求解動態優化問題的改進多種群引力搜索算法

畢曉君，刁鵬飛，王艷嬌，肖婧

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求解動態優化問題的改進多種群引力搜索算法

畢曉君1，刁鵬飛1，王艷嬌2，肖婧3

(1. 哈爾濱工程大學信息與通信工程學院，黑龍江哈爾濱，150001;2. 東北電力大學信息工程學院，吉林吉林，132012;3. 遼寧省交通高等?？茖W校信息工程系，遼寧沈陽，110122)

針對目前多種群算法解決動態優化問題時存在過多冗余計算、尋優精度低等缺陷，提出多種群串行搜索的引力搜索算法。采用多種群串行搜索的策略，便于當前子種群利用其他已收斂種群的進化信息。為解決多峰重復搜索而帶來的冗余計算問題，提出具有約束條件的初始化策略，給予初始化的粒子以方向性的指引，避免其初始化在已尋峰區域；采用距離判決的策略發現并終止多峰重復搜索。為全面的監測環境變化及解決多樣性丟失問題，提出一種監測環境策略及追蹤策略。研究結果表明：所提算法，面對不同的環境變化程度以及不同的峰值數量，其求解精度都優于其他7種對比算法的求解精度，證明該算法在求解動態優化問題上的優越性。

引力搜索算法(GSA)；動態優化問題(DOPs)；多種群策略

近年來，對智能優化算法的研究主要集中在求解不隨時間變化的靜態優化問題上[1]。然而，實際工程中的多數問題都是動態優化問題(dynamic optimization problems, DOPs)，如市場波動或金融變化等，因此DOPs的研究具有實際意義。DOPs問題的約束條件、目標函數和解會隨著時間或其他參數發生變化，對于DOPs問題來說，求解目標已不再是尋得最優解，還要求算法可以檢測到環境的變化、解決多樣性丟失并盡可能地動態的追蹤最優解。典型的智能優化算法如粒子群算法[2?3]、差分進化算法[4]等作為解決動態優化問題的基礎算法，雖表現出良好的搜索能力，但在面臨多種環境變化的問題，其求解精度仍有待提高。同時，面對多樣性缺失、環境動態變化等問題，采取何種策略與優化算法相結合也是決定算法性能的關鍵。目前常見的輔助策略主要有：環境變化后增加多樣性、始終保持多樣性、記憶策略與多種群策略 等[5]。其中，多種群策略是目前被廣泛采用的解決DOPs的策略，該策略的核心思想是通過多個子種群并行的搜索各個局部最優峰，當環境變化時，在給出所得最優值的同時，各子種群繼續追蹤局部峰的變化。但該策略容易出現多個種群同時搜索1個局部峰的情況，增加了計算開銷，對此，Blackwell等[6]提出了一種根據距離判斷重復搜索的策略，該策略雖能及時地判斷出多子群重復搜索，但帶來了較高的計算復雜度，且因多子群重復搜索而帶來的計算開銷仍有望進一步減少。引力搜索算法(gravitational search algorithm, GSA)是2009年提出群智能優化算法，具有設置參數少、全局搜索能力強、計算簡單、收斂速度快等優點[7]。目前關于GSA的研究主要集中在靜態優化問題上，國內外針對DOPs的研究還較少。本文作者通過對現有的多種群策略進行改進，并根據GSA自身特點提出一種基于改進多種群的引力搜索算法，采用多種群串行搜索策略，有利于各種群充分共享彼此進化過程中得到的信息；采用排斥距離策略以使粒子帶有約束條件的初始化，一定程度上避免粒子初始化在已尋峰所在區域，提高粒子的進化價值；采用距離判決策略可以及時發現當前種群是否正在搜索已尋峰，減少計算開銷；采用一種環境檢測策略，及時全面的檢測出各個峰的變化情況；采用一種針對已尋峰的追蹤策略，提高算法的搜索效率。最后，通過動態標準測試問題，對主要參數進行研究分析，并與目前解決DOPs問題效果較好的7種算法相比較，驗證本文算法的有效性和先進性。

