面接觸齒輪傳動原理及幾何設計方法

宋洪舟，魏世民，廖啟征，郭磊

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面接觸齒輪傳動原理及幾何設計方法

宋洪舟，魏世民，廖啟征，郭磊

(北京郵電大學自動化學院，北京，100876)

為增大齒輪齒面間接觸區域，減小接觸應力，提出一種基于面接觸的齒輪傳動形式。根據平面連桿機構中高副低代原理，在齒面之間添加滑動塊、改變齒廓形狀，使齒面間點、線接觸轉變為面接觸；利用復數矢量法建立內外嚙合傳動的運動學模型，得到傳動比、角速度、角加速度方程；研究滑動塊幾何參數和理想條件下的尺寸約束方程，分析齒廓與滑動塊之間的相對位置，得出主動齒輪、從動齒輪齒數選擇的臨界條件，討論不通過情況下的齒數選擇范圍。利用三維造型工具對面接觸齒輪傳動進行結構設計并仿真分析。研究結果表明：面接觸齒輪傳動仿真結果與理論預測結果一致，為其進一步推廣和應用提供了依據。

齒輪；面接觸；嚙合；滑動塊；高副低代

齒輪是機械傳動中應用最廣泛的部件，目前齒輪傳動形式按齒面之間的接觸特點可以分為點接觸和線接觸[1?2]，像漸開線齒輪、擺線齒輪其嚙合瞬時的接觸狀態為直線，而大多數齒輪傳動主要以點接觸為主，即使是理論上為線接觸的齒輪，在安裝誤差等因數影響下，也會轉變為點接觸[3]。從運動副角度來看，點、線接觸均屬于高副接觸[4]，高副接觸的缺點在于單位面積承受應力大，考慮到材料變形與齒之間作用力的影響下，接觸點、線會拓展成為橢圓區域，從一定程度上減小了接觸應力[5]。國外學者主要針對配對齒面的綜合曲率半徑、齒面修型以及接觸橢圓的運動特點等方面進行了研究[6?9]；國內學者利用有限元法對齒輪進行接觸分析[10?12]。齒輪傳動與連桿機構有著密不可分的聯系，齒輪傳動是連桿機構的拓展和延伸[13]。在進行運動學分析時，通常利用平面機構中的高副低代原理[14?15]，將齒輪高副接觸瞬時替代為鉸鏈四桿機構。本文作者進一步利用高副低代原理，在保持原有自由度基礎上，通過在2個齒輪之間添加構件的方法，將點、線接觸轉變為曲面之間的低副接觸，減小齒面間接觸應力，最終形成一個脈動輸出運動的傳動形式，這種類型的傳動適用于低速、重載對傳動精度要求不高的場合。

1 共軛齒廓的形成原理

1.1 齒輪傳動的瞬心與齒廓曲率中心位置

圖1所示為1對共軛齒廓瞬時嚙合位置。從圖1可見：在1對相互嚙合的齒輪中，1和2是2個齒輪的回轉中心，齒輪齒廓分別為和，且在點處切觸，直線′是通過接觸點兩齒廓的公法線，從圖1中可以看到兩齒廓曲率中心1和2，虛線表示曲率圓，曲率半徑為和。

齒輪作為構件可以用1和2來標記，機架用構件0來表示。根據瞬心定義，齒輪相對機架的瞬心就在轉動副中心處，記為01和02；兩齒廓接觸點處的運動副類型為平面高副，齒輪1相對齒輪2的瞬心在過接觸點公法線方向。

根據三心定理，2個齒輪的相對瞬心12應在直線0102與′的交點處，容易得到2個齒輪瞬時傳動 比為

在嚙合某一瞬時，齒廓接觸點處的相對運動速度為矢量12，根據齒廓嚙合基本定理，切點的相對運動速度必定在公切線方向，數學表達式為

1.2 齒輪傳動中的高副低代原理

對于含有高副的平面機構進行研究分析時，可以將機構中的高副根據一定條件虛擬地以低副替代，這種方法稱為高副低代[4]。進行替代時必須滿足以下2個條件：

圖1 1對共軛齒廓瞬時嚙合位置

1) 替代前后機構的自由度相同。

2) 替代前后機構的瞬時速度和瞬時加速度相同。

在平面齒輪機構中，齒廓之間的接觸形式為點接觸或線接觸，從運動副角度來看，這2種接觸形式均為高副接觸，主動、從動齒輪分別繞各自回轉中心做定軸轉動，那么在某一瞬時可以采用高副低代原理進行研究。在瞬時嚙合點處，可用桿件12連接2個齒廓曲線和的曲率中心1和2，曲率中心分別與各自回轉中心1和2連接，這樣組成了鉸鏈四桿機構1122(圖2)。接觸點處的高副由中間桿件兩端低副1和2代替，中間連桿12作為新添加的第3個構件，瞬時替代鉸鏈四桿機構的自由度、瞬時速度、瞬時加速度均與替代前齒輪傳動機構保持不變。

