負(fù)泊松比巖體顆粒流模型及模擬分析

金愛兵，王凱，楊振偉，孟新秋

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負(fù)泊松比巖體顆粒流模型及模擬分析

金愛兵，王凱，楊振偉，孟新秋

(北京科技大學(xué)土木與環(huán)境工程學(xué)院，北京，100083)

為了從微觀結(jié)構(gòu)角度研究巖體特殊的負(fù)泊松比效應(yīng)，基于顆粒流理論和顆粒流程序(PFC)，提出采用顆粒流數(shù)值模擬方法。從已知具有負(fù)泊松比效應(yīng)的無機(jī)晶體材料出發(fā)，研究其內(nèi)部特殊的微觀結(jié)構(gòu)，進(jìn)而建立符合巖體情況的顆粒流模型。利用所生成模型進(jìn)行單軸壓縮模擬試驗(yàn)，得出泊松比隨應(yīng)力的變化曲線。基于所建模型，對巖體在低荷載水平作用下的負(fù)泊松比現(xiàn)象機(jī)理進(jìn)行分析。研究結(jié)果表明：當(dāng)軸壓為0~3 MPa時，巖體試樣泊松比為負(fù)值，最小泊松比為?0.059。模擬結(jié)果與室內(nèi)試驗(yàn)結(jié)果大致吻合，驗(yàn)證了該顆粒流模型用于研究巖體負(fù)泊松比現(xiàn)象的可靠性。

巖體；負(fù)泊松比；PFC；顆粒流模型；微觀結(jié)構(gòu)

西蒙?泊松定義材料負(fù)的橫向應(yīng)變與縱向應(yīng)變之比為泊松比[1]。在通常情況下，材料的泊松比為正值，即材料在縱向拉伸時橫向發(fā)生收縮。而負(fù)泊松比效應(yīng)是指在材料縱向拉伸時，橫向發(fā)生膨脹；受壓縮時橫向發(fā)生收縮。根據(jù)經(jīng)典彈性力學(xué)，錢偉長等[2]從理論上嚴(yán)格證明在等溫條件下各向同性材料的泊松比取值范圍為?1~0.5，說明理論上存在負(fù)泊松比(negative Poisson’s ratio)物質(zhì)。目前，在高分子材料領(lǐng)域已經(jīng)陸續(xù)研制出一些具有負(fù)泊松比效應(yīng)的材料。Lakes[3]把1個長×寬×高為110 mm×38 mm×38 mm的普通聚氨酯泡沫放入1個長×寬×高為75 mm×25 mm× 25 mm的鋁制模具中，經(jīng)過一系列室內(nèi)試驗(yàn)處理后，所得泡孔單元呈內(nèi)凹(re-entrant)結(jié)構(gòu)，并測出其泊松比為?0.7。目前，有關(guān)內(nèi)凹結(jié)構(gòu)研究較多的是六邊形蜂窩材料，除此之外還有其他一些結(jié)構(gòu)模型[4]具有負(fù)泊松比效應(yīng)，如盧子興等[5]在前人研究基礎(chǔ)上提出了一種部分內(nèi)凹、部分規(guī)則的六邊形二維多胞材料力學(xué)模型，并隨之預(yù)測了模型泊松比與剛度系數(shù)隨角度的變化關(guān)系，求解出其剪應(yīng)變量，最終通過能量法計(jì)算出該力學(xué)模型的本構(gòu)方程。而關(guān)于巖石類材料負(fù)泊松比的研究較少。王讓甲等[6?7]在對一組不同類別巖樣進(jìn)行單軸壓縮試驗(yàn)時，發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)泊松比為負(fù)的情況；基于國內(nèi)某海底隧道工程的巖體室內(nèi)實(shí)驗(yàn)，涂忠仁等[8]在低荷載水平作用下觀察到花崗巖泊松比為負(fù)值的現(xiàn)象，并利用Grima等[9?10]在對無機(jī)晶體材料研究時提出的“晶粒轉(zhuǎn)動”模型進(jìn)行了初步解釋。但前人并未對巖體微觀結(jié)構(gòu)進(jìn)行深入分析。由于巖石是典型的非均質(zhì)、非連續(xù)材料，采用連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論和數(shù)值模擬方法對巖體進(jìn)行分析明顯存在著不足，而離散單元法作為求解非連續(xù)介質(zhì)力學(xué)問題的一個重要數(shù)值分析方法，卻可以從微觀到宏觀對巖體的破壞過程進(jìn)行模擬分析[11]。為此，本文作者在前人的研究內(nèi)容和室內(nèi)試驗(yàn)基礎(chǔ)上，從巖體內(nèi)部的微觀結(jié)構(gòu)角度出發(fā)，采用PFC程序數(shù)值模擬方法對巖體負(fù)泊松比現(xiàn)象進(jìn)行研究 分析。