1 引力搜索算法基本原理

在GSA中，種群個體都是在空間中運動的個體，它們在萬有引力的作用下彼此相互吸引運動，它們的質量大小是評價其優劣的標準，質量較大粒子的位置對應較優解。在進化過程中，GSA算法通過個體間的萬有引力相互作用實現優化信息的共享，引導群體向最優解區域運動展開搜索。

若空間中含有個粒子，則第個粒子的位置為

其中：=1, 2, …,；為搜索空間的維數；為第個粒子在第維上的位置信息。在時刻，2個粒子間的作用力為

其中：M()和M()分別為粒子和粒子的質量；為一個極小的常量；()為在時刻的萬有引力常數。具體定義為

其中：0為初始時刻的引力常數；為最大迭代次數，且設置不同的會導致引力常數以不同的趨勢減小。若R()為粒子與粒子之間的歐氏距離，則在時刻，粒子在維上受到的其他粒子的合力為

其中：r為變化區間在[0, 1]之間的隨機數；為粒子對粒子在第維空間上的作用力。依據牛頓第二定律，定義時刻粒子在維上的加速度為

在進化過程中，粒子的速度和位置的更新方式為

粒子的質量與其適應度值有關，質量越大的粒子，表明其更接近最優粒子，其對其他粒子的作用力會較大但是其移動速度會較慢，粒子質量的計算公式為

(7)

其中：f()為粒子的適應度；()為質量最小粒子的適應度；()為質量最大粒子的適應度。

2 基于改進多種群策略的引力搜索算法

通過分析傳統多種群策略在解決動態優化問題上存在的不足，對多種群策略的種群搜索模式進行改進，并根據動態優化問題的特點，提出一種基于改進多種群策略的引力搜索算法。

2.1 改進多種群策略

2.1.1 多種群串行搜索

多種群策略是目前被廣泛采用的解決動態優化問題的一種策略，其基本思想是多個子種群共同對最優解展開搜索并分享彼此在進化過程中所得到的進化信息，當發現環境變化時輸出最優值，然后利用多個子種群繼續的追蹤這些已尋峰，以達到動態尋優的目的。這是一個多種群并行進化搜索的過程，然而多種群同時展開搜索容易出現多個子種群同時搜索同一個峰的問題，這無疑會增加許多計算開銷，降低算法的尋優效率。因此根本上的解決重復搜索問題是多種群策略能有效解決動態優化問題的關鍵。

對此，許多學者都提出了改進策略，其中最具代表性的是Blackwell等[6]采用比較各種群最優值距離的方法，判斷各個子種群所尋最優值是否相同，判決閾值定義為

其中：為搜索空間；為局部峰值的個數；為問題的維數；excl為判斷重復搜索的閾值。若當前子種群的最優粒子與某個已尋局部峰之間的歐氏距離小于閾值excl時，判定當前種群所優化的區域已被其他種群開采過，則終止最優值較差的那個子群的繼續搜索。

該策略雖然能判斷出多個子種群重復搜索，在一定程度上降低了種群重復搜索同一個峰所帶來的效率低下的影響，但每次迭代搜索都需要計算各個子種群所尋最優粒子之間的距離，這會增加較多的計算復雜度；另外，當較多子種群都同時搜索同一個峰時，重新初始化這些子種群仍會增加許多的計算開銷，這會降低算法優化動態問題的整體性能。

因此，為解決現有多種群策略存在重復搜索的問題，本文在原有多種群策略的基礎上，提出一種改進的多種群策略，即將原有多個種群同時對解空間優化搜索，改進為各個子種群依次優化搜索最優解，并在優化的過程中，采用文獻[6]所述方式監測子種群是否發生重復搜索的情況，這種改進的多種群策略相比于現有多種群并行搜索策略的優勢是：1) 重復搜索最多只會發生在2個子種群之間，一旦判斷出子種群重復搜索時，只需要重新初始化1個子種群，這節省了較多計算開銷；2) 只需計算當前種群與其他已尋峰之間的歐式距離，減小了計算復雜度。

