空間長系繩系統動力學與釋放方法研究

茍興旺，李愛軍，羅拉全，王長青

（西北工業大學自動化學院，陜西西安 710072）

空間長系繩系統動力學與釋放方法研究

茍興旺，李愛軍，羅拉全，王長青

（西北工業大學自動化學院，陜西西安 710072）

針對繩系載荷遠距離釋放問題，研究了長系繩系統釋放過程的動力學特性。考慮系繩質量及面外角，建立了長繩系衛星系統動力學模型。針對空間長系繩系統展開任務要求，提出了分段多次展開的思想，將系繩的展開過程多段化，多次應用標稱控制律，利用差分進化算法優化得到每段展開結束時的系繩長度。仿真結果表明，應用多次展開標稱控制律不僅可以精確完成系繩的展開，而且有效抑制了長系繩展開過程中速度過大的問題，可以滿足長系繩展開的速度要求。這為今后遠距離系繩展開與控制提供理論參考。

空間長系繩系統；展開；動力學模型；標稱控制律

空間系繩系統（TSS）［1］是指利用柔性系繩將2個或多個航天器連在一起飛行的組合體。可用于航天器軌道轉移、高空大氣探測、繩系交會對接、空間捕獲、微重力產生等諸多場合［1-2］，已成為具有廣泛應用前景的新興空間技術。空間系繩系統的非線性動力學特性，會給系統的在軌運行帶來強烈振動，特別是對柔性長系繩，由于系統包含有負阻尼的作用，動力學行為呈現不穩定的現象［3］。近年來很多學者都在探討如何解決系繩的展開控制問題。Rupp C.C.最早提出了系繩張力控制方法［4］；于紹華討論了繩系衛星系統二維平面運動，并提出了距離速率控制算法，基于非線性動態理論分析，實現方便且控制效果明顯，但文章只對平面動力學進行了研究［5］；Pradeep利用KTC理論及其推廣得到了線性張力控制律，但由于該控制律只能針對簡化的線性系統，故實際控制意義不大［6］；金棟平等基于基數展開將空間系繩系統的控制轉化為二次規劃的最優問題，但該方法中控制項的物理意義不明顯［7-8］；別列茲基提出了向垂直位置展開的單擺振蕩阻尼控制律［9］，該控制律效果明顯，實際物理意義明確；但他忽略了系繩的質量，對于長系繩的展開具有很大的局限性。針對長系繩系統，本文在別列茲基的基礎上改進了適合于長系繩展開的標稱控制律。運用分段多次展開的思想，將系繩的展開過程分為多段，多次應用標稱控制律，并利用差分進化算法對每段展開結束時的長度進行了優化，避免了展開速度過快對系統造成的不利影響。數值仿真時考慮了系繩質量、初始面外角偏差等因素，仿真結果驗證了該方法的有效性。

1　系繩系統動力學模型

空間系繩系統由2顆衛星組成，建立軌道運動坐標系如圖1所示。

圖1　空間系繩系統示意圖（軌道運動坐標系）

其中，Cx0y0z0為軌道運動坐標系，坐標原點C位于母星質心處，Cx0軸沿母星向徑方向，Cz0軸沿軌道平面法向并與其動量矩矢量平行，Cy0軸符合右手坐標系；Cxtytzt為系繩坐標系，Cxt軸沿著衛星拉緊系繩的反方向，Cyt軸和Czt軸相對于Cx0y0z0系的夾角為θ和β。