1 研究方法

根據(jù)材料泊松比定義，用公式表達(dá)即為

材料的彈性模量、體積模量、剪切模量、縱波速度p和橫波速度s與材料泊松比存在如下關(guān)系：

1.1 PFC顆粒單元

基于PFC程序，采用顆粒單元構(gòu)建計(jì)算模型，設(shè)定顆粒間細(xì)觀接觸參數(shù)，模擬介質(zhì)的基本特性隨應(yīng)力環(huán)境的變化。當(dāng)顆粒間黏結(jié)受外部作用影響發(fā)生破壞時，顆粒相互分離，實(shí)現(xiàn)對巖樣破壞過程的模擬。在模擬顆粒黏結(jié)破壞過程中，PFC程序提供了2種基本的顆粒黏結(jié)模型[12](如圖1所示)：接觸黏結(jié)模型和平行黏結(jié)模型，兩者合稱為黏結(jié)顆粒模型(BPM)[13]。本文所采用的是接觸黏結(jié)模型。

(a) 接觸黏結(jié)模型；(b) 平行黏結(jié)模型

由于BPM存在拉壓強(qiáng)度比過高及內(nèi)摩擦角偏低等缺陷，為克服該問題本文采用簇單元模型(CPM，如圖2所示)來模擬巖體顆粒，該模型使用不規(guī)則的異形顆粒代替BPM介質(zhì)中的圓形顆粒，通過增大顆粒之間的咬合及摩擦效應(yīng)，克服BPM中顆粒形狀失真所帶來的問題[14]。

圖2 簇單元模型

1.2 負(fù)泊松比巖體PFC模型

不少科學(xué)工作者已經(jīng)研制出負(fù)泊松比材料，同時還提出了多種理論模型，并對其成因機(jī)理進(jìn)行分析解釋。Grima等[9?10]在對一些無機(jī)晶體材料研究時發(fā)現(xiàn)，某些晶體內(nèi)部通過彼此之間的鉸鏈連接在一起，并在微觀結(jié)構(gòu)上呈方格狀排列，據(jù)此提出了負(fù)泊松比無機(jī)晶體材料的“晶粒轉(zhuǎn)動”模型，如圖3所示。

根據(jù)圖3所示的“晶粒轉(zhuǎn)動”模型，假設(shè)每個晶體單元的長度為，之間夾角為，則在每個單元內(nèi)有

(a) 壓縮；(b) 拉伸

根據(jù)式(1)的定義，泊松比瞬時變化量為

由圖3和式(6)可得

聯(lián)立式(5)~(7)，求得該無機(jī)晶體材料的理論泊松比值瞬時變化量為?1。

基于圖3所示的無機(jī)晶體的“晶粒轉(zhuǎn)動”理論模型，對室內(nèi)試驗(yàn)中所觀察到的巖體負(fù)泊松比現(xiàn)象進(jìn)行研究分析。假定部分特殊巖體具有類似圖3所示理論模型微觀結(jié)構(gòu)，并將該模型轉(zhuǎn)換成可以在離散元軟件PFC中使用的顆粒流模型來研究這一現(xiàn)象，具體轉(zhuǎn)換步驟如下：1) 將“晶粒轉(zhuǎn)動”模型中的方格狀排列轉(zhuǎn)換成巖石顆粒的圓形球狀排列，即將晶體顆粒轉(zhuǎn)換成PFC中的簇單元模型(CPM)；2) 將晶體顆粒間起到連接作用的鉸鏈轉(zhuǎn)化成PFC程序中所提供的接觸黏結(jié)模型；3) 將試樣內(nèi)巖石大顆粒間的空隙用較小顆粒進(jìn)行填充，進(jìn)而得到更符合巖體真實(shí)情況的顆粒流模型；4) 為避免模擬試驗(yàn)計(jì)算結(jié)果失真，需消除PFC模型中的懸浮顆粒[15]。

