一類圖構形的特征多項式

高瑞梅

（長春理工大學　理學院，長春　130022）

一類圖構形的特征多項式

高瑞梅

（長春理工大學理學院，長春130022）

超平面構形是奇點理論的一個分支，它是一類具有非孤立奇點的超曲面。超平面構形是處在組合學、代數學、拓撲學、代數幾何學等多個學科交匯處的一門年輕的學科，它的巨大魅力在于：能從組合學以及代數學等不同角度去描述它的拓撲不變量。特征多項式作為構形的一個組合不變量，在構形組合、代數、拓撲性質的研究中，起到非常重要的作用。本文利用圖論中的頂點著色理論給出一類特殊圖構形的特征多項式。

超平面構形；圖構形；特征多項式

超平面構形是指有限維向量空間中有限個超平面所形成的集合。通常將超平面構形簡稱為構形。超平面構形是一門新興的學科，最近三十年得到越來越多學者們的重視，并發現了它與其他學科之間的聯系，涉及到的學科有：波前和超幾何函數、辮子和相位的研究、反射群、編碼理論、李代數等［1］。構形是一門內容豐富的學科，我們可以多角度對它進行研究，例如從組合學、代數學、代數組合學、拓撲學等角度［2-7］。目前，構形的研究焦點主要集中在解決構形自由性方面的Terao猜想上，日本北海道大學的Terao H、Yoshinaga M，京都大學的Abe T等學者在此方面做了大量基礎性和創新性的工作［2，4，5］。

構形理論的發展之初，一個組合學問題呈現在大家面前，即如何計算實構形補空間的連通分支的個數，即構形房的個數。最終，Zaslavsky T通過引入特征多項式這一概念，徹底解決了上述問題。從此，構形的特征多項式被大家所熟知，并成為研究的熱點。特征多項式是構形的一個重要的組合不變量，它是貫穿構形的組合、代數、拓撲性質的一條主線：構形的Orlik-Soloman代數的龐加萊多項式，以及復構形補空間的Betti數都與特征多項式有著密切的聯系。由于特征多項式的研究具有重要的意義，學者們對于重構形、子空間構形的特征多項式也進行了研究［5，8］。本文將圖論中的頂點著色原理應用到超平面構形上，以定理的形式給出一類特殊圖構形的特征多項式。

1　構形的基本定義

設K是一個域，V是域K上的n維向量空間。稱V中n-1維的仿射子空間為V中的一個超平面，記為H。將V中有限個超平面所組成的集合稱為一個超平面構形，記為A。若A中超平面方程為

其中x=（x1，…，xn），且每個Li（x）都是齊次線性的，則稱多項式

為A的定義多項式。如果構形A中每一個超平面都經過原點，則稱A是一個中心構形，否則稱A為非中心構形。設A是V中一個構形，用L（A）表示A中超平面的所有非空交集構成的集合。構形A的特征多項式χA（t）定義為：

其中μ（x）是元素x的默比烏斯函數值。

設 （A1，V1）和 （A2，V2）是兩個構形，且V=V1⊕V2，定義乘積構形（A1×A2，V1×V2）如下：

A1×A2=｛H1⊕V2|H1∈A1｝?｛V1⊕H2|H2∈A2｝

如果在坐標變換之下，構形A可以寫成A=A1×A2，則稱構形A是可約的，否則稱A是不可約的。設G=（V（G），E（G））是一個具有n個頂點的簡單圖，其中V（G）是G的頂點集，E（G）是G的邊的集合。定義

稱AG為G對應的圖構形。

圖1　當m=6，n=4時，G、G-e、G/e對應的圖形

2　一類特殊圖構形的特征多項式

本部分將利用圖論中的頂點著色理論得到一類圖構形的特征多項式。

設G是一個簡單圖，e=｛i，j｝∈E（G），G-e表示圖G去掉邊e后所得的圖，G e表示把圖G中的邊e縮為一點，再將所得圖中的重邊用單邊代替后所得的圖。三個簡單圖G、G-e、G/e對應的著色多項式之間的關系如下：

引理2.1［9］χG（t）=χG-e（t）-χG e（t）。

引理2.2［9］對任何一個圖G，我們有χAG（t）= χG（t），即簡單圖G的著色多項式和AG的特征多項式是相同的。

由于χAG（t）=χG（t），因此對這兩個符號不加以區分。

引理2.3［10］設G是一個n邊形，G對應的圖構形AG的定義多項式為

則AG的特征多項式為

引理2.4［1］設A=A1×A2，則πA（t）=πA1（t）πA2（t），其中πA（t）是構形A的龐加萊多項式。

注2.1構形A的特征多項式和龐加萊多項式的關系為χA（t）=tnπA（-t-1），其中n是構形A所在的空間維數。

定理2.1設圖G1，G2分別為一個m邊形和一個n邊形（m，n≥3），其中G1，G2有且只有一條公共邊，則簡單圖G=G1?G2對應的圖構形AG的特征多項式為

證明應用以上4個引理來證明此定理。不妨設G中邊e為圖G1，G2的公共邊，則G-e為一個m+n-2邊形，G/e為一個m-1邊形和一個n-1邊形構成的圖形，其中m-1邊形和n-1邊形有且只有一個公共頂點。對于G、G-e、G/e中頂點的標號作如下的說明：設G1，G2這兩個圖形左右排列，公共邊按照逆時針方向分別標記兩個頂點為x1，x2，接下來按照逆時針方向標記G1的剩余頂點，當G1標記完畢后，再按照逆時針方向標記G2的剩余頂點。以m=6，n=4的情形為例畫出相應的圖G、G-e、G/e及它們的頂點標記，如圖1所示。

