大學數學共軛的教學探討

周脈東

摘要 文章論證了共軛的對稱性，利用射影幾何里的對合的概念對共軛的概念進行幾何圖形的直觀解釋，證明了共軛關系是對合關系，對合關系是對稱關系及共軛的應用。

關鍵詞 射影變換 共軛方向 對合 對稱

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2015.08.061

Teaching Discussion on College Mathematics Conjugate

ZHOU Maidong

（Mathematics Department， Shaanxi Xueqian Normal University， Xi'an， Shaanxi 710061）

Abstract Demonstrated conjugate symmetry， the use of projective geometry in an intuitive interpretation of the concept of conjugate bound to the concept of geometry were proved conjugate relationship is close relations， close relations are symmetrical relationship and conjugate application.

Key words projective transformation; conjugate direction; involution; symmetry

引言

共軛直徑是解析幾何中比較抽象的概念之一，學生很難理解直徑的共軛關系，在教學中，進行直觀解釋也僅限于將表達式的對應變量對調，表達式不變，這只是一種代數直觀解釋，現從射影幾何角度來進一步進行幾何圖形的直觀解釋。

1 預備知識

1.1 一維基本形的射影變換

平面上一維基本形分兩種，即點列和線束。兩個同類的一維基本形是重疊的是指點列是共底的或線束是共中心的。

重疊并且為射影變換的兩個一維基本形，有兩個自對應元素，或一個自對應元素或沒有自對應元素。

若一維基本形的射影變換有兩個自對應元素的則稱為雙曲型射影對變換，有一個自對應元素的則稱為拋物型射影對變換，沒有自對應元素的則稱為橢圓型射影對變換。

1.2 對合

在兩個一維基本形是重疊且為射影變換里有一種特殊情況，如果對于重疊圖形的任何一個元素，無論把它看作是屬于第一基本形或第二基本形，它的對應元素總是一樣的。即

有兩個自對應元素的對合稱為雙曲型對合，沒有實自對應元素的對合稱為橢圓型對合。

命題1^[2]：雙曲型對合中的任何一對對應元素與其兩個二個自對應元素成調合共軛。

1.3 共軛方向、共軛直徑

稱為互為共軛方向，即

定義3[3]：中心曲線的一對具有相互共軛方向的直徑叫做共軛直徑。

則（1）式化成

這就是一對共軛直徑的斜率滿足的關系式。

1.4 分隔

在取中心線束中的任意三條直線，則每條直線都不能隔開其余兩條，故在射影平面上中間這個概念就失去了本來的意義，所以我們取中心線束中的任意四條直線來定義分隔，它有兩種情況：第一情況是直線偶分隔了直線偶;第二情況是線偶沒有分隔直線偶。

分隔具有射影不變性。若線束是分隔的，用不通過中心的任意直線去截中心線束，則得到的點列也是分隔的，顯然，線束的交比和點列的交比相等且為負值。

1.5 點列交比、線束交比

共線的四點A、B、C、D，它們的交比值等于兩個單比的比值，即（AB，CD） = 上（ABC）下（ABD）。

對偶地線束中任意四條直線的交比值等于兩個三直線的單比的比值，即（ab，cb） =上（abc）下（abd）?。

命題2[2]：如果線束的四條直線被任何一條直線截于點四點A、B、C、D，則（ab，cd） = （AB，CD）。

1.6 兩條平行直線相交于無窮遠點

2 結論

共軛關系是對合關系，對合關系是對稱關系。

2.1 代數解釋

命題3[2]：兩個重疊一維基本形成為對合的充要條件是對應點參數與滿足以下方程：

一對共軛直徑的斜率滿足的關系式。

即直徑的共軛關系是對稱關系。

2.2幾何解釋

2.2.1 雙曲型對合的對稱圖形

①重疊一維點列對合的幾何圖形是對稱圖形

在直線上取定點P，對于直線上任意一點M_i，設M_i的關于P的對稱點M_i為M_i的對應點，則點列（M_i）與點列（M_i）是對合（點P與無窮遠點為兩個自對應點）。

②重疊一維線束對合的幾何圖形是對稱圖形

顯然有兩個自共軛方向。

命題6：證明：重疊一維線束的對合的幾何圖形是對稱圖形。

2.2.2 橢圓型對合的對稱圖形

橢圓型對合有兩條共軛虛的自對應直線。在無窮遠直線上取圓點和，另取固定點，連結、，則、為自對應直線，則過定點A的相交的對應直線為對合變換。

3 應用

3.1 調和共軛

點列上四個點或線束中四直線，若它們的交比值等于-1，即（AB，CD） = -1，或（ab，cd） =-1 ，則稱為調和共軛。

例1 ?設任意四邊形，其兩組對邊延長后分別相交，且交點的連線與四邊形的一條對角線平行，求證：另一條對角線的延長線平分對邊交點的連線（1978年全國競賽題）。

證：根據題意作圖2。

3.2 對合

命題7：雙曲型射影變換的兩條自對應直線和任意一對對應直線的交比是一個常數。

對偶地，上述命題對于點列也同樣成立。

例2.試求坐標為2和3的兩個自對應點所確定的對合的方程。

教改項目：數學專業幾何課程體系建設與教學內容優化（院級）（09JG024Y）

參考文獻

[1] 羅崇善等.高等幾何[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2] 梅向明.高等幾何[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3] 呂林根等.解析幾何[M].北京：高等教育出版社，2006.