注重一題多解，培養學生思維

徐小葒

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）10-0153-01

空間幾何的證明和計算是中學數學的重要組成部分，如果思路沒打開，可能很簡單的題也解決不了。現以下題為例來剖析空間幾何的思路。

如圖1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于點D，點E在AC邊上，連結BE.

（1）若AF是△ABE的中線，且AF=5，AE=6，連結DF，求DF的長；

（2）若AF是△ABE的高，延長AF交BC于點G.如圖2，若點E是AC邊的中點，連結EG，求證：AG+EG=BE.

一、邊讀題邊得出所有結論，得到的結論信息越多，思路越開闊，同時思考計算結果或證明結果的得出需要哪些條件，再一一尋找，找到切合點，便輕松解決問題。例如上題中的第（1）題：

二、注重一題多解，拓展學生思路。如證明兩條線段的和等于第三條線段，常用方法：截長法或補短法，以第（2）小題為例

方法1：（截長法）記AD、BE相交于O，如圖2（a）

∵AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC

∴∠BAD=∠CAD=∠C=45°

∠2=90°-∠3

∵AF為△ABE的高

∴∠1=90°-∠3

∴∠1=∠2

在△ABO和△CAG中∠2=∠1AB=AC∠BAD=∠C

∴△ABO≌△CAG.（ASA）

∴BO=AG，AO=CG.

∵點E為AC的中點

∴AE=CE

在△AOE和△CGE中AE=CE∠CAD=∠CAO=CG

∴△CEG≌△AEO.（SAS）

∴EG=OE.

∴AG+EG=BO+OE=BE

方法2：（截長法）記AD、BE相交于O，連結DE，如圖2（b）

先證△BDO≌△ADG.（ASA）

∴BO=AG，DO=DG.

再證△ODE≌△GDE.（SAS）

∴EG=OE.

∴AG+EG=BO+OE=BE

方法3：（補短法，抓易證條件∠ABE=∠CAG及已知條件AB=AC，利用“SAS”構造全等三角形）

延長AG到點M，使AM=BE，連結CM，如圖2（c）

先證△ABE≌△CAM.（SAS）

∴AE=CM=CE，∠ACM=∠BAE=90°.

再證△CEG≌△CMG.（SAS）

∴EG=MG.

∴AG+EG=AG+MG=AM=BE

方法4：（補短法，抓易證條件∠ABE=∠CAG及已知條件AB=AC， 利用“ASA”構造全等三角形）

過點C作AC的垂線，交AG的延長線于點M，如圖2（c）

先證△ABE≌△CAM.（ASA）

∴BE=AM，AE=CM=CE.

再證△CEG≌△CMG.（SAS）

∴EG=MG.

∴AG+EG=AG+MG=AM=BE

方法5：（補短法，抓易證條件∠GAD=∠EBD及AD=BD，利用“SAS”構造全等三角形）

延長AG到點M，使AM=BE，連結DM ，如圖2（d）

先證△DBE≌△DAM.（SAS）

∴DE=DM，∠BDE=∠ADM.

再證△DEG≌△DMG.（SAS）

∴EG=MG.

∴AG+EG=AG+MG=AM=BE

方法6： （補短法，抓易證條件∠GAD=∠EBD及AD=BD，利用“ASA”構造全等三角形）

過點D作DE的垂線，交AG的延長線于點M ，如圖2（d）

先證△DBE≌△DAM.（ASA）

∴DE=DM，BE=AM.

再證△DEG≌△DMG.（SAS）

∴EG=MG.

∴AG+EG=AG+MG=AM=BE

一題多解有利于啟迪思維，開闊視野，提高思維的敏捷性、靈活性和深刻性；有利于學生靈活運用所學知識，提高解題能力和技巧；有利于培養學生的探索精神和思維的創造性。