粗粒土級配及顆粒破碎分形特性

陳镠芬，高莊平，朱俊高，殷建華

?

粗粒土級配及顆粒破碎分形特性

陳镠芬1, 2，高莊平1，朱俊高1, 2，殷建華3

(1. 河海大學巖土力學與堤壩工程教育部重點實驗室，江蘇南京，210098；2. 河海大學巖土工程科學研究所，江蘇南京，210098；3. 香港理工大學土木工程系，香港，999077)

驗證顆粒質量?粒徑分布分形模型用于表示粗粒土級配的適用性，研究粗粒土在不同縮尺粒徑的情況下，采用不同縮尺方法縮尺后土體分形維數的變化規律；基于分形維數建立縮尺級配與原始級配之間的聯系，分析不同母巖材料、級配和顆粒形狀粗粒土三軸試驗資料，推算粗粒土的相對破碎率，并探討分形維數與相對破碎率的關系。研究結果表明：分形維數能定量描述粗粒土的原始級配和縮尺級配，不同縮尺方法得到的粒度分形曲線形態有較大差別，與原始級配的粒度分形曲線有不同程度的偏離，縮尺粒徑越小偏離程度越大。在所研究的4種縮尺方法中，分形維數與縮尺粒徑的對數呈較好的線性關系；圍壓越大，破碎分形維數和相對破碎率越大，試驗前粗粒土的分形維數越大，剪切試驗后相對顆粒破碎率越小。不同母巖、級配和顆粒形狀的破碎分形維數與相對破碎率呈冪函數關系，通過分形維數和擬合參數可估算不同圍壓下的相對破碎率。

粗粒土；級配；顆粒破碎；分形維數；相對破碎率

粗粒土是指直徑大于5 mm顆粒的質量分數超過50%的卵、礫石料或堆石料，其在較高的壓力下易破碎，顆粒破碎現象在高土石壩中尤其值得關注。顆粒破碎引起土體級配的改變，從而改變粗粒料的物理力學性質。然而，如何描述破碎前后級配的差異，一直是一個難題，相關研究較多，但多不理想。實際上，若能找到準確描述級配的數學描述，顆粒破碎定量表述就較容易實現。因此，研究粗粒土顆粒破碎程度，首先需要解決級配的準確表述問題。對粗粒土，級配是影響其物理力學性質的重要因素，顆粒破碎引起級配變化，從而導致其力學性質變化，然而，迄今為止，級配的準確定量描述仍依賴于級配曲線。雖然不均勻系數及曲率系數能在一定程度上反映級配，但并不準確。已有學者利用分形理論研究土體級配，但多針對細粒土的研究，對于粗粒土研究較少，因此，粗粒土級配的定量表述方法值得深入研究。關于顆粒破碎，國內外學者分別從試驗、理論及數值計算方法等方面進行研究，涉及顆粒破碎對土體工程特性影響[1?2]、顆粒破碎度量及影響因素[3?4]和考慮顆粒破碎的本構模型[5?7]這3方面。自20世紀80年代以來，謝和平 等[4, 8?9]采用分形理論對細粒土進行深入研究，研究結果表明：由形狀與大小各異的巖土體顆粒和孔隙組成的材料都存在自相似性，都具有分形特性。對于粗粒土，現有研究成果亦表明[10?11]，在不同的粒度范圍內粗粒土都表現出一定的分形特征。分形維數作為分形理論的研究手段，已成為研究巖土材料物理力學性質的一個重要指標。本文作者基于幾種土石壩粗粒料的設計級配，研究分形模型對粗粒土級配的適用性，并對雙江口堆石壩的壩殼堆石料采用不同縮尺方法縮尺后粗粒土的級配分形維數的差異進行比較，建立不同縮尺方法縮尺后級配與原型級配的內在聯系；對多種堆石料大型三軸試驗資料進行分析，研究試驗前后的粒徑分布，推算堆石料的相對破碎率，從而探討分形維數與相對破碎率之間的關系，分析試驗引起的顆粒破碎情況及分形維數的變化。

