一個定積分不等式的八種證明方法

莊科俊

（安徽財經大學 統計與應用數學學院，安徽 蚌埠 233030 ）

一個定積分不等式的八種證明方法

莊科俊

（安徽財經大學 統計與應用數學學院，安徽 蚌埠 233030 ）

對一個定積分不等式，通過八種證明方法闡明了定積分不等式證明中的一些方法及技巧。

定積分；不等式；積分中值定理；積分上限函數

1.引言

定積分不等式是數學分析的重要組成部分，對數學類專業學生后續課程的學習有著深遠的影響。定積分不等式的證明方法和技巧非常靈活和多樣，需要學生在學習過程中不斷探索和總結。有不少文獻對一些特殊的定積分不等式的證明做出了探討［1-3］。本文針對哈爾濱工業大學2003年考研題中的一個定積分不等式的證明題，利用八種不同的方法進行了證明，借此闡明定積分不等式證明中的常用方法及技巧。

2.定積分不等式的證明

問題：設f（x）在［0，1］上連續且單調增加，證明：

下面利用不同的知識，構建了八種不同的證明方法。

2.1.利用定積分定義

由于函數xf（x）與f（x）在［0，1］上都可積，所以可以選取等份分割T ：

根據f（x）的單調性，對充分大的n，則有

不論n是奇數還是偶數，總有

令n→∞，根據定積分的定義不等式得證。

2.2.利用換元法

作變換t=x2，則

2.3.利用二重積分

從而得證。

2.4.利用函數單調性

2.5.利用微分中值定理

2.6.利用積分第一中值定理

2.7.利用推廣的積分第一中值定理

2.8.利用積分第二中值定理

利用積分第二中值定理的推論［4］，存在，使得

由函數f（x）的單調遞增以及0＜ξ＜1，則

，可得

。證畢。

［1］殷劍峰.一些特殊積分不等式證明的探討［J］.蘭州文理學院學報（自然科學版），2014：28（1）：23-26.

［2］海杰.一道積分不等式的四種證法［J］.高等數學研究，2012，15（6）：46-47.

［3］蔣永鋒.關于積分不等式的幾種證明方法［J］.高等數學研究，2012，15（6）：53-55.

［4］華東師范大學數學系.數學分析（上冊）［M］.第四版.北京：高等教育出版社，2010.

（School of Statistics and Applied Mathematics，Anhui University of Finance and Economics，Bengbu，Anhui 233030，China ）

Eight Proofs for an Integral Inequality

ZHUANG Ke-jun

In the paper，in order to prove an integral inequality，some common methods and techniques are illustrated by eight proofs for an integral inequality.

definite integral，inequality，integral mean value theorem，integral upper limit function

O172.2

A

1673-9639 （2015） 04-0188-02

（責任編輯 毛志）（責任校對 徐松金）（英文編輯 田興斌）

2014-08-15

本文系安徽財經大學教學研究項目（acjyyb2014090）研究成果。

莊科俊（1982-），男，江蘇金壇人，講師，碩士，主要從事微分方程的研究。