關于矩陣特征值理論的教學新設計

鄧　勇

（喀什大學　數學與統計學院，新疆　喀什　844006）

關于矩陣特征值理論的教學新設計

鄧勇

（喀什大學數學與統計學院，新疆喀什844006）

基于現行高等代數教材中關于矩陣特征值理論的行列式分析法，以Sheldon Axler的教材Linear Algebra Done Right為藍本，介紹了矩陣特征值理論的非行列式觀點，修改或重寫了部分定理和證明.這種不使用行列式的簡單證明不僅直觀，而且開辟了一條通往高等代數主要目標——線性算子結構的新途徑.

矩陣；特征值；行列式；特征子空間；教學設計

1　引　言

近幾年，圍繞高等代數課程的教學改革，許多學者都提出要加強高等代數與幾何融合、推行問題型、體驗式教學模式和堅持并加強教學工作的再創造性等教改新觀點.其中，文獻[1～3]緊扣幾何為代數提供直觀背景，代數為幾何提供研究方法，論述了高等代數與解析幾何課程一體化教學過程中的若干教學實踐與認識，主張在關注代數思維的同時，突出幾何直觀教學來幫助學生理解和掌握抽象的代數概念和理論；文獻[4]結合作者的教學實踐，提出從內容與結構上對高等代數教材進行改革的設想；文獻[5～6]立足于提升學生在獨立的主動思考和實踐研究過程中培養科學思維、嚴謹作風及創新能力，倡導“問題探究——學生主體”和“教學雙中心”、“過程結果并重”的教學理念，并進行了一些大膽的有益嘗試，效果明顯.基于這些觀點，近30年來，國內陸續出版了許多比較經典的高等代數教材.如，北京大學丘維聲編著的《高等代數》；中國科技大學李炯生、查建國編著的《線性代數》；復旦大學姚慕生編著的《高等代數學》和清華大學張賢科編著的《高等代數》等.這些教材都比較全面地論述了矩陣理論和線性空間及其變換理論，而且表述形式非常現代化，反映出的核心觀點就是強調高等代數與幾何的融合，非常有見地[7].然而，在闡述矩陣的特征值理論時，它們卻毫無例外地都以行列式為工具.這些教材為何如此處理，難道矩陣的特征值理論非要借助行列式嗎？美國數學教授Sheldon Axler在1994年發表文章宣稱“Down with determinants！”具體明白地表達了“反行列式”的革命思想.他的理由是行列式難理解、不直觀，且是在缺乏動機的情況下被定義出來的.研究者對此頗有同感，因為矩陣特征值理論的形成并非緣于行列式，所以要使學生正確理解知識的形成過程，這種徹底拋開行列式的教學觀點應該被提倡.

2　新教學設計的線路

矩陣的特征值理論必須圍繞5個方面的基本問題展開：（Ⅰ）任意方陣A必有一特征值λ；（Ⅱ）方陣A的相異特征值個數小于等于n，即m≤n；（Ⅲ）確定特征值jλ的代數重數βj；（Ⅳ）任意特征值λj的幾何重數不大于其代數重數；（Ⅴ）定義特征多項式.

2.1特征分析的行列式法回顧

2.2特征分析的非行列式法設計

描述線性算子的結構是高等代數的中心任務之一.下面對矩陣特征值理論5個方面問題的基本闡述均不使用行列式，由此也開辟了一條理解線性算子結構的新途徑.

第一，回答問題（Ⅰ）.為此，需先證明定理1，然后將定理1中的不變子空間X替換為后，實際上就回答了問題（Ⅰ）.

令s是使cs≠0的最大下標，顯然0＜s≤r.以ci為系數構造一個r次多項式并分解因式，設為

上式說明，等號右邊的矩陣乘法算式中至少有一個μj和某個向量v≠0滿足(A-μJI)v=0.換句話說，A必定有一個特征向量v∈X對應于特征值μj.

第二，回答問題（Ⅱ）.同樣，問題（Ⅱ）的解決也是建立在如下定理2基礎之上的.

定理2對應相異特征值λ1,λ2,…,λm的特征向量x1，…， xm必定線性無關[9].

因為對應于相異特征值λ1,λ2,…,λm的特征向量xj∈□n, (j=1,…,m)線性無關，而線性無關的n維向量總數不大于n，所以相異特征值總數m不大于n.這就回答了問題（Ⅱ）.

第三，回答問題（Ⅲ）.問題（Ⅲ）看似簡單，其實不然.它不僅需要定義廣義特征向量，還需討論其性質特征.

定義1向量x≠0稱為對應于特征值λ的廣義特征向量，如果(A-λI)kx=0成立.其中k為滿足此式的最小正整數，稱為指標.特別地，當k=1時，廣義特征向量即為一般特征向量.

如同特征向量構成特征子空間一樣，廣義特征向量與零向量所形成的集合N(A-λI)k也是□n的一個子空間，稱為廣義特征子空間[9].之所以不考慮k＞n的情況，是因為：

定理3若λ為n階方陣A的一個特征值，則N(A -λI )k=N(A-λI )n.

證明設x≠0是對應于λ的（指標為k）廣義特征向量.運用處理問題（Ⅰ）的相同手法，可以證明當(A-λI)kx=0時，{x, (A-λI)x, …, (A-λI)k-1x}是一線性無關向量組.于是，必有k≤n.考慮線性組合式

等號兩邊同乘(A-λI)k-1，并利用已知條件可得推出等號兩邊同乘(A-λI)k-2可得又可推出.連續運用這種方式，最終可證得

定義2特征值λj的廣義特征向量組的維數稱為其代數重數βj，即

11

定理6子空間N(A-λI)n僅存在唯一的特征值λ.