1 質量?粒徑分形模型對粗粒土級配適用性驗證

自分形理論應用于巖土體以來，學者提出許多巖土體顆?；蚩紫兜姆中文Ｐ停⒃诖嘶A上研究巖土體的孔隙率、非飽和土的水分特征曲線、滲透性和土體抗剪強度等，取得較好的成果[12?13]。適合粗粒土級配的分形模型包括粒徑?數量分形模型和質量?粒徑分形模型，鑒于粒徑?數量關系較難從試驗直接獲得，對于粗粒土的分形特性研究一般采用顆粒質量?粒徑分形模型[14]，即

對式(1)兩邊取對數得

為驗證所選用的分形模型對粗粒土的適用性，整理雙江口、長河壩、糯扎渡及小浪底等心墻堆石壩的4種堆石料原始級配粒度分形曲線，即關系曲線，如圖1所示。由圖1可以看出：它們之間表現出良好的線性關系，因此，用式(2)擬合，可求得分形維數，表1所示為相應的分形維數和線性擬合的相關系數。

由圖1和表1可以看出：不同堆石料原始級配的粒度分形曲線呈顯著的線性關系，相關系數2均超過0.99，表明本文所選取的分形模型能較好地反映堆石料的分形特性。這幾種堆石料的分形維數在2.456~2.577，分布在一個狹窄的區間內。

1—雙江口；2—長河壩；3—糯扎渡；4—小浪底

表1 不同堆石料原始級配的分形維數及相關系數

2 縮尺方法對分形維數的影響

土石壩的堆石料原始級配具有顯著分形特性，但在室內試驗時，顆粒粒徑會受到試驗儀器的限制，一般需要將堆石料的原始級配進行縮尺，而縮尺方法、最大縮尺粒徑會使粗、細顆粒質量分數發生改變，引起級配曲線形態的差異?？s尺后是否還能用分形維數描述級配值得研究。本節重點研究雙江口堆石壩的壩殼堆石料級配縮尺后的分形特性，其他幾種堆石料的規律一致。

土工試驗中常用的縮尺方法為剔除法、等量替代法、相似級配法和混合法，對應符號依次用T，E，X和H表示，采用的最大縮尺顆粒直徑M(以下稱縮尺粒徑)為60和20 mm。如剔除法，縮尺粒徑為60和20 mm的編號為T60和T20，其余縮尺方法的編號方法類似。雙江口堆石料的原始級配及縮尺級配曲線如圖2所示，相應的粒度分形曲線及分形維數如圖3和表2所示。

從圖2和圖3可以看出：不同縮尺方法下的級配曲線和粒度分形曲線與原始曲線都有較大不同。相似級配法縮尺后各粒組之間相對質量分數和填充關系不發生變化，級配良好，粒度分形曲線與原始曲線重合，線性相關性較好；剔除法和等量替代法縮尺后級配曲線和粒度分形曲線都存在突變部分，突變點隨著縮尺粒徑的變化而不同，級配不良，粒度分形曲線線性相關性較差；混合法的級配曲線和粒度分形曲線介于等量替代法與剔除法之間，級配較好，線性相關性較好。由此可知：級配曲線和粒度分形曲線是相對應的，進一步證明可以通過分形維數來描述級配曲線。

dM/mm: (a) 60; (b) 20 1—原始級配；2—T60；3—E60；4—X60；5—H60；6—T20；7—E20；8—X20；9—H20

dM/mm: (a) 60; (b) 20 1—原始級配；2—X20；3—H20；4—T20；5—E20；6—X60；7—H60；8—T60；9—E60

另外，根據圖3中不同縮尺粒徑的粒度分形曲線分布情況，縮尺后粒度分形曲線與原始粒度分形曲線有一定程度的偏離，縮尺粒徑愈小則偏離越大。對于同一縮尺粒徑，等量替代法的粒度分形曲線偏離原始級配最大，剔除法的粒度分形曲線靠近原始級配，混合法的粒度分形曲線介于等量替代法與剔除法之間。理論上采用相似級配法縮尺得到的級配分形維數與原級配一致，但由于級配寬度及縮尺粒徑的變化，實際擬合過程會有所不同，如表2所示。