2.1.2 收斂判決策略

本文提出的改進多種群搜索策略，是多個子種群按順序搜索解空間，當1個子種群收斂時，再初始化1個新子群，因此需要為每個種群設定收斂的條件。而當種群逐漸收斂時，則種群的多樣性會逐漸降低，并由此而導致當前最優粒子與種群中的其他粒子在各個維度上的差異度也隨之降低，因此，可以通過種群當前最優粒子與其他粒子在各個維度上整體的差異度來判斷種群的收斂情況。基于此思想，本文提出一種判斷收斂的方式，具體為

其中：為問題的維數；Gbestj()為在時刻種群所搜尋的最優個體在第維上的位置信息，rj()為在時刻，除最優個體Gbestj()外，種群中其他個體在第維上的位置信息的平均值；l為判決閾值。如果l較大，則收斂程度不是很高的種群會符合收斂條件，這會導致尋優精度的降低；當l較小時，雖然種群會得到精度較高的解，但隨著收斂程度的不斷提高，尋優結果在精度上提高的幅度會越來越不明顯，而且還會增加子種群完成1次尋優的計算開銷，這會降低算法整體的優化效率，因此l需要平衡對單個解的開采精度及計算開銷之間的關系。通過實驗比較，當l為0.01時，算法性能最好。

當1個種群符合收斂條件時，則說明當前種群最優粒子與其他粒子在各個維度上的差異度較小，此時種群已收斂，記錄當前所尋值，并重新初始化1個新種群繼續搜索最優解。

2.1.3 帶有約束條件的初始化策略

對于多種群串行的搜索策略，當判定1個子種群收斂時，記錄該子群所得峰值并重新初始化1個新的子群，然而隨機初始化的粒子有可能生成在已尋峰所在區域，特別是隨著已尋峰數量的增多，這種可能性會逐漸增加。對于依靠粒子間的相互作用力進行優化的GSA來說，隨著進化的進行，這些初始化在已尋峰周圍的粒子，極有可能在力的作用下吸引其他粒子進入已尋峰所在區域，進而導致該子群重復搜索已尋峰，因此，為了防止子群重復搜索已尋峰，需要給予初始化的粒子一定方向上的指引。通過以上分析，本文提出一種帶有約束條件的種群初始化方式來指引粒子的生成，約束條件為

其中：X()為粒子在時刻的位置信息；為第次環境下已尋峰的位置信息；為粒子與已尋峰之間的歐氏距離；為約束距離，即當前初始化粒子與任何一個已尋峰相互間的距離小于時，粒子極可能陷入了已尋峰所在的區域，此時重新初始化該粒子以得到搜索價值更高的粒子。通過實驗比較，當為70時算法性能達到最優，若過大，約束距離較大會使粒子錯過一些未尋峰值所在的區域，則會增加對這些未尋峰的搜索難度；若較小，則不能達到跳出已尋區域的目的。當1個子種群達到收斂條件時，采用帶有約束條件的初始化方式生成新種群，可以提高初始化粒子的進化價值，利于對其他未尋峰展開搜索，提高了整體的搜索效率。

2.2 環境監測與追蹤

2.2.1 環境監測策略

智能優化算法對問題的優化過程實際上是種群逐漸收斂的過程，其多樣性會逐漸下降。而對于動態優化問題，當環境發生變化時，已收斂的種群因其多樣性降低而不再具有開采新解的能力。因此，算法需要具有檢測環境變化的能力，以及時的更新存儲的諸如已尋峰等相關信息。

