如何提高學生學習空間解析幾何的興趣

侯健　苑飛

【摘要】空間解析幾何是數學專業三大基礎課之一，在大學數學學習中起著重要的作用。為了提高學生的學習興趣，本文從講好緒論課，將數學史與數學文化知識貫穿于幾何教學，啟發學生多角度思考，以及有效運用幾何畫板輔助教學等四個方面，舉例說明了筆者在教學中的嘗試。

【關鍵詞】興趣 空間解析幾何 教學實踐

【Abstract】For mathematics major students， space analytic geometry plays an important role. In order to improve students interest in learning， we illustrate the practice in teaching from four aspects，such as，by interesting introduction， the mathematical history and culture knowledge throughout the geometry teaching， inspire students thinking， and effectively using the Geometers Sketchpad assisted teaching.

【Key words】interest； space analytic geometry； teaching practice

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）10-0157-02

空間解析幾何是國內數學專業三大基礎課之一，它既是中學數學相應課程的推廣和延伸；又是數學專業后續課程的必要基礎；同時也是其它自然科學、工程技術等所需的重要數學工具之一。同時，這門課程對于培養學生的邏輯思維能力，空間想象能力，提高數學素養有著重要作用。因此它在大學數學學習中占有極為重要的地位。筆者在空間解析幾何課程的教學過程中，感到學生對學習這門課程的重視不夠、學習興趣不高。為了提高學生學習空間解析幾何的興趣，筆者在多年的教學過程中，以[1]為教材，在有關數學史與數學文化知識方面查閱文獻[2，3]，做了如下一些嘗試。

一、講好緒論課，提高學生的學習興趣

1.介紹解析幾何的形成與發展的歷史淵源。

解析幾何產生的外部條件是社會生產發展和科技進步的客觀要求。比如，隨著機械的廣泛應用，建筑的興盛，航海事業的發展，火器的發展和使用，以及天文學發展，運動和變化的研究問題促使解析幾何的產生。數學自身的發展所具備的條件是解析幾何產生的內在條件，包括初等數學的日臻成熟和當時數學觀和數學方法論的重大變化。

2.解析幾何大學數學學習中的作用。

一方面，空間解析幾何是平面解析幾何的深入和發展。空間解析幾何不是高中教材的重復。在內容上，它研究空間的幾何對象，即空間中的曲線和曲面的定義、性質和應用。在思想方法上，它用近代數學的思想方法——向量法、參數思想、變換思想、不變量思想等等。通過這門課程的學習，將開始接受近代數學的理論、方法和思想，能逐步地站在較高的水平上，居高臨下地重新看待過去所學過的中學數學。另一方面，空間解析幾何是學習后續課程高等代數和數學分析的基礎。讓學生明白這門課程在大學數學學習中起著承上啟下的作用，進而提高他們的學習興趣。

3.解析幾何有著廣泛的應用，而且是一門美學。

用巴塞羅那圣家族大教堂、鳥巢、悉尼歌劇院、廣州塔等建筑展示幾何元素的簡潔美、對稱美、和諧美、奇異美。

二、貫穿數學史與數學文化知識，提高學生的學習興趣

法國著名數學家亨利·龐加萊曾說：“如果我們想要預知數學的未來，最適合的途徑是研究這門科學的歷史和現狀”。注重在教學過程貫穿數學史與數學文化知識，提高學生的學習興趣。更重要的是通過數學史與數學文化知識介紹，闡明數學思想、方法的形成。下面用兩個例子說明在教學過程中的嘗試。

在緒論課后，啟發學生通過查閱資料，闡述笛卡爾和費馬的解析幾何思想有何異同。通過學生自己的探索，一方面讓學生了解兩位數學家的生平。另一方面是讓學生了解兩位數學家的工作，費馬繼承了希臘人的思想，并沿用了韋達以字母代表數類的思想。笛卡兒則從改革希臘傳統出發，發展了更一般方法，使之適應于更廣泛的曲線。費馬從方程出發研究其軌跡，笛卡爾從軌跡出發建立其方程。前者從代數到幾何，后者從幾何到代數。更重要的是通過數學史與數學文化的學習，讓學生逐步建立起解析幾何就是用代數的方法去解決幾何問題，同時又為代數提供幾何背景的思想。

在建立空間直線的點向式方程時，教材中承認了幾何事實，過一點與非零向量平行的直線有且僅有一條。為了提高學生的學習興趣，給學生穿插了講述了歐氏幾何的平行公設，由平行公設演變發展導致了非歐幾何的誕生，以及幾何學得到了空前的發展，進而推動了科學的巨大發展。在傳授知識的過程，讓學生積極思考數學的本原性問題，認識到自然界的奧妙是不可窮盡的，人的認識也應該無止境的發展。逐步培養學生探索未知世界的好奇心，追求真理的耐心，嚴密的邏輯思維能力，洞察事物本質的能力。

三、啟發學生多角度思考，提高學生的學習興趣

在教學過程中設計一些一題多解的探究題目，引導學生積極思考，提高學生的學習興趣。比如 “證明三角形三條中線交于一點”這個題目，學生通過積極思考以及查閱文獻資料，給出了十余種證明方法，不僅有常用的面積法、向量法、坐標法，向量的線性表示法，也有在高等幾何課程中才要講授的方法，如用德薩格逆定理、對偶原理，建立射影坐標系等方法去證明。通過一題多解，不僅提高學生的學習興趣，對培養學生思維的靈活性有著重要的作用。

四、有效運用幾何畫板輔助教學，提高學生的學習興趣

在空間解析幾何的教學中，涉及到大量的圖形，如空間曲線、二次曲面，以及二次曲面與平面的交線等。空間圖形既難畫又費時，僅利用板書準確性比較差，學生看起來不夠清晰。針對這部分內容，筆者在多年的教學中積極探討如何將兩者有機結合，有效運用幾何畫板輔助教學，提高學生的學習興趣。對提高教學效率和培養學生的空間想象能力可起到事半功倍的效果。

1. 利用幾何畫板展示不動點軌跡

通過學習[4]，自制了旋輪線、四點星形線、箕舌線、心臟線等軌跡。

2. 利用幾何畫板展示二次柱面與旋轉曲面形成過程

利用幾何畫板展示二次柱面與旋轉曲面，其實是一個以線運動成生面的過程。動畫效果如下圖。

五、結語

空間解析幾何是數學專業三大基礎課之一，在大學數學學習中起著重要的作用。為了提高學生的學習興趣，筆者從講好緒論課，將數學史與數學文化知識貫穿幾何教學，啟發學生多角度思考，以及有效運用幾何畫板輔助教學等四個方面，舉例說明了筆者的教學實踐經驗。這些實踐經驗對于提高學生的學習興趣起到了一定的效果。但由于數學學科本身的特點，教師的教學能力，學生的學習動機等影響，這將是一個值得長期關注的問題。

參考文獻：

[1]呂林根，許子道. 解析幾何（ 第四版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]李文林. 數學史概論[M]. 北京： 高等教育出版社， 2002.

[3]梁宗臣， 王青建， 孫宏安. 世界數學通史[M] . 遼寧教育出版社，2000.

[4]劉勝利.幾何畫板課件制作教程（第二版）[M].北京：科學出版社，2004.

作者簡介：

侯健（1971.12-），教授，課程教學（數學），北京師范大學珠海分校應用數學學院。