表2 不同堆石料不同縮尺方法的分形維數

從表2可以看出：與另外3種縮尺方法相比，等量替代法的粒度分形曲線線性相關性較差，而其余縮尺方法的粒度分形曲線線性相關性較好，屬于嚴格自相似。但隨著縮尺粒徑的增加，等量替代法的粒度分形曲線線性相關系數有一定提高，這與其粒度分形曲線吻合。因此，對于大縮尺粒徑的等量替代法及另外3種縮尺方法都能用分形維數來描述級配。級配縮尺后，堆石料分形維數的變化范圍變大，在1.685~2.603之間，且分形維數總體上隨著縮尺粒徑的增大而增大。

為了表述縮尺方法引起的分形維數差異及縮尺前后分形維數的內在聯系，本文作者取縮尺粒徑的對數為橫坐標，分形維數為縱坐標，建立各縮尺粒徑和分形維數的關系曲線，以雙江口為代表，如圖4所示。

從圖4可以看出：縮尺粒徑與分形維數呈較好的線性關系，相關系數2=0.906~0.969。分形維數隨著縮尺粒徑的增大而增大，且隨著縮尺粒徑的增大，各縮尺方法的分形維數也越來越相近，同時也越靠近原始級配的分形維數，即縮尺粒徑越大越靠近原型級配，其物理力學特性表現越接近實際情況。

縮尺方法：1—T；2—E；3—X；4—H

3 顆粒破碎的分形特性

上述研究表明：對級配連續的粗粒土，分形維數能夠較好地描述其級配，因而本文作者從分形維數的角度研究級配與顆粒破碎的相互聯系。在大粒徑三軸試驗中，粗顆粒通常與鄰近顆粒有較多接觸，顆粒間產生較多力鏈，產生顆粒破碎概率較高；而細顆粒與鄰近顆粒接觸較少，甚至是懸浮在粗顆粒間，受力較小，產生顆粒破碎概率較低，因此，本文僅考慮粗顆粒的顆粒破碎。

首先對文獻[3, 16]中不同母巖、不同級配及不同顆粒形狀的粗粒土大三軸試驗資料進行整理，根據不同圍壓(300，600，700，800，900，1 200和1 600 kPa)下試驗前及剪切后(以試樣軸向應變達到15%為試驗終止條件)級配的變化研究分形維數和顆粒破碎率r之間的關系。為區別顆粒破碎前后級配的分形維數，將顆粒破碎后級配的分形維數稱為破碎分形維數，記為2，破碎前的分形維數記為1，如表3所示。圖5所示為石英砂巖在試驗后的粒度分形曲線。

由圖5可以看出：顆粒破碎前后的粒度分形曲線有較大差別，圍壓越大，粒度分形曲線擬合直線的斜率越小，相關系數2為0.974~0.991，表明顆粒破碎后粒徑分布的分形特性仍顯著，采用分形維數研究顆粒破碎這種方法可行。

由表3可以看出：圍壓越大，破碎分形維數越大。對于飽和單軸抗壓強度較大的堆石料(如石英砂巖、片麻巖和砂礫巖)，破碎導致分形維數增加幅度減小，而對于飽和單軸抗壓強度較小的堆石料(砂板巖)或是多棱角的堆石料(灰巖)，破碎使分形維數增加幅度增大。

圍壓/kPa：1—試驗前；2—200；3—600；4—900；5—1 200

表3 不同圍壓下各粗粒土的分形維數和相對破碎率

越來越多的研究表明，顆粒材料在荷載作用下顆粒破碎最終會趨于穩定，級配曲線會達到一個分形分布。Einav[17]在Hardin破碎理論的基礎上引入分形理論，提出基于分形理論的修正Hardin破碎指標r(如圖6所示)，其定義如下：