為了達到檢測環境的目的，目前采取的環境檢測方式主要有哨兵法[8]和最優值變化法[9]，這2種方式都是通過比較某個粒子前后代值的變化情況來檢測環境的，無法準確的判斷出哪些局部峰發生了變化。基于以上分析，為了準確的判斷出整體環境的變化情況，本文采取的檢測策略描述如下：

1) 每隔代，比較各個已尋峰的變化情況。

2) 當有某個已尋峰發生變化時，則此時環境發生變化，輸出已尋峰中的最優值。

3) 對于未變化的峰，則將其視為環境變化后的已尋峰。

其中：對于參數的取值，若設置過大，則會延誤環境變化后被檢測出來的時間，若設置過小，則會增加額外的計算開銷。通過實驗比較，當為10時算法性能可以達到最優。這種檢測策略，一方面能及時準確的判斷出環境的變化；另一方面，將未變化的峰直接作為下一代已尋峰，減少了待尋峰的個數，提高了算法的整體搜索效率。

2.2.2 追蹤策略

對于DOPs問題，當環境發生變化時，雖然各個局部峰會出現不同程度的變化，但并不是完全隨機的重新生成新的峰，其變化在一定的范圍內可追蹤。在本文中，將環境變化前被種群搜尋到，且隨環境發生變化的峰稱為待追蹤峰。

當環境變化時若初始化的粒子在待尋峰周圍生成，則會加快種群對該峰的搜索速度，提高算法的搜索效率。因此，為了準確的追蹤各個局部峰，本文采用下式方式初始化粒子。

其中：為變化區間在[0, 1]之間的隨機數；X()為隨機產生的第個粒子在維上的信息；X為第個已尋峰在第維上的信息；為控制粒子生成區間的參數。

在種群追蹤待追蹤峰的過程中，若能縮小待搜索區域，則會提高搜尋待追蹤峰的效率，因此希望參數越小越好。然而，若搜尋區域設置過小，則可能導致待追蹤峰種群的追蹤。通過實驗比較，當參數為3時，算法會獲得更好的優化效果。

通過在待追蹤峰周圍隨機生成的方式追蹤峰值的變動，大大縮小算法對最優解的搜索區域，減少了對最優解的搜索時間，提高了優化搜索的效率。當完成對所有待追蹤峰的追蹤后，若仍未檢測出環境變化，則采用具有約束條件的種群初始化策略，繼續對解空間展開搜索。

2.3 所提算法主要過程

1) 種群初始化，設置種群規模為，排斥距離，判斷種群是否收斂的閾值l，以及參數。

2) 初始化1個種群并對解空間展開搜索，當種群滿足式(9)時，則種群收斂，記錄當前種群的最優值。

3) 按式(10)所示約束條件初始化1個新種群。

4) 在每個種群搜索最優解的過程中，通過式(8)判斷當前種群是否搜尋的是已被尋到的峰。

5) 采用2.2.1所述方式檢測環境的變化，當檢測到環境變化時，輸出環境變化前一刻所尋到的全局最優值。

6) 當環境變化后，根據各個已尋峰的變化情況，對各個已尋峰進行分類，若峰值未發生變化，則將其作為環境變化后的已尋峰處理；若該峰發生變化，則采用2.2.2所述的追蹤策略，追蹤這些峰。

7) 當采用追蹤策略完成對所有待追蹤峰的優化搜索后，種群初始化策略仍采用帶有約束條件的初始化方式。

3 仿真實驗與結果分析

所有實驗在硬件配置為Intel? Core?2 Duo CPU P7570 2.26 GHz、2 G內存、2.27 GHz主頻的計算機上進行，開發環境為Matlab2010.b。

3.1 測試問題

本文采用目前國際上較為權威的移動峰問題(moving peaks benchmark，MPB)[10]來對算法進行測試，該測試問題的特點是周期性的改變峰的高度、寬度和移動峰的位置以構造復雜的動態環境，測試問題的目標函數為

