角動量的理論研究

尹芬芬

（銅仁學院 物理與電子工程學院，貴州 銅仁 554300 ）

角動量的理論研究

尹芬芬

（銅仁學院 物理與電子工程學院，貴州 銅仁 554300 ）

研究一些物理問題時，我們會遇到質點或質點系相對于參考點或繞軸轉動的情況，此時用速度、動量都不能解決，因此物理學中引入了新的物理量—角動量。角動量能準確地描述物體的轉動狀況，在量子領域中也能反映表征狀態，并且在現代技術中有著廣泛的應用。本文從角動量的定義出發，對質點對參考點、質點繞定軸、質點系繞定軸等不同情況下的角動量定理及守恒定律進行了研究，并對動量守恒和角動量守恒的區別與聯系以及角動量的知識應用等進行了探討。

角動量；質點；轉動

1.引言

角動量是大學物理中的重要參量，它能準確地描述物體的轉動情況。它在經典物理、航空技術、近代物理理論中都扮演著極其重要的角色，是物理學中重要的力學概念之一［1］。下面我們具體研究各種情況下物體角動量及其相關定理和定律。

2.各種情況下角動量定理及守恒定律

2.1.質點對參考點的角動量研究

2.1.1.質點對參考點的角動量

如圖所示，該質點質量為m，速度為v→，其相對于參考點O的位矢為r→，那么該質點對O點而言，其角動量定義為：的大小為L=rmvsinφ，其中φ為和→的夾角。→垂直于→和→所在平面，指向滿足右手螺旋定則。

由于速度及位矢都是矢量，在直角坐標系中可

分別表示成：

可得質點相對于參考點的具體表達式：

2.1.2.質點對參考點的角動量定理

需要說明的是：力矩、角動量均對慣性系的同一參考點而言，且該點為定點時，才滿足上式。

2.1.3.質點對參考點的角動量守恒定→律

2.2.質點對固定軸（設為z軸）的角動量

2.2.1.質點對固定軸的角動量

設某一質點繞z軸轉動，那么質點對z軸的角動量為它對軸上任意點的角動量沿該軸的分量。可得質點對z軸的角動量為

2.2.2.質點對固定軸的角動量定理

式中zM 是對z軸的力矩，zM 的具體求法：對該軸線上某點的力矩M在該軸線上的投影。

2.2.3.質點對固定軸的角動量守恒定律

2.3.質點系對參考點的角動量研究

2.3.1.質點系對參考點的角動量［3］

質點系是由許多個質點組成的系統，比如剛體就是特殊的質點系，它可看做由很多質點組成，且各質點間的距離保持不變。質點系對定點的角動量的定義為各質點對該點的角動量的矢量和。

2.3.2.質點系對參考點的角動量定理

因為質點系之間的力總是成對出現，且大小相等，方向相反，所以內力矩之和M內=0。

2.3.3.質點系對參考點的角動量守恒定律

當M外=0，那么質點對該點的角動量守恒，即=常矢量。質點對固定軸角動量守恒包括三種情況：（1）=0；（2）質點系所受的外力均通過該參考點；（3）單個外力的力矩不為 0，但總外力矩M外=0

2.4.質點系對定軸z軸的角動量

我們研究特殊的質點系—質量分布均勻的剛體繞固定對稱軸z軸的轉動情況。

2.4.1.剛體對定軸的角動量

由此可知，只有固定軸z軸是質量均勻分布的剛體對稱軸，即 Z軸為剛體的主轉動慣量時［4］，才滿足：

2.4.2.質點系對定軸的角動量定理

當固定軸z軸是質量均勻分布的剛體對稱軸時，有：

2.4.3.質點系對定軸的角動量守恒定律

2.5.剛體進動時的角動量

所謂進動指物體在高速自轉的同時，其自身對稱軸還繞豎直軸做回旋運動。如將飛輪轉軸的自由端放在固定的豎直桿頂端的凹槽O中，使飛輪繞自身水平軸OO'旋轉［5］，亦稱之為自旋。放手后，飛輪在自旋的同時，其軸在水平面內以O為中心旋轉。下面研究自行車飛輪進動的角動量。

3.動量與角動量知識的區別與聯系

當一質點對參考點的動量守恒時，它的角動量必定守恒；反之，它對參考點的角動量守恒時，動量不一定守恒［6］。下面將進行具體證明：

4.角動量知識的應用

4.1.解釋日常現象［7］：

日常生活中很多現象蘊含角動量知識，如：滑冰運動員做花樣動作時，合外力矩為0，角動量守恒，運動員通過伸展或收縮手臂及腿來改變自身對轉動軸的轉動慣量，從而改變轉速。競技運動員空翻時，在空中蜷縮身體減小轉動慣量，增大轉速；著地時伸展身體增大轉動慣量，減小轉速。