式中：()，0()和u()分別為以顆粒質量表示的當前、初始和極限顆粒級配曲線函數；m和M分別為試樣最小和最大直徑。圖6中，p表示破碎勢，橫坐標代表試樣直徑。

基于分形模型，u()的表達式為：

1—Br; 2—Bp

修正相對破碎率r是材料的一種基本屬性，反映土體總體破碎情況，計算方便及物理意義明確，因此，本文作者采用此指標研究其與分形維數之間的內在聯系，通過分形維數和式(3)計算的相對破碎率如表3中r所示。

從表3可看出：圍壓越大，相對破碎率越大，破碎分形維數變化越大，相對破碎率變化也越大。試驗前粗粒土的分形維數越大，試驗后顆粒相對破碎率就越小。分形維數大，則細粒較多，細粒能很好地填充孔隙，從而使粗粒與其他顆粒接觸變多，顆粒破碎量小，反之亦然。因而可以將分形維數作為顆粒破碎量化指標，來推算不同級配粗粒土在各圍壓下的顆粒破碎程度。

為了反映粗粒土破碎前后分形維數、圍壓和相對破碎率之間的變化規律，總結這幾方面因素的相互關系如下：

1) 對破碎前后分形維數1，2和圍壓進行整理，以2/1為橫坐標，/a為縱坐標繪制曲線，并作線性回歸分析，a為大氣壓強，如圖7所示。

1—石英砂巖；2—片麻巖(級配1)；3—片麻巖(級配2)；4—砂板巖；5—砂礫巖；6—灰巖

由圖7可以看出：2/1和/a關系曲線表現出顯著的線性關系(2=0.943~0.996)。則2/1隨/a的變化可表示為

式中：和為擬合參數。對圖7中的6種材料，這2個擬合參數如表4所示。

2) 對圖7中6種材料在不同圍壓時的相對破碎率r和破碎分形維數2進行整理，以r為橫坐標，2/r為縱坐標繪制曲線，并用冪函數進行擬合，結果如圖8所示。從圖8可以看出：針對本文研究的不同母巖、不同級配和不同形狀的6種粗粒土，破碎后的分形維數與顆粒相對破碎率之間有較好的對應關系，2/r與r的變化可以用式(6)來表示，即

表4 各粗粒土的a和b擬合值

圖8 D2/B-r?Br的線性擬合曲線

聯合式(5)和式(6)得破碎前的分形維數與相對破碎率的關系式如式(7)所示：

因此，在破碎前分形維數和擬合參數和已知的情況下，可由式(7)來估算不同圍壓下粗粒土的相對破碎率。另外，由圖7可以看出，破碎分形維數與相對破碎率的關系受母巖、級配和形狀的影響，都是圍繞在圖7所示的冪函數曲線上。這也進一步說明級配連續土體的顆粒級配可以用分形維數表示。

4 結論

1) 所采用的分形模型能較好地適用于粗粒土，能采用分形維數來描述級配。

2) 各縮尺方法得到的粒度分形曲線形態有較大差別，與原始級配的粒度分形曲線有不同程度的偏離，縮尺粒徑越小偏離程度越大，且縮尺級配的分形維數小于原型級配的分形維數。

3) 建立縮尺粒徑和分形維數的內在聯系，研究縮尺級配與原始級配分形維數的差異。

4) 基于分形理論的修正Hardin破碎指標r，從不同母巖材料、不同級配和不同顆粒形狀的角度考慮粗粒土受力后的顆粒破碎程度。研究指出圍壓越大，破碎分形維數和相對破碎率越大，試驗前粗粒土的分形維數越大，試驗后相對破碎率越小。

5) 破碎后的分形維數與相對破碎率受母巖、級配和形狀的影響呈冪函數的關系，通過破碎前的分形維數和擬合參數可估計不同圍壓下粗粒土的相對破 碎率。

[1] Indraratna B, Lackenby J, Christie D. Effect of confining pressure on the degradation of ballast under cyclic loading[J]. Geotechnique, 2005, 55(4): 325?328.