其中：W()和H()分別為第個局部最優峰在時刻的寬度和高度；X()為第峰在維上的位置信息。MPB的相關參數如表1所示。通過比較離線誤差和標準方差來比較算法性能，離線誤差的公式為

其中：為環境變化次數；h為理論最優值；f-為第次環境變化前的算法所尋最優值。

表1 MPB問題參數設置

3.2 實驗設置

采用2組實驗研究多種群引力搜索算法在解決動態優化問題上的性能。第1組實驗主要分析關鍵參數對于算法整體性能的影響。第2組實驗是比較多種群引力搜索算法與目前解決動態優化問題效果較好的7種算法，7種算法分別為：CDDE_Ar[4]，FTMPSO[11]，jDE[12]，CPSOR[13]，Dopt-aiNET[14]，CPSO[8]和PSO-CP[15]。對于引力搜索算法的相關參數設定參考文獻[6]，種群規模取10，閾值l取0.01，排斥距離取80，取3，環境變化次數取100次。所有仿真實驗都獨立運行20次。

3.3 參數分析

3.3.1參數的研究

在GSA中，如式(3)所示，需要為引力常數設置合適的變化趨勢，也即對參數的設置。本組實驗目的是研究參數對算法性能的影響，實驗結果如表2所示。從表2可以看出：當為150時，離線誤差最小，算法所得到的求解精度最高；當參數大于150時，算法性能會逐漸下降。這是因為當較大時，則引力常數()變化較緩，進而導致進化步長變化較慢，雖然能使種群更加精細的對解空間展開搜索，但是會增加單個種群搜索的計算量，減少種群的搜索次數，降低算法整體的優化性能；當較小時，()變化較快，使得進化步長變化較快，進而導致種群收斂到非局部最優峰上，降低了算法的搜索能力。

3.3.2 種群規模的研究

本組實驗目的是研究不同的種群規模對算法優化性能的影響，取種群規模，實驗結果如表3所示。從表3可以看出：當種群規模設置為10時，會得到較好的實驗結果。當種群規模較小時，由于種群多樣性較低，種群搜索最優解的難度加大，使得算法的整體優化性能下降；而當種群規模設置較大時，則會增加種群單次搜索的計算量，會減少種群的搜索次數，降低算法的整體優化性能。

表2 參數T研究結果

表3 種群規模的研究結果

3.4 與其他算法的對比

3.4.1 不同動態程度DOPs的比較

為了考察在不同的環境變化強度下，比較所提算法與其他目前解決動態優化問題效果較好的7種算法，結果如表4所示，從表4可以看出：隨著環境變化強度的增加，各算法的求解精度在一定程度上都會有所下降，這是因為環境變化越來越劇烈，加大了算法跟蹤全局最優解的難度。但所提算法在不同的變化強度下，精度和穩定性都優于其他的7種算法的精度和穩定性。這是因為多種群策略、帶有約束條件的初始化策略及重復搜索監測策略為優化節約了大量的計算成本，進而增加了初始新子種群的次數，使最優解有更多的機會被開采到，當環境監測策略及時全面的檢測到環境的變化后，追蹤策略又保證了對已尋峰的追蹤。另外，如果環境變化程度較大，個別已尋峰脫離種群追蹤，那么多種群串行搜索的策略又能繼續的追蹤到該峰。

3.4.2 不同峰值DOPs的比較

考察所提算法與其他7種算法，在解決不同峰值數量的動態問題上的性能對比，實驗結果如表5所示，從表5可以看出：隨著局部最優峰數量的逐漸增多，各個算法性能都有不同程度的降低，這是因為隨著峰值數量的增加，在有限的計算成本下，算法搜尋到最優解的難度加大。本文所提算法相比于其他7種對比算法在解決不同峰值數量的動態優化問題時，表現出明顯的優勢。這是因為本文算法一方面減少了因重復搜索帶來的計算開銷，另一方面，及時全面的檢測環境的變化并采取相應的追蹤策略，縮小了隨時間變化的局部峰的搜索區域，GSA快速的搜索速度又進一步減少了搜尋峰值所需的計算開銷。