對照“晶粒轉(zhuǎn)動”理論模型(見圖3)，最終得到的負(fù)泊松比巖體顆粒流理論模型如圖4所示。

2 顆粒流模擬與實(shí)例驗(yàn)證

2.1 顆粒流模型

在已有室內(nèi)花崗巖試樣單軸壓縮實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上來進(jìn)行顆粒流模擬試驗(yàn)。按照國內(nèi)有關(guān)試驗(yàn)規(guī)程規(guī) 定[16]：抗壓試驗(yàn)應(yīng)采取高徑比為2.0~2.5的標(biāo)準(zhǔn)規(guī)則試件，為方便建模，本試驗(yàn)中的巖石試樣高×直徑為120 mm×60 mm。

(a) 壓縮；(b) 拉伸；(c) 變換后壓縮；(d) 變換后拉伸

本顆粒流模型中，定義巖體試樣的墻體共4個，編號為1號、2號、3號和4號，所包圍的矩形范圍 (高×寬)為120 mm×60 mm。其中，1號和2號墻體為加載墻，3號和4號墻體在前期生成模型時起約束作用，在后期進(jìn)行單軸壓縮模擬試驗(yàn)時將其刪除。單軸壓縮模擬試驗(yàn)PFC數(shù)值試樣通過一系列的微觀顆粒構(gòu)建而成。其中：用于替換BPM的簇單元(CPM)大圓顆粒半徑=3.62 mm，小圓顆粒半徑=0.77 mm，2個小圓顆粒圓心距=4.20 mm(的含義見圖2)；填充物的顆粒半徑采用min~max的高斯分布，其中min=0.38 mm，max=0.40 mm；顆粒之間采用接觸黏結(jié)模型。對于給定尺寸的CPM模型在區(qū)域內(nèi)部的指定位置均勻生成，總數(shù)為72個；而對于給定半徑范圍的充填物顆粒在空隙區(qū)域內(nèi)隨機(jī)生成，顆粒總數(shù)為6 734個；PFC模型中總的顆粒數(shù)為6 806個。

為保證顆粒生成效果及效率，先生成小直徑顆粒，再將其半徑放大復(fù)原[17]。本次顆粒流模擬試驗(yàn)中將與周圍顆粒接觸數(shù)量小于3的顆粒定義為懸浮顆粒，其消除步驟為：1) 搜索懸浮顆粒，將其固定并賦予懸浮顆粒速度為0 m/次；2) 將懸浮顆粒的半徑擴(kuò)大20%使其與周圍顆粒充分接觸；3) 循環(huán)一定步數(shù)達(dá)到局部受力平衡狀態(tài)，若懸浮顆粒間最大接觸力小于指定容忍值時，則將此懸浮顆粒更改為普通顆粒；4) 當(dāng)懸浮顆粒間最大接觸力大于指定容忍值時，將顆粒半徑縮小10%，重復(fù)步驟3)，以此消除PFC模型中所有懸浮顆粒。最終得到的巖體試樣單軸壓縮顆粒流模擬試驗(yàn)PFC模型如圖5所示。

圖5 顆粒流模擬PFC 模型

2.2 模型細(xì)觀參數(shù)

本次研究中模型介質(zhì)細(xì)觀參數(shù)校核自廈門東通道海底隧道中巖體泊松比出現(xiàn)負(fù)值的XASD Ⅲ級圍巖(花崗巖)巖樣[8]，其相關(guān)宏觀力學(xué)參數(shù)：單軸抗壓強(qiáng)度為50~80 MPa；彈性模量為4.600 GPa；泊松比為0.050。經(jīng)反復(fù)調(diào)試匹配，最終得到PFC數(shù)值模型的宏觀力學(xué)參數(shù)：單軸抗壓強(qiáng)度為58 MPa；彈性模量為 4.230 GPa，泊松比為0.056。此時模型所取細(xì)觀力學(xué)參數(shù)如表1所示。模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果基本一致，可將該組細(xì)觀力學(xué)參數(shù)用于實(shí)際模型計(jì)算[18?20]，利用該P(yáng)FC數(shù)值模型能準(zhǔn)確地對試樣泊松比變化情況進(jìn)行研究分析。

表1 PFC模型細(xì)觀力學(xué)參數(shù)

注：接觸黏結(jié)法向和切向剛度分別為3.26×108Pa/m和1.27×108Pa/m；法向和切向強(qiáng)度分別為(2×107±5×106) Pa和(2×107±5×106) Pa。

