走進笛卡幾的解析幾何世界

陸芹華

近代數(shù)學(xué)本質(zhì)上可以說是變量數(shù)學(xué)，從初等數(shù)學(xué)發(fā)展到近代數(shù)學(xué)，解析幾何的發(fā)明是變量數(shù)學(xué)的第一個里程碑，正如恩格斯所說：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點是笛卡兒的變數(shù)。”

講到解析幾何，就要從其創(chuàng)始人笛卡兒談起。

笛卡兒1596年生于法國土倫省萊耳市的一個貴族之家，父親是地方議會的議員，笛卡兒無憂無慮地度過了童年，他幼年體弱多病，母親病故后就一直由一位保姆照看，他對周圍的事物充滿了好奇，被父親稱為“小哲學(xué)家”，在笛卡兒八歲時，父親便將他送人拉弗萊什的教會學(xué)校學(xué)習(xí)，接受古典教育，校方為照顧他孱弱的身體，特許他可以不受校規(guī)的約束，早晨不必到學(xué)校上課，可以在床上讀書，因此他從小養(yǎng)成了喜歡安靜，善于思考的習(xí)慣。

1616年笛卡兒結(jié)束學(xué)業(yè)后，便背離家庭的職業(yè)傳統(tǒng)，開始探索人生之路，他棄筆從戎，想借機游歷歐洲，開闊眼界，這和東方教育中的“讀萬卷書，行萬里路”在本質(zhì)上是相通的。在此期間有幾次經(jīng)歷對他產(chǎn)生了重大的影響，一次，笛卡兒在街上散步，偶然間看到了一張數(shù)學(xué)題懸賞的啟事，兩天后，笛卡兒竟然把那個問題解答出來了，引起了著名學(xué)者皮克曼的注意，皮克曼向笛卡兒介紹了數(shù)學(xué)的最新發(fā)展，給了他許多有待研究的問題。

回國后，由于經(jīng)常不分白天黑夜地研究數(shù)學(xué)，笛卡兒病到了，人躺在床上，那些可愛而又折磨著他的數(shù)學(xué)問題又來了：“直觀、形象是幾何圖形的特征，而代數(shù)方程雖十分抽象，但便于運算，要是能將兩者結(jié)合起來，用幾何圖形表示方程，或者用代數(shù)的方法解決幾何學(xué)問題，那該多好啊！”他已找到了解決問題的關(guān)鍵，即只要把組成幾何圖形的“點”與滿足方程的每一組“數(shù)”掛上鉤，其他問題就都迎刃而解了，傳說某一天，他看見蜘蛛正忙著在墻角落上結(jié)網(wǎng)，這精彩的“雜技”牢牢地把笛卡兒吸引住了，這一有趣的現(xiàn)象，使笛卡兒受到啟發(fā)。

他在紙上畫出三條相互垂直的直線，分別表示兩墻的交線和墻與天花板的交線，并在空間點出一個P點代表蜘蛛，P到兩墻的距離分別用x和y表示，到天花板的距離則用z表示，這樣，只要x，y，z有了準(zhǔn)確的數(shù)值，P點的位置就完全可以確定了，就這樣，笛卡兒把以往對立的兩個研究對象“數(shù)”與“形”統(tǒng)一起來了，并在數(shù)學(xué)中引入了變量的思想，從而完成了數(shù)學(xué)史上一項劃時代的變革，用代數(shù)方法代替?zhèn)鹘y(tǒng)的幾何方法，解析幾何的許多思想都是笛卡兒首創(chuàng)的。

據(jù)說，笛卡兒曾在一個晚上做了三個奇特的夢，第一個夢是笛卡兒被風(fēng)暴吹到一個風(fēng)力吹不到的地方；第二個夢是他得到了打開自然寶庫的鑰匙；第三個夢是他開辟了通向真正知識的道路，這三個奇特的夢增強了他創(chuàng)立新學(xué)說的信心，這一天是笛卡兒思想上的一個轉(zhuǎn)折點，有些學(xué)者也把這一天定為解析幾何的誕生日。

縱觀數(shù)學(xué)發(fā)展史，許多數(shù)學(xué)名家并非一開始就是從事數(shù)學(xué)研究的，很多人由偶然的機會而對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了興趣，才走上專業(yè)化發(fā)展道路的，解析幾何的創(chuàng)始人笛卡兒就是很好的范例。

或許我們的同學(xué)在學(xué)習(xí)了解析幾何后，也會對數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣，喜歡上數(shù)學(xué)，我們期待著。

解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì)，它溝通了代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想，基本思想是：首先需要把圖形問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)形式；然后，用代數(shù)方法算出結(jié)果；最后，把算出來的結(jié)果再轉(zhuǎn)化成幾何形式，這兩次轉(zhuǎn)化的橋梁就是笛卡兒提出的兩個基本觀點：用坐標(biāo)表示點；用方程表示曲線，解析幾何主要有兩大任務(wù)：（1）根據(jù)曲線的幾何條件，把它的代數(shù)形式表示出來；（2）通過曲線的方程來討論它的幾何性質(zhì)。

為了更進一步說明笛卡兒的解析幾何思想，我們將其方法運用于如圖2所示的圓。

假設(shè)該圓的半徑為5，設(shè)P是曲線上的任意一點，x和y是其坐標(biāo)，再根據(jù)歐式幾何中的畢達哥拉斯定理：一個直角三角形中，兩直角邊的平方和等于其斜邊的平方，這就告訴我們有x²+y²=25（*），這個關(guān)系適用于圓上的每一個點；也就是，每一個點的x和y都滿足x²+y²=25，例如，坐標(biāo)為（3，4）的點，因為3²+4²一25，所以該點位于圓上，但是（3，2）就不是圓上的點的坐標(biāo)，因為3。+2²不等于25，如果將一個點的橫坐標(biāo)值x和縱坐標(biāo)值y代人（*）式，使其左邊等于右邊，則我們就說該點的坐標(biāo)滿足方程（*），圓上的點的坐標(biāo)滿足這個方程；不在圓上的點的坐標(biāo)不滿足這個方程.

解析幾何把代數(shù)和幾何結(jié)合起來，把數(shù)學(xué)造成一個雙面的工具，偉大的數(shù)學(xué)家拉格朗日說：“只要代數(shù)和幾何分道揚鑣，它們的進展就緩慢，它們的應(yīng)用就狹窄，但當(dāng)這兩門科學(xué)結(jié)成伴侶時，它們就互相吸取新鮮的活力，就以快速走向完善.”17世紀(jì)以來數(shù)學(xué)的巨大發(fā)展，在很大程度上應(yīng)歸功于笛卡兒和他的解析幾何，可以說，如果沒有解析幾何的預(yù)先發(fā)展，現(xiàn)代數(shù)學(xué)中極為重要的微分學(xué)和積分學(xué)也是不可能出現(xiàn)的.