相似矩陣與線性變換

周忠國

摘 要：研究向量空間的線性變換時，相似矩陣就會很自然地出現。在選定一組基后，線性變換就和矩陣建立了一一對應關系。相似矩陣是同一線性變換在不同基下的矩陣。因此如果從線性變換的角度理解兩個相似矩陣之間的關系，并由此可以容易的解釋兩個相似矩陣的特征值是相同的，但是它們的特征向量不一定相同。對于初學者來說，由于學時較少，很少會詳細地講解線性變換的內容，因此我們希望能夠用比較簡潔，初等的方式講解線性變換以及它與相似矩陣的這些關系。從而應用線性變換的概念理解相似矩陣的特征值和特征向量。

關鍵詞：相似矩陣 特征向量 特征值 線性變換

中圖分類號：O15 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）08（c）-0024-02

Similar Matrix and Linear Transformation

Zhou Zhongguo

（College of Science Hehai University，Nanjing Jiangsu，210098，China）

Abstract：The concept of similar matrix appears when we investigate the linear transformation on vector space. After fixing a basis of the vector space， the set of linear transformations is put into one-to-one correspondence with the set of matrix. Hence from the point of view of linear transformation it is to helpful to understand the relation between similar matrice and explain their eigenvalues and eigenvectors. But the linear transformation will not been taught a few for lack of time for learners. So we give a simple and elementary introduction to linear transformations and applying the notation of linear transformation it is also explained that why the two similar matrice have same eigenvalue but have not same eigenvectors in general.

Kew Words：Similar Matrix；Eigenvectors；Eigenvalue；Linear Transformation

矩陣的相似是線性代數課程中一個非常重要的概念，這個概念刻畫了矩陣之間的重要關系，而且相似矩陣有許多共同的性質。我們知道兩個相似的矩陣有相同的特征值[1-4]，這是許多初學《線性代數》課程的同學都知道的，但是對于它們為什么不一定有相同的特征向量，很多同學就不理解了。從矩陣的角度對這個問題不容易理解，其實如果從線性變換的角度看待相似矩陣，它們之間的關系就會比較直接，容易理解多了。

因為相似矩陣本質上是在研究線性變換時很自然地出現的，不過對于初學者來說，由于學時較少的關系，關于線性變換的這些內容一開始并不會講得太多，太清楚，甚至有時候沒有時間來講。

為了幫助初學者理解這一問題，本文從線性變換的角度，以比較簡潔、初等的方式來解釋相似矩陣之間的關系，希望能夠用較少的概念、語言解釋相似矩陣及其特征值、特征向量的關系。

1 特征值、特征向量與相似矩陣

設是階矩陣，如果非零向量滿足：

則稱是的特征向量；是屬于特征向量的特征值。如果對兩個矩陣存在可逆矩陣使得：

則稱為相似矩陣。

根據定義，可以比較容易地得到相似矩陣有相同的特征值。假設是矩陣的特征向量，有 如果設，則有

所以是的特征向量，并且特征值仍為。

從上面的論證可以看到：如果是的特征向量，對應特征值是，則是的特征向量，并且特征值仍為。這樣一般說來，所以兩個相似矩陣的特征向量并不一定相同。這個論證不是特別嚴格，沒有考慮到特征值是重根的情況，而且不容易理解怎么會有這樣的結果。下面從線性變換的角度再來看看這個問題。

2 線性變換的定義與性質

設是維實向量空間，是的一組基。是的一個線性變換。所謂線性變換就是滿足下面的線性關系的一個映射：

先來看看所謂的線性是什么意思。我們知道，向量空間不過是一些向量放在一起，由于它們之間可以相加，數和向量之間有數乘，即定義了向量加法和數乘運算。這些向量之間建立了聯系，形成了一種結構，成為向量空間。而線性變換的要求可以理解為向量的和的像等于向量的像的和。也就是說線性變換保持向量空間的運算。保持向量空間的結構。

再從線性變換的定義可以看出，兩個向量的線性組合的像其實可由的像決定。又由于向量空間中的任一向量都是基的線性組合，所以任一向量的像都由的像決定，因此線性變換也就完全由這組基的像決定。把這一過程用符號表示出來就是，在此基下，假設可以如下詳細地給出：