2.3 模擬過程及結(jié)果

花崗巖是一種堅(jiān)硬脆性巖石，本文中PFC模型試樣的單軸抗壓強(qiáng)度為58 MPa，而本次模擬主要目的是研究低荷載水平作用下巖體的負(fù)泊松比現(xiàn)象，所以，本次單軸壓縮模擬試驗(yàn)只涉及巖體破壞過程中的裂隙閉合階段和彈性變形的初級階段。通過前期模擬計(jì)算，確定墻體上的最終法向荷載為6.5 MPa為宜。即在本次顆粒流模擬過程中，當(dāng)1號和2號墻體上的法向荷載達(dá)到6.5 MPa時就停止加載。在顆粒流模擬過程中，由于PFC程序中對加載墻只能施加速率，因此，需要通過不斷調(diào)整1號和2號墻體的加載速率以控制墻體受力，從而可達(dá)到向PFC數(shù)值模型施加連續(xù)、穩(wěn)定法向荷載的目的。最終得到PFC模型試樣的應(yīng)力?應(yīng)變曲線、應(yīng)變關(guān)系曲線和泊松比變化曲線如圖6~8所示。模擬試驗(yàn)中縱向應(yīng)變原始實(shí)測數(shù)據(jù)為負(fù)值，為方便作圖，將其取為相反數(shù)。

從圖6~8可知：1) 模擬試驗(yàn)的應(yīng)力?應(yīng)變曲線與常規(guī)室內(nèi)單軸壓縮試驗(yàn)前期低荷載作用下的應(yīng)力?應(yīng)變曲線特征相同，變化規(guī)律相吻合；2)段為巖體裂隙閉合階段，段巖體已處于彈性變形階段；3) 當(dāng)PFC模型試樣所受荷載較小(本試驗(yàn)中小于3 MPa)時，巖體泊松比為負(fù)值；4) 當(dāng)PFC模型試樣所受荷載較大(本試驗(yàn)中大于3 MPa)時，巖體的泊松比逐漸變大，并恢復(fù)為正值。

圖6 模擬試驗(yàn)應(yīng)力?應(yīng)變曲線

圖7 模擬試驗(yàn)應(yīng)變關(guān)系曲線

圖8 模擬試驗(yàn)泊松比變化曲線

2.4 對比試驗(yàn)

為驗(yàn)證基于顆粒流分析方法的負(fù)泊松比巖體PFC模型的可靠性，將模擬實(shí)驗(yàn)和室內(nèi)單軸壓縮試驗(yàn)[8]進(jìn)行對比分析。對比試驗(yàn)中巖石試樣為中粗粒黑云母花崗巖，試樣縱高×直徑為83 mm×50 mm，密度為 2 408 kg/m3。對比試驗(yàn)中相關(guān)測試結(jié)果如表2所示，對比試驗(yàn)的應(yīng)變關(guān)系曲線如圖9所示。

2.5 對比結(jié)果

綜合顆粒流模擬試驗(yàn)結(jié)果與室內(nèi)對比試驗(yàn)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：在低荷載水平作用下，部分特殊巖體會出現(xiàn)泊松比為負(fù)值的情況。為進(jìn)一步驗(yàn)證負(fù)泊松比巖體顆粒流模型的有效性，將模擬試驗(yàn)與室內(nèi)試驗(yàn)的泊松比變化曲線進(jìn)行對比分析，其結(jié)果如圖10所示。

表2 單軸壓縮測試結(jié)果

圖9 對比試驗(yàn)應(yīng)變關(guān)系曲線

1—模擬試驗(yàn)；2—室內(nèi)試驗(yàn)

從圖10可以看出：1) 2條曲線走向、趨勢、變化特征基本相同；2) 當(dāng)荷載大于3 MPa時2條曲線基本吻合；3) 室內(nèi)試驗(yàn)時，巖體出現(xiàn)負(fù)泊松比現(xiàn)象的荷載區(qū)間為0~2.3 MPa，最小泊松比為?0.023(相應(yīng)軸壓為1 MPa)，模擬試驗(yàn)此區(qū)間為0~3 MPa，最小泊松比為?0.059(相應(yīng)軸壓為0.23 MPa)；4) 由于室內(nèi)試驗(yàn)應(yīng)力不能連續(xù)加載，每次加載量間隔為0.5 MPa，所以，不排除荷載為0~1 MPa的區(qū)間內(nèi)會存在更小的負(fù)泊松比，而這可能會使顆粒流模擬試驗(yàn)結(jié)果和室內(nèi)對比試驗(yàn)結(jié)果擬合程度更好。