[2] 楊光, 張丙印, 于玉貞, 等. 不同應力路徑下粗粒料的顆粒破碎試驗研究[J]. 水利學報, 2010, 41(3): 338?342.

YANG Guang, ZHANG Bingyin, YU Yuzhen, et al. An experimental study on particle breakage of coarse-grained materials under various stress paths[J]. Journal of Hydraulic Engineering,2010, 41(3): 338?342.

[3] 劉漢龍, 秦紅玉, 高玉峰, 等. 堆石粗顆粒料顆粒破碎試驗研究[J]. 巖土力學, 2005, 26(4): 562?566. LIU Hanlong, QIN Hongyu, GAO Yufeng, et al. Experimental study on particle breakage of rockfill and coarse aggregates[J]. Rock and Soil Mechanics, 2005, 26(4): 562?566.

[4] 朱俊高, 王元龍, 賈華, 等.粗粒土回彈特性試驗研究[J]. 巖土工程學報, 2011, 33(6): 950?954. ZHU Jungao, WANG Yuanlong, JIA Hua, et al. Experimental study on resilience behavior of coarse grained soils[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2011, 33(6): 950?954.

[5] 孫海忠, 黃茂松. 考慮顆粒破碎的粗粒土臨界狀態彈塑性本構模型[J]. 巖土工程學報, 2010, 32(8): 1284?1290. SUN Haizhong, HUANG Maosong. Critical state elasto-plastic model for coarse granular aggregates incorporating particle breakage[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2010, 32(8): 1284?1290.

[6] 賈宇峰，遲世春，林皋. 考慮顆粒破碎的粗顆粒土剪脹性統一本構模型[J]. 巖土力學, 2010, 31(5): 1381?1388.

JIA Yufeng, CHI Shichun, LIN Gao. Dilatancy unified constitutive model for coarse granular aggregates incorporating particle breakage[J]. Rock and Soil Mechanics, 2010, 31(5): 1381?1388.

[7] 陳生水，傅中志，韓華強，等. 一個考慮顆粒破碎的堆石料彈塑性本構模型[J]. 巖土力學, 2011, 33(10): 1489?1495.

CHEN Shengshui, FU Zhongzhi, HAN Huaqiang, et al. An elastoplastic model for rockfill materials considering particle breakage[J]. Rock and Soil Mechanics, 2011, 33(10): 1489?1495.

[8] 劉玉松, 方磊, 陳浩東. 論我國特殊土粒度分布的分形結構[J]. 巖土工程學報, 1993, 15(1): 23?30. LIU Yusong, FANG Lei, CHEN Haodong. Fractal structure of granularity distribution of regional soils in China[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 1993, 15(1): 23?30.

[9] 徐永福, 劉斯宏, 董平. 粒狀土體的結構模型[J]. 巖土力學, 2001, 22(4): 367?372.XU Yongfu, LIU Sihong, DONG Ping. Microstructural model for granular soil[J]. Rock and Soil Mechanics, 2001, 22(4): 366?372.

[10] 石修松, 程展林. 堆石料顆粒破碎的分形特性[J]. 巖石力學與工程學報, 2010, 29(增2): 3852?3857. SHI Xiusong, CHENG Zhanlin. Fractal behavior in crushing of rockfill material[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2010, 29(Suppl 2): 3852?3857.

[11] 張肖寧, 孫楊勇. 粗集料的表面微觀紋理的激光測量方法及分形性質研究[J]. 公路交通科技, 2011, 28(1): 19?24. ZHANG Xiaoning, SUN Yangyong. Research on measurement of surface micro-texture of aggregate using laser and its fractal character[J]. Journal of Highway and Transportation Research and Development, 2011, 28(1): 19?24.

