變載荷作用下柔順關節變寬度片彈簧的變形分析

□ 王 芳 □ 章 軍，2 □ 劉光元

1.江南大學 機械工程學院 江蘇無錫 214122 2.江蘇省食品先進制造裝備重點實驗室 江蘇無錫 214122

變載荷作用下柔順關節變寬度片彈簧的變形分析

□ 王 芳1□ 章 軍1，2□ 劉光元1

1.江南大學 機械工程學院 江蘇無錫 214122 2.江蘇省食品先進制造裝備重點實驗室 江蘇無錫 214122

提出一種以變寬度片彈簧為骨架的氣動柔順關節，可構成柔性自適應機械手。片彈簧的變形等效于彈性懸臂梁自由端受特殊變載荷作用的大擾度變形。采用分段非線性變系數并帶有未知參數的微分方程建立靜態模型，借助MATLAB中的BVP4C函數得到不同壓力下片彈簧任意位置的變形傾角、變形位移的數值解，變載荷明確后利用ANSYS建模仿真，驗證結果的正確性。與等寬度片彈簧對比后說明，變寬度片彈簧骨架關節具有柔性好、節省能源的優點。

變寬度片彈簧 懸臂梁 特殊變載荷 大擾度變形 柔順關節

傳統工業機械手只能抓持形狀大小相同、位置狀態一致、不會破損的剛性工件，而仿人靈巧機械手需要精確感知復雜對象，然后控制運動和抓持力，因此結構復雜、價格昂貴，目前尚處于實驗室研究階段。針對以上情況，本文提出一種變截面片彈簧柔順關節，該關節有著較好的柔順型與適應性，可以滿足抓持大小不一、形狀各異、易傷易碎物品的要求。

片彈簧變形等同于懸臂梁的大撓度變形分析［1-2］，在懸臂端的作用力為特殊變載荷 （大小和方向隨氣缸壓強的增大呈現非線性變化）。由于片彈簧變形時的載荷未知，無法用有限元軟件ANSYS或Abaqus直接建模仿真求解［3-4］。研究柔順機構方法還有偽剛體模型法［5-7］，但是目前這種方法對特殊變載荷作用的懸臂梁還不能建立較為精確的模型。Banerjee等［8］利用非線性打靶和Adomian［9］分解方法以及錢偉長［10］、何曉婷［11］等采用雙參數攝動法研究了大變形梁的數值解，為大變形數值求解提供了很好的思路，但是這些方法都是以懸臂梁自由端的作用力是方向不變的力為先決條件的，不適用于本文闡述的特殊變載荷狀況。

1 片彈簧的靜態模型與計算

1.1 靜態模型

柔性關節結構如圖1所示，尾座3和頭座7通過螺栓8分別與指根節1和指尖節9連接，尾座與指根節、頭座與指尖節中間均夾有調節墊片2，兩端的偏心距可以根據需要調節。筆型氣缸5為雙耳環筆型氣缸，雙耳環連接件6通過銷與單耳環支座4相連，單耳環支座分別固定在頭座和尾座上。片彈簧13通過螺栓固定在指尖節和指根節的凹槽內，并且由壓板10壓緊，由防松墊圈11和螺母12鎖緊固定。指根節和指尖節中間的凹槽是為了限制片彈簧的自由度，保證片彈簧中心線和氣缸軸線在同一平面內。

▲圖1 柔順關節結構圖

▲圖2 片彈簧受力分析圖

圖1中，a為耳環銷軸中心線到O點的水平距離，b為耳環銷軸中心線到O點的豎直距離。關節結構對稱，工作長度為L的片彈簧，左右兩端相關零件（頭座、尾座等）的軸、徑向尺寸完全相同。假設片彈簧長度L變形后保持不變，忽略所有零件重力，此時片彈簧的大變形等效于特殊變載荷作用下懸臂梁的大變形，以片彈簧為主要研究對象，建立坐標系并對片彈簧進行受力分析，如圖2所示。

圖2中點O和點A分別為等效懸臂梁的固定端和自由端，茲A為自由端變形傾角，TA為氣缸對頭座的推力。由于關節結構對稱，兩端均為鉸鏈安裝的氣缸可以簡化為一個可以伸長的二力桿，無論是指根節還是指尖節作為懸臂梁的固定端 （本文以指根節固定進行分析），在相同氣壓下，氣缸活塞的伸長量和氣缸角位移必定相同，所以氣缸角位移（即氣缸推力與水平線夾角）和片彈簧中點處截面轉角為茲A/2。在懸臂自由端A處，設頭座對片彈簧的作用力和力偶分別為TAx、TAy和Me，則有：