這里就是在基在的坐標。

因此由線性關系，給定一個向量它的像為

如果設，則稱是線性變換在基下的矩陣，設是向量在這組基下的坐標。這樣線性變換就變成：

。

由于一開始固定了一組基，因此在我們的討論中，為了簡單起見，可以略去基，只考慮坐標，這時形式更為簡潔。

3 線性變換與矩陣

我們如果不考慮基，只從坐標的角度看待線性變換，那么線性變換可以如下簡單地表示：。

這樣看來，如果取定了一組基之后，線性變換就完全由矩陣決定了；反過來，如果給定一個矩陣，由上面的式子也可以得到一個線性變換。因此選定了一組基后，線性變換就完全和矩陣一一對應了。這樣，研究線性變換可以用矩陣，比較直觀，便于操作和計算；同樣地，研究矩陣時，如果把它看成線性變換，則許多問題就能統一起來，給出直觀的解釋。如果能夠充分了解到這些情況，則解決問題時我們就會有不同的選擇、能夠從不同的角度看待一個問題，解決問題的思路會更寬闊一些。

很自然的，如果選取另外不同的基，和上面同樣地做法也可以用一個矩陣表示線性變換，這時的矩陣和基下的矩陣有什么關系呢？下面就考慮這個問題。

若是向量空間的另外一組基，假設兩組基之間的過渡矩陣為，即有

，

同樣地，在這組基下，也和一個矩陣對應，此時線性變換可以表示為：

。

此處是向量在第二組基下的坐標。下面來求，，的關系。

我們主要利用一個事實：向量在同一組基下的坐標是唯一的。所以當用不同方法求得同一向量在同一基下的兩個坐標，那它們應當是相同的。因此我們把向量在基下的坐標也轉化成在基下的坐標表示。

根據假設有：

把代入上面兩式得：

由坐標的唯一性得；。

即；。

注意到是任意的，因此是任意的，所以可得

。

這說明對于同一個線性變換，如果選取兩個不同的基把它表示出來，那么在不同的基下的表示的矩陣是相似的。因此相似矩陣就自然地從線性變換中出現了。

一般來說，線性變換是比較抽象的，不容易把握，要想把握它，就要選取一組基，這樣就可以用矩陣清楚、具體地表現線性變換了。由此可以看到，矩陣不過是線性變換在基下的一個表現形式，是在另一組基下的表現形式；所以相似矩陣是同一個線性變換在不同的基下的表現形式。這樣就容易理解必然有一些性質和表現形式無關；也會有一些性質和表現形式相關。下一節就具體看看哪些性質無關，哪些性質相關。

4 線性變換與相似矩陣

既然這樣，那么相似矩陣之間的性質就可以從線性變換的角度理解、解釋了。因此由線性變換本身決定的性質和矩陣表現形式無關，將是都會有的性質，但是涉及到基，涉及到具體表現時的性質，和矩陣表現形式有關，如坐標等兩者可能不同。

下面來看特征值和特征向量如何用線性變換解釋。

若向量滿足，則稱是線性變換的特征向量，是對應特征向量的特征值。比如，則3是線性變換的特征值，是對應的特征向量。如果把這個關于線性變換的等式翻譯成矩陣和坐標來說，就會得到在這組基下的表現形式

因此3是矩陣的特征值，則成了矩陣的特征向量，注意這里的向量是向量的坐標，而不是線性變換的特征向量，這兩個向量是不一樣的。如果在另一組基下把這個過程翻譯一下就成了

這時的坐標就成了的特征向量。特別要注意兩個矩陣的特征向量是線性變換的特征向量分別在兩組基下的坐標。

所以現在就清楚了，相似矩陣的特征值就是原來那個共同的線性變換的特征值；它們的特征向量則是線性變換的特征向量分別在這兩組基下的坐標。明白了這些關系之后可以得出相似矩陣的特征值相同，甚至連相應的代數重數，幾何重數都是相同的。因為它們都是原來線性變換的特征值和重數。

但是特征向量就不一樣了，它們是同一向量在不同基下的坐標，一般說來，一個向量在不同基下的坐標是不相同，如果是很特殊的情形也可能相同。比如當時，此時在兩組基下的坐標都是，所以是的公共特征向量。

參考文獻

[1] 萬冰蓉.相似矩陣特征向量間的關系[J].井岡山師范學院學報，2002（5）：50-52.

[2] 許以超.線性代數與矩陣論2版.[M].北京：高等教育出版社，2008.

[3] 黎景輝，白正簡，周國暉.高等線性代數學[M].北京：高等教育出版社，2014.

[4] 俞正光，魯自群，林潤亮.線性代數與幾何：下[M].2版.北京：清華大學出版社，2015.

[5] 李尚志.《線性代數》新教材教材案例（之二）[J].大學數學，2012（4）：5-12.