3 負(fù)泊松比現(xiàn)象形成機(jī)理分析

基于本文所提出的負(fù)泊松比巖體顆粒流模型，假定部分特殊巖體具有類似于圖4所示的理論模型微觀結(jié)構(gòu)，則可對室內(nèi)試驗(yàn)和模擬試驗(yàn)中所觀測到的負(fù)泊松比現(xiàn)象進(jìn)行合理解釋。

基于上述假定，對于巖體單軸壓縮試驗(yàn)，由圖4和圖8可知：階段由于應(yīng)力比較小，巖體內(nèi)部結(jié)構(gòu)變化緩慢，巖石顆粒間發(fā)生相對旋轉(zhuǎn)、錯動，內(nèi)部孔隙被壓密，巖樣向內(nèi)出現(xiàn)“頸縮”的現(xiàn)象，所以，這一階段測量得到的橫向應(yīng)變?yōu)樨?fù)值，計(jì)算得到的泊松比也為負(fù)值；階段應(yīng)力較大，巖體內(nèi)部的大部分孔隙壓密后又呈現(xiàn)出正常的變形規(guī)律，橫向應(yīng)變開始逐漸增大，并恢復(fù)為正值，之后計(jì)算得到的泊松比也逐漸增大，并恢復(fù)為正值。

4 結(jié)論

1) 研究了具有負(fù)泊松比效應(yīng)的無機(jī)晶體材料，參照其特殊的“晶粒轉(zhuǎn)動”模型，進(jìn)而建立符合巖體實(shí)際情況，具有負(fù)泊松比效應(yīng)的顆粒流(PFC)模型。

2) 基于顆粒流分析方法，利用負(fù)泊松比巖體PFC模型進(jìn)行了數(shù)值模擬試驗(yàn)，試驗(yàn)中出現(xiàn)與已有室內(nèi)試驗(yàn)相同的結(jié)果，即部分特殊巖體會出現(xiàn)負(fù)泊松比效應(yīng)。

3)將顆粒流模擬試驗(yàn)與室內(nèi)試驗(yàn)進(jìn)行對比，兩者的泊松比變化特征相吻合，低荷載時巖體泊松比為負(fù)，高荷載時恢復(fù)正值，兩者結(jié)果具有高度相似性，表明本文所提出的負(fù)泊松比巖體PFC模型可用于研究巖體的負(fù)泊松比效應(yīng)。

4) 基于部分特殊巖體具有類似于本文所提出負(fù)泊松比巖體顆粒流理論模型微觀結(jié)構(gòu)的假定，對巖體的負(fù)泊松比現(xiàn)象進(jìn)行分析，即低壓壓縮時模型顆粒間發(fā)生相對旋轉(zhuǎn)、錯動，巖樣橫向出現(xiàn)“頸縮”現(xiàn)象，橫向應(yīng)變?yōu)樨?fù)值，泊松比也為負(fù)值。

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(編輯 羅金花)

flow code model and simulation of rock mass with negative Poisson’s ratio

JIN Aibing, WANG Kai, YANG Zhenwei, MENG Xinqiu

(School of Civil and Environment Engineering, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China)

In order to study the specific phenomenon of negative Poisson’s ratio of rock mass in the perspective of microstructure, a method of numerical simulation using particle flow theory and particle flow code (PFC) was proposed. An applicable PFC model of negative Poisson’s ratio of rock mass was constructed by studying the specific internal microstructure of inorganic crystals materials. A Poisson’s ratio curve of rock specimen was obtained in a numerical experiment of rock uniaxial compression using the PFC model. Based on the PFC model, the mechanism of negative Poisson’s ratio of rock specimen at low load level was interpreted. The results show that Poisson's ratio is negative when the axial compression is 0 to 3 MPa, and the minimum value is ?0.059. The results of numerical simulation agree with the test data. The reliability of the PFC model used to study negative Poisson’s ratio of rock mass is verified.

rock mass; negative Poisson’s ratio; particle flow code(PFC); particle flow code model; microstructure

10.11817/j.issn.1672-7207.2015.09.035

TU45

A

1672?7207(2015)09?3422?07

2014?09?24；

2014?11?01

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51074014)；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(FRF–SD–12–002A) (Project(51074014) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(FRF–SD–12–002A) supported by the Fundamental Research Funds for the Central Universities)

金愛兵，博士，副教授，從事巖土工程災(zāi)害治理研究；E-mail: jinaibing@ustb.edu.cn