式中：d為氣缸內徑；p為氣體壓力。

梁上任一位置的彎矩M：

式中：xA、yA和x、y分別是自由端A變形后在X、Y軸方向的坐標。

梁上任一位置的曲率籽與該位置彎矩M之間的關系為：式中：E為彈性模量；I為主慣性矩；c為片彈簧任意位置的寬度；h為片彈簧厚度；s為弧長（即片彈簧彎曲變形時任意位置的弧長）；茲為任意位置變形傾角。

將式（4）代入式（5），即有：

當0≤s≤L/2時，對稱雙梯形片彈簧任意位置寬度表示為任意位置長度的函數：

c=B-2scot酌 （8）

如圖2所示，B為片彈簧最大寬度 （彈簧兩端寬度），酌為片彈簧截面夾角。將式（1）、式（2）、式（3）、式（8）合并到式（7），并整理得：

式（9）兩端對弧長s求微分，由大變形分析中的精確微分關系式：

可得：

當L/2

同理，可得：

根據式（11）、式（14）可知，變形傾斜角茲是片彈簧弧長s的二階非線性變系數常微分方程。

1.2 模型的數學計算

1.2.1 變形傾角茲A的微分計算方法

本文采用配置法［12］，借助MATLAB中的BVP4C求解器，將方程的求解轉化為帶有未知參數的邊值問題，最終得到變形傾角和坐標位移的數值解。求解邊值型問題除了正確定義方程外，最重要的是選取合適的邊界條件。首先將式（11）、式（14）降階為一階方程組，然后確定邊界條件。在懸臂梁固定端，已知當s=0時，x=0，y=0，又因為當s=L/2時，茲=茲A/2即片彈簧關于中點橫截面成對稱彎曲，根據對稱彎曲可以得到關系式tan茲A=yA/xA，將上述關系代入式（9），得到邊界條件：

在懸臂梁自由端，已知當s=L時，x=xA，y=yA,將該關系式代入式（13），得到邊界條件：

將邊界條件式（15）、式（16）代入式（11）、式（14）中，把茲A看成未知參數，任意給定未知參數初值，循環求解，即可得到片彈簧上任意位置變形傾角的數值解。

1.2.2 位移變形坐標微分計算方法

在茲求出之后，茲A已知，代入到式（11）、式（14）中并分別聯立式（10）得到方程組：

定義好方程組之后，選取前半段合適的邊界條件。已知邊界條件：

將式（17）作降階處理然后代入邊界條件式（19），即可得到片彈簧前半段任意位置的變形坐標位移數值解，這時片彈簧中點位置坐標（xM，yM）已知，所以得到后半段的邊界條件：

同理，將式 （18）作降階處理后代入邊界條件式（20），即可得到片彈簧后半段任意位置的變形坐標位移數值解。至此，片彈簧上任意位置的變形傾角和變形坐標位移都已得到求解，接下來將通過在ANSYS中建模仿真和實物測量兩種方式來驗證數值微分方法的正確性。

2 實例與對比

在實驗驗證中，經過測量變寬度片彈簧骨架柔性關節的結構尺寸：氣缸直徑d=10 mm，行程為30 mm，初始狀態氣缸未伸出時其連接銷中心的距離S0= 125.72 mm。選用60Si2MnA彈簧鋼做成對稱雙梯形截面的片彈簧，寬B=11.90 mm，厚度h=1.04 mm，工作長度L=119.22 mm，梯形截面夾角γ=88°，彈性模量約為E=190 GPa，a=3.25 mm，b=29.35 mm。為了使對比更具有說服力，選取同樣尺寸的等寬度片彈簧骨架柔性關節進行數值模擬，以證明新關節的優越性。

在給定的壓力p下，對式（11）、式（14）、式（17）、式（18）求解，得出p=0.1 MPa、p=0.2 MPa、p=0.3 MPa、p= 0.4 MPa、p=0.5 MPa、p=0.6 MPa時，變寬度片彈簧任意位置變形傾角和坐標位移的數值解，再與等寬度片彈簧變形參數作對比，對比曲線如圖3所示，由于趨勢相同僅數值不同，因此只給出p=0.3 MPa的曲線。列出自由端A點的詳細數值，見表1。

表1 兩種片彈簧的壓力p與A點數值計算

▲圖3 p=0.3 MPa時變形傾角隨弧長的變化曲線

在相同的壓強下，由表1可知，變寬度片彈簧較之于等寬度片彈簧具有更大的彎曲變形角。從圖4可以看出，在相同的壓強下，變寬度片彈簧與等寬度片彈簧相比，變形角的變化率更大，即相同長度的弧長間隔，前者的變形傾角變化更大。說明對稱雙梯形片彈簧相比于等寬度片彈簧有著較好的彎曲性能，使得以變寬度片彈簧骨架柔性關節組成的機械手比由等寬度片彈簧骨架柔性關節組成的機械手有著更大的抓持范圍和更節省能源的優點。