1.3 面接觸齒輪傳動形成原理

為改變齒輪副之間的接觸形式，可以考慮把齒廓之間的點、線接觸轉變為曲面與曲面接觸。圖2所示為齒輪傳動等效鉸鏈四桿機構。以圖2所示的鉸鏈四桿機構為原型，同樣利用高副低代原理，將中間桿件12替換為兩側呈凹面的滑動塊。圖3所示為增加滑動塊的瞬時替代機構。從圖3可見：相應2個齒廓取凸圓弧齒廓和，其圓心在原齒廓曲率中心處，滑塊兩側曲面與凸圓弧齒廓等半徑且始終貼合，滑塊兩側中點用1和2來標記。

忽略與原齒輪傳動的瞬時速度、加速度對比，保持機構自由度數目不變，使凸圓弧齒廓作為主動輪，順時針轉動1個微小角度，齒廓推動滑動塊運動，滑動塊擠壓從動齒廓逆時針轉動，滑動塊作為1個傳遞運動的活動構件，始終與兩側齒廓曲面貼合并且相對滑動，得到下一時刻運動狀態圖，如圖4 所示。

圖2 齒輪傳動等效鉸鏈四桿機構

圖3 增加滑動塊的瞬時替代機構

上述1對齒在嚙合過程中，最大特點是凸圓弧齒廓與中間活動滑塊實現了曲面與曲面之間的滑動接觸，齒廓單位面積壓力減小，但輸出傳動比不再是定值，但通過優化結構尺寸能夠減少傳動比波動情況。

為使這種以面接觸為特點的齒輪傳動機構連續不間斷傳遞運動，將圓形齒廓分別繞其回轉中心圓周布置若干齒數，滑動塊和其中1個齒輪齒數相同，通過復位元件使滑塊貼合齒面且與齒輪徑向呈一定初始角度。主動齒輪連續推動從動齒輪上的齒運動，這樣形成了面齒輪傳動形式。圖5所示為面接觸齒輪傳動嚙合原理圖。

圖4 替代機構的下一時刻姿態

(a) 外嚙合傳動；(b) 內嚙合傳動

2 面接觸齒輪傳動的運動學模型

用復數矢量表示為

對式(5)實部虛部分離：

對式(4)進行求導得

3 嚙合特點分析

即當后面1對齒進入嚙合時，必然會因為速度差而產生碰撞會導致前1對齒的脫離，在實際嚙合過程中僅有1對齒處在工作狀態，而且為保證面接觸齒輪正常工作，從動輪齒廓必須始終在主動輪齒廓的同 一側。

4 滑動塊的幾何參數與約束條件

4.1 滑動塊幾何參數

滑動塊是實現面接觸傳動的重要媒介，滑動塊的各項幾何參數均影響傳動比變化規律，為研究方便起見，定義滑動塊的基本幾何參數如圖7所示。

圖7 滑動塊幾何參數

滑動塊的兩側曲面均為圓弧形，分別與相接觸的凸圓弧齒廓曲率半徑相同，最薄處厚度記為；滑動塊寬度方向與中間端面對稱，寬度為；滑動塊兩側邊緣形成的中心角分別為和，有以下關系：

4.2 尺寸約束條件

面接觸齒輪的各項基本尺寸必須在一定取值范圍之內，根據12與主、從動輪徑向是否共線，可以得到理想條件下尺寸之間的約束關系。

滿足三角形法則：

保持主動輪始終沿一個方向推動從動輪轉動，而不發生反轉情況：

式中：“+”適用于外嚙合；“?”適用于內嚙合。

5 內、外嚙合的齒數選擇

5.1 齒數選擇范圍的臨界條件

對于面接觸齒輪傳動而言，當1個圓形齒廓和滑塊能夠剛好能夠進入2齒之間時，是區別與分度圓內側齒廓還是外側齒廓嚙合的臨界條件，以下按照不同場合來討論。

(a) 從動輪臨界嚙合位置；(b) 主動輪臨界嚙合位置

式中：“+”適用于外嚙合；“?”適用于內嚙合。

5.2 齒輪的最少齒數

實際傳動中，2齒輪的齒數不能太少，必須保證2對齒在鉸鏈四桿機構對應“死點”位置之間，否則傳動就會產生中斷。因此，可以得到最少齒數為

5.3 齒輪的最多齒數

齒輪齒數越多，越容易發生干涉現象，所以，要根據臨界條件分別討論主動輪、從動輪最多齒數。現以外嚙合傳動為例，內嚙合與此類似過程。

6 齒根過渡與仿真分析

面接觸齒輪傳動的齒面接觸應力變小，但為了提高齒根彎曲強度，相鄰凸圓弧齒之間采用圓弧過渡。圖9所示為齒輪安裝細節。滑動塊的中心角影響齒根危險截面的寬度，通過計算得知：在相同外形尺寸和齒數的條件下，采用較小的滑動塊，面接觸齒輪的齒根彎曲強度高于漸開線齒輪的齒根彎曲強度。