證明設0≠x∈N( A-λI)n.若λ≠λ＇且Ax=λ＇x，則因此，但因此矛盾！故

既然廣義特征子空間僅存在唯一的特征值，由此可推知對應于相異特征值的廣義特征子空間互不相交.進而對應于相異特征值的廣義特征向量必線性無關.這個結果是定理2的自然推廣.

進而有

又因

第四，回答問題（Ⅳ）.由N(A -λI)?N(A -λI )n可推出對應于特征值λ的線性無關特征向量個數必少于線性無關的廣義特征向量個數.而對應λ的幾何重數就是線性無關的特征向量個數，代數重數則等于線性無關廣義特征向量的總數.因此，特征值λ的幾何重數必不大于其代數重數.

第五，回答問題（Ⅴ）.根據上面討論，一個n階方陣A的特征多項式可定義為p(t)=(t -λ)β1…(t -λ)βm.值得注意的是，這里特征多項式誕生的時間節點剛好與用行列式定義特征多項式相反.即先說明A有n個特征值（含重數），然后才根據這個事實定義了特征多項式.顯然，這才符合思維的邏輯順序規律.

3　結　語

以行列式為基礎的特征分析法以代數為導向，而非行列式的特征分析法卻以幾何（特征空間）為導向.上述研究提倡的非行列式的特征分析法不僅更清晰簡單，而且能提供給學生更多的見識.為何現行的多數教科書仍然采用行列式方法來發展矩陣特征值理論呢？初次接觸行列式的人多少對它詭異的計算方式感到困惑，想要掌握行列式的直觀意義確實不容易.但不論真懂假懂，絕大多數學生對行列式的計算及基本性質還是生硬地接受了，這是既成的事實.因此，多數學生認為用行列式定義特征多項式是最為直接簡明的論述方式，而且對Axler提倡的“反行列式”方法卻不甚了解.由于教材的編寫要充分考慮學生的知識背景與興趣，現行絕大多數教材還是選擇了利用行列式方法來發展矩陣的特征值理論.為有效彌補教學策略難以在課堂教學中完全實現的缺陷[10～13]，研究者結合個人的經驗與體會，提出教學的幾點建議與各位同行和讀者商榷：一是在課堂教學中，應注意結合幾何直觀來講授高度抽象的內容；二是在傳授知識的過程中，為培養學生分析、解決問題的能力，應注重思想與方法的提煉；三是在上習題課時，應多給學生介紹相關的最新教研成果，以啟發他們系統地多維度思考問題；四是應增加課后作業量，以克服學生能動口但不能動手的問題，因為數學只能做著學.

[1]郭民.高師院校代數與幾何課程改革的探索與實踐[J].數學教育學報，2007，16（4）：90–92.

[2]沈雁.線性代數教學中直觀性應用的實踐與思考[J].數學教育學報，2010，19（6）：86–88.

[3]郁金祥，劉錦萍.高等代數與解析幾何的教學實踐與認識[J].高等理科教育，2006，（3）：12–14.

[4]張志讓.線性代數教材內容與體系結構改革的思考與實踐[J].大學數學，2005，（2）：22–24.

[5]任北上，劉立明，李碧榮.問題型教學模式在高等代數教學中的探索[J].數學教育學報，2013，22（2）：95–98.

[6]鄭毓信.數學教育領域中的三個新“教條”——關于數學課程改革深入發展的再思考[J].數學教育學報，2011，20（1）：5–9.

[7]莊瓦金.三十年來中國《高等代數》教材（教學）之管見[J].數學教育學報，2009，18（3）：91–95.

[8]Sheldon Axler. Linear Algebra Done Right (Second Edition) [M]. Published by Springer, 1997.

[9]藍以中.高等代數簡明教程(下冊) [M].北京：北京大學出版社，2002.

[10] 孫敏.高等代數課程教改的思考和實踐[J].數學教育學報，2010，19（3）：100–102.

[11] 呂世虎，曹春艷，葉蓓蓓.數學教育學學科建設三十年：回顧與反思[J].當代教育與文化，2014，（5）：55-59.

[12] 王光明，佘文娟，宋金錦.基于NVivo10質性分析的高效數學學習心理結構模型[J].心理與行為研究，2014，（1）：74-79.

[13] 王玉行.高等代數教學對學生形成和發展數學品質的意義及教學策略[J].數學教育學報，2007，16（3）：92–94.

New Instructional Design on Matrix Eigenvalues Theory

DENG Yong
（College of Mathematics and Statistics, Kashgar University, Xinjiang Kashgar 844006, China）

The theory of matrix eigenvalues by determinant characteristic analysis in the current majority of advanced algebra textbooks was reviewed briefly, then based on linear algebra textbook “Linear Algebra Done Right” of Sheldon Axler, the non-determinant viewpoint of matrix eigenvalues analysis is described, and some proofs of theorems are modified or rewritten. This simple proof without determinant is not only more intuitive, and opens up a new way of understanding linear operator structure that leading to the main goal of advanced algebra.

matrix; eigenvalues; determinant; eigenvalue subspace; instructional design

G642

A

1004–9894（2015）06–0044–03

[責任編校：陳雋]

2018–08–10

新疆維吾爾自治區高校科研計劃重點項目——體上依賴參數方程組的數值方法（XJEDU2008I31）；喀什師范學院教改立項課題——喀什師范學院2012年度精品課程“高等代數”建設（KJG200806）

鄧勇（1967—），男，四川遂寧人，教授，碩士生導師，主要從事數學課程與教學論研究．