系繩問題非常復雜，為簡化建模和分析過程，作如下假設：

1）除地球中心引力外，暫不考慮其他外部干擾力，如大氣阻力和系繩電動力等；

2）子星、母星都認為質點，且母星質量遠大于子星及系繩的質量，所以忽略系繩在展開過程中母星質量的變化；

3）考慮系繩既無彎曲剛度亦無扭轉剛度，且系繩質量均勻分布。

根據以上假設，在軌道運動坐標系中運用拉格朗日方程建立空間長系繩系統的數學模型。

拉格朗日方程

式中：Tc為系統動能；qi、q□i、Qi（i=1，2，3）是廣義坐標、廣義速度和廣義力；面內角θ、系繩長度l和面外角β作為廣義坐標。

對于長系繩系統，建模時系繩的質量不能忽略，將系繩劃分為N個質量點如圖2所示。

圖2　長系繩模型

這樣“系繩-載荷”系統的動能和勢能為：

式中，k=0，1，2…N，m0=m為載荷質量，mk為第k點系繩的質量。

則第k點的運動方程為：

式中，mk=ρL/N（k=1，…，N），ρ為系繩的系密度，即單位長度上的質量，Ω為母星的軌道角速度。

N+1個點的方程求和，并且當N→∞時有：

那么考慮系繩質量的空間系繩系統的運動方程為

2　長系繩展開控制律的設計

2.1一次展開標稱控制律的設計

針對項目YES2中系繩系統展開的第一階段，文獻［10］中給出了一種張力控制律的表達形式：

式中，L（tk）為設定的展開長度，tk為系統展開結束的時間，m為子星的質量，a、b為依據邊值條件及性能指標確定的待優化參數。

由于（6）式所示控制律設計時沒有考慮系繩質量，而對長系繩系統，系繩質量就不能忽略，設計張力控制律時就必須考慮系繩的質量。因此在（6）式中加入系繩質量的修正項，得到針對長系繩的標稱控制律為

在上述控制律形式的基礎上，為使子星最終展開到平衡位置，即：L（tK）=LK，V（tK）=0，θ（tK）=0，θ□（tK）=0，需要尋求最優a、b參數值，使如下性能指標最小

式中，q1、q2、q3、q4為加權系數；

在性能指標中，由于系繩長度的數量級遠大于其他指標，故取加權系數為q1=q2=q4=1，q3= 0.001，同時為防止系繩松弛，速度V的下限要稍大于零，故加入懲罰函數f，其值為：

利用下山單純形（Nelder-Mead）方法求解，可獲得參數a、b的優化值。從而可獲得針對長系繩的標稱展開控制律。

此外，考慮系繩上承受的張力的限制，取T的上下界分別為Tmax和Tmin，則可得：

2.2多次展開標稱控制律的設計

一次展開控制律，在適當的參數下，可以準確的將系繩展開到指定的終端條件。然而若系繩太長即L（tk）很大，展開開始時系繩張力T很小，會導致系繩的最大釋放速度過大。而制動階段，則需要較大的張力使速度迅速減小為零，不利于實際系繩系統的展開。

針對上述問題，本文提出將系繩分N（N＞1）階段展開思想，將控制律（7）重復運用N次，其中L（tk）=L1，L2…LN，LN為每次展開結束后系繩的長度。這樣系繩在每個階段都有加速和制動兩階段，可以有效將系繩釋放的最大速度有效的限制在一定的范圍內。

在上述控制律形式的基礎上，為使系統展開到終端狀態同時展開時間最短，需要對L1，L2…LN進行優化，可選取如下的性能指標函數

性能指標和懲罰函數q1，q2，q3，q4，f取值同（8）式，q5=1，在滿足約束T＞0和V＜Vmax的條件下，利用差分進化算法可獲得L1，L2…LN的參數值。

3　仿真分析

3.1仿真條件

假設TSS運行在1 000 km高度的軌道上，同時子星的釋放不影響母星的軌道高度。TSS的各項參數如表1所示。

表1　TSS參數

仿真的初始條件為

3.2仿真結果與分析

一次展開控制律的參數，通過優化可獲得：a= 4，b=3.7。

多次展開控制律，取分段數N=9，通過優化得每段展開結束時系繩的長度為：（L1，L2…L9）=（15，50，90，140，200，270，350，450，500）km。

圖中角度單位為度，長度單位為千米，時間單位為秒。將一次展開控制律和多次展開控制律帶入系統狀態方程（5）中，在MATLAB平臺用Runger Kutta法積分得仿真結果如圖3～10所示。

從圖3～10中不難發現：一次展開控制律和多次展開控制律均可以將子星展開到指定的平衡位置，初始的面外角擾動也都迅速為降為零（如圖7所示）。由圖10子星的運動軌跡可以看出：一次展開橫向最大偏移量為124.355 km，是多次展開最大偏移量的5倍。如圖6所示，展開結束時2種控制律下系繩速度都為零，然而，一次展開控制律的最大速度為：Vmax1=96.446 m/s遠超出了速度限制25 m/s，系繩很容易被拉斷。這主要是整個展開過程只有加速和制動2個階段，最終導致系繩的最大速度過大，多次展開控制律的最大速度為：Vmax2= 22.048 m/s，遠小于一次展開控制律的最大速度，并滿足速度限制。多次展開控制律中，每段展開過程都有加速和制動階段，有效的克服了一次展開的加速段太長導致速度過大的缺點。圖3表明，多次展開控制律的最大面內角是一次展開控制律的0.8，這主要是由其展開軌跡特性決定的。

