借助函數形態作圖之淺見

張美花

摘 要：作圖在數學中尤為重要，函數的圖象和性質關系密切。借助圖形的性質可以將許多抽象的數學概念和數量關系形象化、簡單化，給人以直觀的啟示，可讓理論性強的文章圖文并茂，有助于理解定義，說明定理和解釋公式等。主要講述如何利用函數的形態作出較為復雜的函數圖象。

關鍵詞：函數形態；作圖；方法步驟

一、函數現代概念

若對集合M的任意元素x，總有集合N確定的元素y與之對應，則稱在集合M上定義一個函數，記為y=f（x）。元素x稱為自變量，元素y稱為因變量。

二、函數的形態

1.單調性

設函數f（x）的定義域為D，區間I包含于D。如果對于區間上任意兩點x1及x2，當x1x2），則稱函數f（x）在區間I上是單調遞減的。單調遞增和單調遞減的函數統稱為單調函數。

2.奇偶性

設f（x）為一個實變量實值函數，若下列的方程對所有實數x都成立：f（x）=-f（-x）則f（x）為奇函數。幾何上，一個奇函數關于原點對稱。

設f（x）為一實變量實值函數，則f（x）為偶函數，若下列的方程對所有實數x都成立：f（x）=f（-x）。幾何上，一個偶函數關于y軸對稱。

3.周期性

設函數f（x）的定義域為D。如果存在一個正數T，使得對于任意x∈D有（x±T）∈D，且f（x+T）=f（x）恒成立，則稱f（x）為周期函數，T稱為f（x）的周期，通常我們說周期函數的周期是指最小正周期。周期函數的定義域D為至少一邊的無界區間，若D為有界的，則該函數不具周期性。并非每個周期函數都有最小正周期，例如狄利克雷（Dirichlet）函數。

4.有界性

設I為函數f（x）的定義域內的某一區間，若存在正數M，使得對一切x∈I，都有f（x）≤M，則稱f（x）為區間I上有界，否則稱f（x）為區間I上無界。

5.連續性

在數學中，連續是函數的一種屬性。直觀圖象上說，連續的函數是連綿不斷的一條線，也就是一筆可以畫完無需間斷的曲線。

不用極限的概念，也可以這樣表達：對任意給定的ε>0，總存在δ>0，當x-x0<δ時有f（x）-f（x0）<ε

6.凹凸性

三、函數的基本作圖方法

討論了函數的各種形態，綜合討論就可以做出函數圖象的一般步驟如下：

（1）確定函數的定義域，找出間斷點。

（2）求出曲線和坐標軸的交點。

（3）確定曲線關于坐標軸的對稱性。

（4）令一階導數等于0，求出函數的駐點，并算出各駐點的函數值。判斷函數的單調區間并求出極值。

（5）確定函數的凹向區間和拐點。

（6）求出曲線的漸近線。

（8）根據關系圖和函數的相關性質，描繪函數大致圖象。

四、實例解析

解：（1）定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）。

（2）函數不具有奇偶性，因此曲線無對稱性。

（4）令y′=0得x=-2

y″（-2）>0所以x=-2為極小值點，f（-2）=3為極小值。

（5）令y″=0，得x=-3，在x=-3的左側有y″<0，在x=-3的右側有y″>0，而f（-3）=-2，所以，（-3，-2）是拐點。

（6）漸近線x=0。

（7）將上面的結果列表如下：

（8）描繪圖象如下：

根據作圖的步驟可以作出函數的大致圖象，如果已知函數的圖象，不但可以從函數得到精確的性質，也可以從函數的圖象得出函數的大致性質。

例2：已知函數y=3x2-x3的圖象如下，描述該函數性態。

解：（1）定義域為（-∞，+∞）。

（2）函數不具有奇偶性，曲線無對稱性。

（3）f（x）=0曲線與x軸有兩個交點，一個是x=0，一個是x=3。

（4）函數有兩個駐點x=0，x=2

x=0為極小值點，f（0）=0為極小值。

x=3為極大值點，f（2）=4為極大值。

（5）（1，2）是拐點。

（6）無漸近線。

五、總結

函數的形態對作圖起到很大的指導作用，而函數的圖形也能一目了然地反映該函數的各種形態。學好函數的相關知識，靈活解題，方法至關重要，準確畫出函數的圖形可以使我們進一步提高解題興趣，激活思維，開拓思路，提高綜合運用多種方法解題的能力，從而提高分析、判斷、猜想、推理、決策的能力，真正提高數學素質、創新精神和創新能力。平時應注重培養這種思想意識，爭取見數想形，使抽象思維與形象思維結合起來，發揮數與形兩種信息的轉換及其優勢互補與整合。

參考文獻：

[1]邱曙熙.高等數學基礎篇.廈門大學出版社，2008-07.

[2]潘凱.高等數學.中國科技大學，2004（09）.

編輯 李建軍