常見的數學解題思想

楊英杰

（銅仁學院 數學科學學院，貴州 銅仁 554300 ）

常見的數學解題思想

楊英杰

（銅仁學院 數學科學學院，貴州 銅仁 554300 ）

常見的數學解題思想有四類：函數與方程、轉化與化歸、分類討論、數形結合。本文討論這四類數學解題思想在學習中的應用，從而引導學生學好數學。

函數與方程；化歸；分類討論；數形結合

“學好數理化，走遍天下都不怕”是上世紀 80年代非常響亮的一句口號，這也充分說明數理化在生活當中的重要意義。而數理化當中最難學好的是數學，很多學生，提到數學就頭疼。那么該如何學好數學呢？要想學好數學，就要掌握數學解題思想，思想掌握了，學好數學自然就輕松多了。本文重點探討四類常見的數學解題思想：函數與方程、轉化與化歸、分類討論、數形結合，將這四類數學解題思想逐一闡述，并結合例題進行分析說明。

1.函數與方程

函數與方程的思想即是通過對問題中的各數量的依賴關系的分析，將問題定性為函數問題或方程問題，然后通過對函數或方程的討論解決問題［1］。下面結合例題進行分析。

設A點坐標為（x1，y1）、B點坐標為（x2，y2），x1，x2為方程（1）的兩根，那么（1）必為二次方程，所以2-k2≠0，且由韋達定理可知：

解得k=1，故直線AB的方程為：1yx=+。

本題是將所求量作為未知數置于相關量的依附中，從兩個不同的方面去研究目標，建立等量關系，從而得到一個方程，進而通過解方程求得未知數的值，有一定的技巧。

2.轉化與化歸

轉化與化歸思想在于將未知的、繁雜的問題通過演繹歸納轉化為已知的、相對較簡單的問題，化繁為簡，有利于求解［2］。常見的轉化方法有：一般特殊化、等價轉化、復雜簡單化、變量代換等。下面結合例題進行分析。

本題采用變量代換使得問題簡化。在運用轉化與化歸的思想時，重點與難點是輔助函數的選擇。輔助函數選擇適當，問題就迎刃而解；反之，會使計算更加繁瑣。所以選擇時要慎重，有時候要反復嘗試。

3.分類討論

當一個問題因為某種相應的量或圖形的情況不同而有可能導致問題的結論不同時，需要對這個相應的量或圖形的各種情況進行分類討論。分類討論是一種重要的解題方法，常常能起到簡化問題達成解決問題的作用。解題過程實質是一個變形過程，往往需要對問題做一些假設，從而引起分類討論［3］。

例3 求函數y=（k+1）x2+x-k與x軸的交點坐標。

分析：本題的題設是不唯一的，這樣的函數是什么函數？因此要進行分類討論，一類是一次函數，一類是二次函數。

（1）如果k=-1，則函數為一次函數，那么它與x軸唯一交點為 （-1，0）；

b. 當Δ=0，解得k=-1/2時，因此有一個交點，為（-1，0）；

綜上所述，我們可知：

當k=-1時，與x軸交點為（-1，0）；

當k=-1/2時，與x軸只有一個交點，為（-1，0）。

由上面例子可知，對于分類討論問題，審清題意是關鍵，如果不認真審題，往往會出現漏解或者重復求解的情況。因此在做此類型的題目時一定要審好題，考慮全面，把所有可能出現的情況一一羅列出來，分別討論，這樣才能做好此類問題。教師在講解此類問題時，一定要求學生認真審題，拒絕粗心大意，考慮所有情況，從而有效解題。

4.數形結合

數形結合就是既分析數學問題的代數意義，又揭示其幾何意義。幾何圖形更加直觀，更好理解，有利于求解；反過來，圖形的求解又依賴于代數來表述。因此，二者是相輔相成的關系［4］。

例4 如圖1所示，在四邊形ABCD中，ΔABD、ΔBCD 和 ΔABC的面積之比為3：4：1，點M、N分別在AC、CD上，且滿足AM：AC=CN： CD，且B、M、N三點共線。求證：M與N分別是AC和CD的中點。

圖1　例4示意圖

證明：在 KDCΔ的三邊（所在直線）CD、DK、KC被一直線分別截于點N、B、M，則由珻勒嶗（Menelaus）定理可得，

由于AM：AC=CN： CD ，則可以假設

又由于 ABDΔ，BCDΔ和 ABCΔ的面積之比為3：4：1，則

所以

本題通過珻勒嶗（Menelaus）定理把幾何題轉化為代數題，從而運用代數方法解決問題。

5.小結

本文探討了常見的四類數學解題思想，并用例子加以說明，從中我們可以看出數學解題思想在學習中的應用的一個梗概。教師在數學教學中應將數學解題思想與整個基礎知識的講解、傳授融為一體?！笆谌艘贼~，不如授人以漁”，教師在教學中不但要注重傳授學生數學基礎知識，而且更重要的是注重傳授學生數學解題思想。通過對習題的講解使學生逐步掌握有關的數學解題思想，從而提高學生的數學能力，使學生養成良好的數學素質。在這一過程中，教師應提高自身的教學修養，提升教學理念，真正以“人”為本提高課堂效益與教學質量。

［1］張奠宙，宋乃慶.數學教育概論［M］.第二版.北京：高等教育出版社，2009.

［2］呂鳳祥.中學數學解題方法［M］.哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2003.

［3］華東師范大學數學系.數學分析［M］.北京：高等教育出版社，1991.

［4］張雄，李得虎.數學方法論與解題研究［M］.北京：高等教育出版社，2009.

On the Thinking of Solving the Mathematics Problems.

YANG Ying-jie
（School of Mathematics and Computer Science，Tongren University，Tongren，Guizhou 554300，China ）

Common mathematics problem-solving thoughts have four categories： function and equation，transformation and reduction，classification discussion，combination of number and shape. The paper discussed the four categories for application in study as to guide the students to learn mathematics well.

function and equations，transformation and reduction，classification discussion，combination of number and shape

G424

A

1673-9639 （2015） 04-0190-03

（責任編輯 毛志）（責任校對 徐松金）（英文編輯 田興斌）

2014-04-17

本文系貴州省科技廳項目（黔科合J字LKT［2012］24號），銅仁學院自然科學基金（TS10018）研究成果。

楊英杰（1982-），女，副教授，碩士，主要研究方向：最優化方法、生物信息學、控制論。