博士，主要從事函數論的研究.E－mail：huangxz＠hqu.edu.cn.

國家自然科學基金資助項目（11471128）；福建省自然科學基金資助項目（2014J01013）