兩類量子力學壓縮相干態密度算符的討論

王震等

【摘要】鑒于量子力學教科書和相關文獻對兩類壓縮相干態的論述比較模糊，本文利用外爾編序下相似變換不變性以及外爾——魏格納量子化方案，推導出了第一類壓縮相干態正規乘積形式的密度算符的解析表達式 。同時，利用壓縮算符的正規乘積形式，推導出了第二類壓縮相干態密度算符的解析表達式。通過對比第一類和第二類密度算符，發現兩類壓縮相干態密度算符形式上很相似，但是存在一定的差異，并不是一般的教材和文獻里論述的二者是完全等同的。

【關鍵詞】密度算符 壓縮相干態 正規乘積

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）10-0161-02

一、引言

量子力學是在19世紀末20世紀初建立和發展起來的一門科學，它的建立是20世紀劃時代的成就之一。量子力學與我們的生活密切相關，可以毫不夸張的說，沒有量子力學，就沒有人類的現代物質文明。量子力學規律已成功地運用于包括材料、化學、生命、信息和制藥等領域，對于物理專業的本科生來說，量子力學是物理學專業最重要的基礎課程之一，它是學習固體物理、材料科學、材料物理與化學、激光原理、激光物理與技術等專業課程的重要基礎[1，2]。通過量子力學的學習，使得學生能夠熟練地掌握量子力學的基本理論，具備利用量子力學基本理論分析和解決問題的能力。在物理學課程當中，量子力學的教學既是重點又是難點。

相干態[3，4]作為量子力學中的一個核心概念，不僅是量子物理學中的一個有效方法，而且是激光理論的重要支柱，對了解量子力學理論具有重要的意義，在教學和科研中都具有基礎性的作用。相干態的概念最初是薛定諤在1926年提出的[3]，對于諧振子位勢，他找到了這樣的態。直到1963年格勞伯等人系統地建立起光子相干態，并研究它的相干性與非經典性，同時又證明相干態是諧振子湮滅算符的本征態[4]。現在相干態已被廣泛地應用于物理學的各個領域。實際上，相干態是最小測不準態，而且兩個正交位相振幅算符有著相同的起伏，在相空間中，相干態的起伏呈圓形，相干態在相空間平移或者轉動時此圓保持不變。對于壓縮態而言，它是泛指一個正交相位振幅算符的起伏比相干態相應分量的起伏小的量子態，其代價是另一個正交相位振幅算符的起伏增大，但兩者的乘積等同于相干態的相應量。壓縮態是一類非經典光場，呈現出非經典性質，例如反聚束效應、亞泊松分布等. 壓縮態由于其在光通訊、高精度干涉測量以及微弱信號檢測方面具有廣泛的應用前景使得對它的研究成為量子力學領域的研究熱點。

理論上，產生壓縮相干態的方式主要有對真空態先平移后壓縮（第一類壓縮相干態）和先壓縮后平移（第二類壓縮相干態）兩種方式，鑒于很多教材上認為這兩種方式產生的壓縮相干態完全等同，考慮到壓縮算符與平移算符的不對易，而且各量子力學教科書上每提及這兩種壓縮態的區別時闡述都比較模糊，不能向廣大讀者提供一個清晰的結論，又考慮到密度算符包含了某一個量子態的全部信息，所以有必要推導出這兩種壓縮相干態的密度算符并做分析比較，以闡明二者的異同。

二、第一類壓縮相干態

對比式（10）和（14）可知，由于產生壓縮相干態的方式不同，壓縮算符和平移算符之間不對易，得出的兩類壓縮相干態密度算符也有差異，并不是之前一些教科書里闡述的二者是完全等同的。

四、結論

本文利用外爾編序下相似變換不變性、外爾-魏格納量子化方案以及正規乘積形式的壓縮算符，推導出了第一類和第二類壓縮相干態密度算符的正規乘積形式解析式。通過對比二者密度算符可以發現，第一類壓縮相干態和第二類壓縮相干態密度算符形式上很相似，但是存在一定的差異，并不是一般的教材和文獻里論述的二者完全等同。所以在量子力學教學過程中有必要澄清這一既定的事實，不能似是而非，模棱兩可。