3 ANSYS仿真模擬

本文中片彈簧自由端由于所受的載荷與變形傾角耦合在一起，無法建立一一對應的力與變形的關系，所以無法直接在ANSYS中建模計算。本文先采用數值微分法計算出不同壓強下片彈簧的變形，進而確定出變載荷的大小與方向，然后加載到ANSYS模型中，最后與理論計算值對比，分析誤差來驗證數值微分法的正確性。圖4和圖5分別給出p=0.6 MPa加載后的變形傾角和縱坐標位移云圖，表2列出A點變形參數數值并與理論計算值的對比。

表2 ANSYS模擬結果與理論計算數值對比表（自由端A點）

▲圖4 變形傾角位移云圖

▲圖5 縱坐標位移云圖

由表2可知，變形傾角的誤差在2%以內。由于橫、縱坐標位移變化較小，這里只給出了縱坐標位移的誤差值，而縱坐標位移的誤差也只在0.5%左右，整體來看誤差很小，這充分證明了數值解法的正確性。而且由于片彈簧產生大變形彎曲，中性面會發生偏移不再與幾何中心面重合，這會使理論建模計算有較大的誤差。本文通過數值微分法先計算變形參數，然后再加載到ANSYS中，不僅可以驗證變形參數，還可以得到應力的分布狀況和詳細數值，為變載荷作用下無法確定載荷方向與大小的懸臂梁大撓度變形問題提供一種行之有效的方法。

4 結論

本文提出的柔順關節以氣缸為驅動器，對稱雙梯形片彈簧為柔性骨架，由于氣體壓縮性強和片彈簧的特點，使得該關節結構具有很好的柔性自適應性和緩沖性；相比于文獻［1］的等寬度片彈簧骨架柔順關節，新關節有著更大的抓持范圍、需要較小驅動力的優點。而其中間細兩端寬的形狀更符合應力的分布狀況，更容易彎曲變形，從而減小變形阻力，減輕關節重量，節約了能源，關節運動更靈活，動態響應性更好。

在數值解法上，采用微分方法建立模型，利用配置數值方法求解，并用ANSYS建模仿真驗證，解決了特殊變載荷變截面懸臂梁的大撓度變形問題。與龍格庫塔法相比，在滿足精度要求的情況下，該解法具有求解速度快的優點，方便應用階段中的實時控制。

［1］ 劉光元.變載荷作用下柔性關節片彈簧的大變形分析與強度計算［J］.機械科學與技術,2013,32（1）:111-115.

［2］ Jun Zhang,Qiu J Zhang.Bending of Flexible Joint Driven by LinearExpandablfArtificialMusclf ［J］.International Journal of Modelling and Simulation,2011,1:1-5.

［3］ P F Pai，A N Palazotto.Large-deformation Analysis of Flexible Beams ［J］.International Journal of Solids and Structures,1996,33（9）:1335-1353.

［4］ Jinyang Liu,Jiazhen Hong.NonlinearFormulation for Flexible Multibody System with Large Deformation［J］.Acta Mechanica Sinica,2007,23（1）:111-119.

［5］ Larry L Howell.Compliant Mechanisms［M］.John Wiley& Sons,Inc,USA,2001.

［6］ 李海燕,張憲民,彭惠青.大變形柔順機構的驅動特性研究［J］.機械科學與技術,2004,23（9）:1040-1043.

［7］ J J Yu,S S Bi,G G Zong.Kinematics Analysis of Full Compliant Mechanisms Using the Pseudo-rigid Body Model［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering,2002,38: 75-78.

［8］ A Banerjee,B Bhattacharya,A K Mallik.Large Deflection of Cantilever Beams with Geometric Non-linearity:Analytical and Numerical Approaches［J］.International Journal of Non-Linear Mechanics,2008,43（5）:366-376.

［9］ Z F Liang,X Y Tang.Analytical Solution of Fractionally Damped Beam by Adomian Decomposition Method［J］. Applied Mathematics and Mechanics,2007,28（2）:219-228.

［10］Qian Weizang.Second Order Approximation Solution of Nonlinear Large Deflection Problem of Yongjiang Railway Bridge in Ningbo［J］.Applied Mathematics and Mechanics, 2002,23（5）:493-506.

［11］ XiaotingHe， Shanlin Chen.Biparametric Perturbation Solutions of Large Deflection Problem of Cantilever Beams［J］.Applied Mathematics and Mechanics,2006,27（4）:453-460.

［12］Finlayson Bruce A.Nonlinear Analysis in Chemical Enginee鄄ring［M］.New York:McGraw-Hill College，1980.

（編輯 丁 罡）

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2015年1月