[12] 徐永福, 史春樂. 用土的分形結構確定土的水份特征曲線[J]. 巖土力學, 1997, 18(2): 40?43. XU Yongfu, SHI Chunle. Calculation of soil-water characteristic curves by using fractal structure of soil[J]. Rock and Soil Mechanics, 1997, 18(2): 40?43.

[13] YU Boming, LI Jianhua. Some fractal characters of porous media[J]. Fractals, 2001, 9(3): 365?372.

[14] Tyler S W, Wheatcraft S W. Fractal scaling of soil particle size distributions: Analysis and limitations[J]. Soil Science Society of America Journal, 1992, 56(2): 362?369.

[15] 舒志樂. 土石混合體微結構分析及物理力學特性研究[D]. 成都: 西華大學建筑與土木工程學院, 2007: 21?29. SHU Zhile. Study on microstructure and mechanical characteristics of the earth-rock aggregate[D]. Chengdu: Xihua University. School of Architecture and Civil Engineering, 2007: 21?29.

[16] 傅華, 凌華, 蔡正銀. 粗顆粒土顆粒破碎影響因素試驗研究[J]. 河海大學學報, 2009, 37(1): 75?79. FU Hua, LING Hua, CAI Zhengyin. Influencing factors for particle breakage of coarse grained soil[J]. Journal of Hohai University, 2009, 37(1): 75?79.

[17] Einav I. Breakage mechanics—Part Ⅰ: Theory[J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2007, 55: 1274?1297.

(編輯 劉錦偉)

Gradation of coarse grained soil and fractal geometry character of particle breakage

CHEN Liufen1, 2, GAO Zhuangping1, ZHU Jungao1, 2, YIN Jianhua3

(1. Key Laboratory of Ministry of Education for Geomechanics and Embankment Engineering, Hohai University, Nanjing 210098, China;2. Geotechnical Research Institution, Hohai University, Nanjing 210098, China;3. Department of Civil and Structure Engineering, Hongkong Polytechnic University, Hongkong 999077, China)

The applicability of soil cumulative mass particle-size distribution for coarse grained soil was verified, and the change rule of fractal dimension was analyzed in the situation of different particle sizes and scale methods. The connection between scale gradation and original gradation was also established through fractal dimension. Relative breakage rate was calculated according to the triaxial tests with different parent rocks, gradations and particle shapes. The correlation between fractal dimension and relative breakage rate was also discussed. The results show that fractal dimension can quantitatively describe original gradation and scale gradations. There exist great differences between fractal dimension curves of particle size with different scale methods, and all of them deviate from original gradation’s, the smaller scale size is, the bigger the deviation is. In the four scale methods, an excellent linear relationship between fractal dimension and the logarithm values of particle size has been found. The bigger the pressure is, the larger the broken fractal dimension and relative breakage rate is. The relative breakage rate decreases with the increase of fractal dimension before test. The broken fractal dimension and relative breakage rate displays a power functional relation under the condition of different parent rocks, gradations and particle shapes. Therefore, relative breakage rate of different pressure can be estimated through fractal dimension and fitting parameters.

coarse grained soil; gradation; particle breakage; fractal dimension; relative breakage rate

10.11817/j.issn.1672-7207.2015.09.038

TU411

A

1672?7207(2015)09?3446?08

2014?09?17；

2014?11?03

國家重點基礎研究發展規劃(973計劃)項目(2013CB036404)；高等學校博士學科點專項科研基金資助項目(20110094110002)；高等學校學科創新引智計劃項目(B13024) (Project(2013CB036404) supported by the National Basic Research Program (973 Program) of China; Project(20110094110002) supported the Specialized Research Fund for the Doctoral Program of High Education; Project(B13024) supported by the Program of Introducing Talents of Discipline for Universities)

朱俊高，教授，從事土體本構關系研究；E-mail: zhujungao@hhv.edu.cn