設圖G、G-e、G/e所對應的圖構形分別為AG、AG-e、AG e，其中AG和AG-e所在的空間是m+n-2維，AG e所在的空間是m+n-3維。下面我們分別求出AG-e和AG e的特征多項式。

（1）求AG-e的特征多項式。

由于G-e是一個m+n-2邊形，由引理2.3可知，

（2）求AG e的特征多項式。

G/e是一個m-1邊形和一個n-1邊形構成的圖形，且兩個多邊形有且只有一個頂點。G/e中共有m+n-3個頂點，按照上面頂點標記的說明，可知AG e中共含有m+n-2個超平面，且

作如下的坐標變換：

則

設

由可約構形的定義，AG e是可約構形，且AG e=A1×A2。 A1，A2分別看做 m-1邊形和n-1邊形對應的圖構形，因此由引理2.3可知，

由注2.1，特征多項式和龐加萊多項式的關系可知，

由于AG e=A1×A2，由引理2.4可知，

因此，

再由引理2.1可知，

證明完畢。

注2.2由于t|（t-1）n-1+（-1）n-1（t-1），（n≥3），因此定理2.1中給出的式子是一個m+n-2次多項式。

例2.1對于圖1中給出的m=6，n=4的情形，我們分別得到AG-e和AG e的特征多項式如下：

因此，AG的特征多項式為

4　總結

本文給出兩個多邊形有且只有一條公共邊時，所得到簡單圖對應圖構形的特征多項式，即本文的定理2.1。此定理可以將多邊形的個數進行推廣，即研究若干個多邊形兩兩相連后，所得圖構形的特征多項式。當然，在推廣后的問題中，我們還需要深入研究的是多邊形相連的方式和順序對于特征多項式的影響。

［1］OrlikP，TeraoH.Arrangementsofhyperplanes ［M］.GrundlehrenderMathematischenWissenschaften，300，Springer-Verlag，Berlin，1992.

［2］Terao H.Generalized exponents of a free arrangement of hyperplanes and Shephard-Todd-Brieskorn formula［J］.Invent.Math，1981（63）：159-179.

［3］ Solomon L，Terao H.The double Coxeter arrangement［J］.Comm.Math.Helv，1998（73）：237-258.

［4］Yoshinaga M.Characterization of a free arrangement and conjecture of Edelman and Reiner［J］.Invent.Math，2004（157）：449-454.

［5］Abe T，Terao H，Wakefileld M.The characteristic polynomial of a multiarrangement［J］.Adv.In Math，2007（215）：825-838.

［6］Gao R M，Pei D H，Terao H.The Shi arrangement of the typeDl［J］.Proc.Japan Acad.Ser. A，2012（88）：41-45.

［7］Abe T，Terao H.Simple-root bases for Shi arrangements［J］.J.Algebra，2015（422）：89-104.

［8］AthanasiadisC.A.Characteristicpolynomialsof subspace arrangements and finite fields［J］.Adv.In Math，1996（122）：193-233.

［9］Stanley R P.An introduction to hyperplane arrangements［Z］.In Geometric Combinatorics，IAS/ Park City Math Ser，Amer Math Soc.Providence，RI，2007（13）：389-496.

［10］ 高瑞梅.超平面構形及其特征多項式［J］.長春理工大學學報：自然科學版，2014，37（5）：151-154.

The Characteristic Polynomials of a Class of Graphical Arrangements

GAO Ruimei
（School of Science，Changchun University of Science and Technology，Changchun 130022）

The arrangement of hyperplanes，which is a branch of singularity theory，is a hypersurface with non-isolated singularities.The arrangement of hyperplanes is a new interdisciplinary field which comes from combinatorics，algebra，topology，algebraic geometry and so on.The greatest charm of the theory of hyperplane arrangements is expressing topological invariants of the complement space in terms of combinatorics and algebra.The characteristic polynomials are combinatorial invariants for hyperplane arrangements，and play important roles in the studying of the properties of the aspects of combinatorics，algebra and topology.In this paper，the characteristic polynomials of a class of graphical arrangements are established by the chromatic theory of the vertices graphs.

hyperplane arrangement；graphical arrangement；characteristic polynomial

O189.1

A

1672-9870（2015）06-0123-04

2015-08-26

國家自然科學基金資助項目（11501051）；吉林省教育廳“十二五”科學技術研究項目（吉教科合字［2015］第52號）；長春理工大學科技創新基金項目（XJJLG-2014-01）

高瑞梅（1983-），女，博士，講師，E-mail：gaorm135@nenu.edu.cn