需要說明的是，分段數N的取值理論上取得越大，每段展開長度相對越短，這樣運用多次展開控制律，其最大展開速度就越小，但是，這樣系繩的展開時間就會越長（篇幅所限，仿真結果沒有列出）。在實際工程中需考慮系繩特性時，多次展開控制律易于操作，優于一次展開控制律。

4　結 論

本文研究了空間系繩系統長系繩的展開問題，考慮系繩質量與面外運動。針對長系繩系統改進了標稱展開控制律，在此基礎上運用多段展開的思想，并提出了多次展開標稱控制律。仿真結果表明，多次展開標稱控制律不僅可以精確地完成系繩的展開，而且有效的抑制了長系繩展開過程中速度過大的問題，可以滿足長系繩展開的速度要求。對于空間系繩系統多階段展開任務，當系繩長度改變時，分為多少次展開，需根據實際工程要求來調節N的值。

［1］ 孔憲仁，徐大富.空間系繩研究綜述［J］.航天器環境工程，2010，27（6）：0775-0783

Kong Xianren，Xu Dafu.The Studies of Space Tether［J］.Spacecraft Environment Engineering，2010，27（6）：0775-0783（in Chinese）

［2］ Vladimir Aslanov，Alexander Ledkov.Dynamics of Tethered Satellite Systems［M］.Russia，Woodhead Publishing Ltd，2012

［3］ 崔本廷.空間繩系的控制與應用［D］.長沙：國防科學技術大學，2006

Cui Benting.The Control and Application of Thethered System［D］.Changsha，National University of Defense Technology，2006 （in Chinese）

［4］ Rupp C C.A Tether Tension Control Law for Tethered Satellite Deployed along Local Vertical［R］.Marshall Space Flight Center，NASA TM X-64963，1975

［5］ 于紹華.繩系衛星系統二維平面運動和常規動力學［J］.宇航學報，2000（4）：15-24

Yu Shaohua.Regular Dynamics of In-Planar Motion of Tethered Satellite System［J］.Journal of Astronautics，20004：15-24（in Chinese）

［6］ Pradeep S.A New Tension Control Law for Deployment of Tethered Satellites［J］.Mechanics Research Communications，1997，24（3）：247-254

［7］ Jin D P，Hu H Y.Optimal Control of a Tethered Subsatellite of Three Degrees of Freedom［J］.Nonlinear Dynamics，2006，46：161-178

［8］ 文浩，金棟平，胡海巖.基于微分包含的繩系衛星時間最優釋放控制［J］.力學學報，2008，40（1）：135-140

Wen Hao，Jin Dongping，Hu Haiyan.Time-Optimal Deployment of a Tethered Subsatellite Based on Differential Inclusion［J］. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics，2008，40（1）：135-140（in Chinese）

［9］ Beletsky V，Levin E M.Dynamics of Space Tether Systems［M］.Russia：Amer Astronautilcal Society，1993

［10］扎伯羅特諾夫·尤里著.空間系繩系統運動動力學與控制導論［M］.王長青，譯.科學出版社，2013

Zablotnov Yuriy.Introduction to Dynamics and Control in Space Tether System［M］.Wang Changqing Translator.Beijing，Science Press，2013（in Chinese）

Research on Dynamics and Deployment Method for Long Space Tether System

Gou Xingwang，Li Aijun，Luo Laquan，Wang Changqing
（Department of Automatic Control，Northwestern Polytechnical University，Xi′an 710072，China）

This paper studies the control strategy of the deployment for long space tether system.Dynamic characteristic of the long tethered satellite is researched and analyzed in the deployment process.The mathematical model is established through Lagrange Equation，considering the mass of the tether and the out-plane angle of the sub-satellite.Multi-deployment method is proposed according to the requirements of the deployment of the long space tether system.The deployment process is divided into several sections，and the length of tether in each section is optimized with differential evolution algorithm.The nominal control low is applied in every section.Numerical simulation results prove that the proposed control law could not only deploy the sub-satellite to the right location，but also reduce the maximum velocity of deployment of sub-satellite effectively.Multi-deployment method can satisfy the requirement of long tethered satellite deployment.It has theoretical value and can be used in the further research.

long space tether system；deployment；dynamic model；nominal control low

V448.2

A

1000-2758（2015）06-0966-05

2015-03-17

2011年度國家國際科技合作專項資助與陜西省科學技術研究發展計劃項目（2013KW09-02）資助

茍興旺（1979—），西北工業大學博士研究生，主要從事飛行器控制與仿真的研究。