4.2.解題應用

4.2.1.證明定律：

行星運動的開普勒第二定律：在太陽系中行星對太陽的矢徑在相等的時間內掃過的面積相等。現在我們通過角動量守恒定律來證明：

設質量為m的行星在t時刻速度為v→，對太陽的矢徑為r→，因為行星對太陽的角動量守恒，所以恒矢量，行星對太陽的矢徑在dt間隔內掃過的面積為：

4.2.2.解題舉例：

質量為m，長度為l的棒豎直懸掛于固定點，一質量為0m的子彈以水平速度0v→射入棒的下端后速度變為原來的，求子彈射出后棒的角速度ω。

分析：將棒和子彈視為一個系統，那么系統所受合力矩為0，滿足角動量守恒：

4.3.現代技術中的應用

角動量定理和守恒定律在現代技術如航空航天、航海、測量儀器等方面都有廣泛的應用［8］。如航空方面：直升機為什么要安裝抗扭螺旋槳呢？下面進行具體分析：直升機由三部分組成：主螺旋槳、機身和抗扭螺旋槳組成。將機身和主螺旋槳視為一系統，開始發動機沒有發動，直升機靜止，對于機身和主螺旋槳這一系統而言，角動量為零。主螺旋槳轉動時，輪與地面的摩擦力矩為外力矩，系統的角動量增加，但此時主螺旋槳作用于機身的內力矩和輪與地面的摩擦力矩平衡，從而使機身處于平衡狀態。隨著主螺旋槳轉速增加，機身離地，摩擦力矩為0，忽略空氣阻力矩，系統角動量守恒，如果其轉速繼續增加，機身會向反方向運動，以維持角動量守恒，所以安裝抗扭螺旋槳產生附加力矩與機身內力矩保持平衡。再如，輪船具有大量轉動部件物體，當輪船航行時，輪船本身會繞橫軸擺動，或繞鉛直轉彎或繞船身縱軸擺動，此時轉動部件進動，從而產生陀螺力矩，造成軸承破壞或轉軸彎曲。

［1］羅會琴.在物理教學中培養學生的發掘探究能力［J］.銅仁學院學報，2007，9（4）：128-130.

［2］陳文燈，黃先開.數學題型集粹與練習題集（理工類）［M］.北京：世界圖書出版公司，2003.

［3］任麗英.關于力矩和角動量教學的幾點看法［J］.忻州師范學院學報，2003，19（2）：69-70.

［3］王少杰，顧牡.新編基礎物理學（上冊）［M］.北京：科學出版社，2009.

［4］黃英，李華，李靜.剛體角動量的確定［J］.職業圈，2007，（7）：117-119.

［5］張三慧.大學物理學：力學［M］.北京：清華大學出版社，1999.

［6］李志民.角動量守恒定律討論［J］.洛陽大學學報，1999，14（2）：125-128.

［7］樊麗娟，張林，譚德斌，等.“物理問題”教學的實驗研究［J］.銅仁學院學報，2010，12（4）：135-137.

［8］王志剛，張立換，徐建軍.角動量理論在現代技術中的應用［J］.現代物理知識，2007，19（1）：87-90.

Theoretical Studies on Angular Momentum

YIN Fen-fen
（School of Continuing Education，Tongren University，Tongren，Guizhou 554300，China ）

In physics，mass points or mass point systems may revolve relative to the reference point or around the axis. In this case，neither velocity nor momentum can solve it，but angular momentum，a new physical concept of physics，is introduced，which precisely describes the revolution of an object，reflects its representational state in the quantum realm，and is therefore widely used in modern technologies. Based on the definition of angular momentum，this article studies the angular momentum theorems and the conservation laws governing in different circumstances such as the mass point relative to the reference point，the mass point around the fixed axis，the mass point system around the fixed axis，etc，and further probes the differences and commonality between momentum conservation and angular momentum conservation，and the application of angular momentum.

angular momentum，mass point，revolve

O311.1

A

1673-9639 （2015） 04-0098-04

（責任編輯 徐松金）（責任校對 毛志）（英文編輯 田興斌）

2014-11-27

尹芬芬（1987-），女，湖南邵陽人，碩士，主要從事理論物理引力與相對論方向的研究。