圖9 齒輪安裝細節

現給定以下1組基本結構參數：齒輪中心距= 100 mm；齒輪1分度圓半徑1=50 mm；齒輪2分度圓半徑2=50 mm；齒輪1齒廓曲率半徑3=8 mm；齒輪2齒廓曲率半徑4=8 mm；滑塊中心厚度=2 mm；滑塊的寬度=6 mm。利用齒數判斷條件，初選齒輪1齒數1=8；齒輪2齒數2=8，對齒輪各元件裝配并進行運動仿真。

根據式(13)可以得到傳動比曲線如圖10所示。從圖10可見：虛線段為極限位置之間的理想傳動比曲線；實線段為實際嚙合過程中，1對齒的傳動比變化范圍；進入、脫離嚙合1次過程中的平均傳動比為；實際傳動比變化的極差。計算結果表明：當中心距存在誤差時，平均傳動比的值變化很小，說明面接觸齒輪傳動對中心距誤差不敏感，有利于實際應用。

面接觸齒輪傳動適用于低速重載的場合，仿真時假設主動齒輪進行慢速轉動，轉速為1=10 r/min。圖11所示為從動輪仿真轉速曲線。從圖11可見：通過仿真軟件得到從動輪的角度速度在62 rad/s附近，并且呈現周期性波動變化，變化趨勢與理論計算相近，驗證了傳動可行性。

圖10 傳動比曲線

圖11 從動輪仿真轉速曲線

7 結論

1) 以增大齒輪齒面間接觸面積為目標，考慮降低齒面間的運動副類型，利用平面連桿機構中的高副低代原理，在齒與齒間添加滑動塊，并且改變相互嚙合齒廓形狀，最終形成1種面接觸齒輪傳動機構。

2) 建立了面接觸齒輪傳動的運動學模型，說明該機構的傳動比為變量，當齒輪連續傳動時，輸出的運動為脈動形式。

3) 面接觸齒輪傳動齒數受到中心距、分度圓半徑、滑動塊等方面參數的限制，在推薦數值范圍內，配對齒數有多種組合選擇。

4) 滑動塊作為實現面接觸的中間媒介，可安裝主動齒輪或從動齒輪，但須由彈性元件保證滑動塊的初始位置，并起到復位作用。

5) 齒根采用圓弧過渡，其彎曲強度比一般漸開線齒輪的高。面接觸齒輪傳動適合低速重載場景，能夠預見，以此原理研制成的減速器可用于千斤頂或船舶起拋，因此，從工程實際角度來看，該傳動類型具有一定的應用價值，若要進一步推廣，還需進行深入 研究。

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(編輯 羅金花)

Transmission principle and geometric design method of face contact gear

SONG Hongzhou, WEI Shimin, LIAO Qizheng, GUO Lei

(School of Automation, Beijing University of Post and Telecommunications, Beijing 100876, China)

In order to enlarge the contact area between the gear and the tooth surface and reduce the stress, a transmission method was proposed based on face contact gear. According to the lower pair replacing higher pair principle, the point contact or line contact of the tooth surface were turned into face contact with the adding of a sliding block and the changing of the shape of the tooth profile. The kinematic model of the internal and external meshing transmission was established based on the complex number vector method, and the equations of transmission ratio, angular velocity and angular acceleration were derived. The characteristics of continuous transmission and the relative position between the tooth profile and the slide block were analyzed, and the critical condition of selecting between a driving gear and a driven gear was obtained. Meanwhile, the teeth number selection range was further discussed under different situations. Furthermore, the structure design and simulation analysis of face contact gear transmission was gotten with three-dimensional modeling tool. The results show that the simulation results of the face contact gear transmission coincide with those of the theoretical prediction. Thus, a theoretical basis is provided for the promotion and application of surface contact gear transmission.

gear; face contact; meshing; sliding block; lower pair replacing higher pair

10.11817/j.issn.1672-7207.2015.09.012

TH132.4

A

1672?7207(2015)09?3245?07

2014?11?29；

2015?01?28

國家高技術研究發展計劃(863計劃)項目(2011AA040203)；國家科技支撐計劃項目(2013BAD17B06)；糧食公益行業科研專項(201313009-06) (Project(2011AA040203) supported by the National High Research Development Program (863 Program) of China; Project(2013BAD17B06) supported by National Science and Technology Support Program of China; Project(201313009-06) supported by Special Funds for Grain Research in the Public Interest)

魏世民，教授，博士生導師，從事機械傳動及機械設計研究；E-mail: wsmly@bupt.edu.cn