表4 IMGSA與其他7種算法在不同環境變化強度下實驗對比

注：括號內的數據為標準誤差；括號外的數據為離線誤差。

表5 IMGSA與其他7種算法在不同峰數下實驗對比

注：括號內的數據為標準誤差；括號外的數據為離線誤差。

通過對仿真結果的分析可知：IMGSA算法與其他7種算法相比，在解決不同的環境變化程度及不同峰值數量問題時，均表現出較好的尋優性能，表明了本文算法在解決DOPs問題上的優越性。

4 結論

1) 提出了一種基于改進多種群策略的引力搜索算法。該算法采用多個種群串行搜索的方式，共享種群間的進化信息；采用帶有約束條件的初始化策略給予初始化粒子方向性的指引；采用監測種群重復搜索的策略，減少了重復搜索同一個峰而帶來的冗余計算；采用一種環境檢測策略，在及時檢測環境變化的同時，全面的掌握了各個峰值變化的具體情況，對于未變化峰予以保留；采用一種追蹤策略，準確追蹤各個已尋峰的變化。

2) 找出了最適合的算法進化步長變化的趨勢，提高了算法的求解精度。本文提出的IMGSA算法較現有的多種動態優化算法在不同峰值、不同環境變化程度下，其尋優精度均優于其他多種動態優化算法尋優精度，在解決動態優化的實際問題中具有廣泛的應用價值。

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(編輯 羅金花)

Improved multi-population gravitational search algorithm for dynamic optimization problems

BI Xiaojun1, DIAO Pengfei1, WANG Yanjiao2, XIAO Jing3

(1. College of Information and Communication Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China;2. College of Information Engineering, Northeast Dianli University, Jilin 132012, China;3. Department of Information Engineering, Liaoning Provincial College of Communications, Shenyang 110122, China)

To improve the redundant computing and low accuracy of solving dynamic optimization problems (DOPs) for multi-population algorithm, a novel improved multi-population gravitational search algorithm (IMGSA) was proposed. In IMGSA, the multi-population serial strategy was good for the present subpopulation to use evolutionary information of convergence population. A constraint initialization strategy was proposed to reduce the redundant computing which was generated by multiple populations searching repeatedly. Simultaneously, a distance decision strategy was used to stop multiple populations searching. Eventually, a monitoring and tracking strategy was used to monitor the environmental change and track the local peaks. The results show that IMGSA has a better performance in solving DOPs than those of other seven dynamic algorithms in different degree of environmental change or different peak number. It can prove the validity of proposed algorithm.

gravitational search algorithm (GSA); dynamic optimization problems (DOPs); multi-population strategy

10.11817/j.issn.1672-7207.2015.09.023

TP18

A

1672?7207(2015)09?3325?07

2014?09?26；

2014?11?30

國家自然科學基金資助項目(61175126)；中央高校基本科研業務費專項資金資助項目(HEUCFZ1209)；高等學校博士學科點專項科研基金項目資助課題(20112304110009)；黑龍江省博士后基金資助項目(LBH-Z12073)；遼寧省教育廳科學研究一般項目(L2012458)；遼寧省博士科研啟動基金資助項目(20120511) (Project(61175126) supported the National Natural Science Foundation of China; Project(HEUCFZ1209) supported by the Fundamental Research Funds for the Central Universities; Project(20112304110009) supported by the Special Scientific Research Foundation of the Doctoral Program of Higher Education; Project(LBH-Z12073) supported by Post Doctoral Fund of Heilongjiang Province; Project(L2012458) supported by General Project of Scientific Research of the Education Department of Liaoning Province; Project(20120511) supported by the Doctoral Research of Liaoning Province)

畢曉君，博士，教授，從事信息智能處理技術、智能優化算法、數字圖像處理研究；E-mail: 398317196@qq.com