冪指函數導數的計算方法探討

李宏杰

摘 要：冪指函數具有特殊的結構，既不是冪函數也不是指數函數，但與冪函數與指數函數有一定的關系。對于冪指函數的求導問題，初學者往往會套用冪函數或指數函數的求導公式，從而發生錯誤。我們知道，對函數大部分性態的研究，離不開其導數。因此，很有必要對冪指函數導數的計算方法進行探討。該文對冪指函數的結構進行剖析，給出了四種求冪指函數導數的方法：指數求導法、對數求導法、“疊加”求導法和偏導數求導法，并揭示了冪指函數與冪函數及指數函數導數間的關系。最后，通過實例驗證了我們給出求導方法的有效性。

關鍵詞：冪指函數 導數 對數函數 偏導數

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）05（b）-0020-02

1 冪指函數相關的定義

定義1形如的函數稱為指數函數。它是一類重要的基本初等函數，在定義域內單調且無上界。

定義2形如（為常數）的函數稱為冪函數。冪函數也是一類非常重要的基本初等函數。

定義3形如的函數稱為冪指函數。

從形式上看，冪指函數既像冪函數，又像指數函數，二者特點兼而有之。當為常數，為變量時，冪指函數就退化為具有指數函數的形式；當為變量，為常數時，冪指函數就退化為具有冪函數的形式。從下文可以看出，這三個函數的導數之間有一定關系。

2 冪指函數的求導方法

2.1 指數求導法

利用對數恒等式先將冪指函數化為指數函數形式，然后利用復合函數求導法

求導，具體過程如下：

2.2 對數求導法

將兩邊取自然對數，我們有，然后使用隱函數求導法則，兩邊同時對求導，可得

從而有

2.3 “疊加”求導法

將冪指函數的求導問題轉化為指數函數與冪函數的求導問題。首先，將冪指函數看作指數函數，利用指數函數求導公式進行求導，可得其導數為；其次，再把冪指函數看作冪函數，利用冪函數求導公式進行求導，可得；最后，把上面得到的兩個結果相加即可得到冪指函數的導數

。

上面的結果，可以利用導數的定義證明，其證明過程如下：

證明：由導數的定義，有

其中

從上面的式子可以看出，即為把冪指函數看做冪函數時求解的導數，下面證明為把冪指函數看作指數函數時求解的導數，令，則有

由于，因此

所以

命題得證。

2.4 偏導數求導法

將冪指函數看作由，，復合而成，利用二元函數求全導數的方法，可得

利用上面的四種方法，均可以求出冪指函數的導數，而且也可以利用冪指函數的求導方法或結果，求出指數函數或冪函數的導數，即指數函數和冪函數的導數，是冪指函數導數的特例。

3 應用舉例

求冪指函數的導數。

3.1 指數求導法

解：

3.2 對數求導法

解：將等式兩邊同時取自然對數

利用隱函數求導法則，兩邊同時對求導

整理得

3.3 “疊加”求導法

解：把看做冪函數求導，其導數為；將看作指數函數求導，其導數為，因此冪指函數的導數為

3.4 偏導數求導法

解：將冪指函數看作由，，復合而成，利用二元函數求全導數的方法，可得

4 結語

冪指函數是高等數學中一類非常重要的函數，對其性態的研究離不開它的導數，本文對冪指函數的求導方法進行了歸納和總結，有利于學生多方位、多途徑去分析和思考問題。

參考文獻

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