不敏卡爾曼濾波方法研究

肖賢 張維中

【摘 要】針對卡爾曼濾波（KF）在對非線性目標系統目標跟蹤問題時易出現跟蹤精度較低，濾波發散等問題，將不敏卡爾曼濾波器（UKF）運用在非線性系統的目標跟蹤中。通過不敏卡爾曼濾波器在非線性目標跟蹤中的應用和仿真結果比較表明，不敏卡爾曼濾波與傳統卡爾曼濾波器和擴展卡爾曼濾波器（EKF）相比，提高了濾波精度，改善了濾波性能，具有較好的跟蹤效果。

【關鍵詞】不敏卡爾曼濾波 機動目標 Matlab 擴展卡爾曼濾波 非線性系統

卡爾曼濾波器[1]依據最小均方誤差準則獲得目標的動態估計，但是在實際系統中，大部分的觀測數據與目標的動態參數之間的關系均是非線性的。對于非線性的濾波問題，很多方法對此傳統的卡爾曼濾波算法進行了擴展研究。其中比較突出的是EKF，UCMKF，PF等方法。通常對于非線性系統的處理的辦法是運用線性化將非線性的問題轉換成線性問題，套用KF來進行求解。當系統的動態模型與觀測模型所得到的線性化誤差較大時，濾波器跟蹤容易發散，在對非線性系統進行kalman濾波時，必須求非線性函數的Jacobi矩陣，對于摩西復雜的系統，求取方法繁瑣且容易出錯。另外，在工程應用之中，模型線性化過程較為復雜，不易得到。如果假設模型與真是模型不相符合，就會出現濾波發散。引起濾波發散的主要原因包括，系統過程噪聲與量測噪聲參數選取對過程噪聲影響較大、系統初始狀態和初始協方差的假設值偏差過大、不準確線性化或者降維處理、計算誤差。

1 卡爾曼濾波器與擴展卡爾曼濾波器[2]

1.1卡爾曼濾波器

假設在雜波環境中跟蹤 個目標， 為第 時刻目標 的狀態向量，則目標的狀態方程為：

（1）

其中， ， 為已知矩陣，噪聲向量 是具有零均值和已知協方差矩陣且與目標初始狀態統計獨立的高斯隨機向量。

設 為 時刻確認矩陣的量測數，則目標的狀態方程為：

（2）

其中，測量矩陣 是已知的，每個 都是與所有其他噪聲向量獨立的零均值高斯噪聲向量，其協方差矩陣是已知的。

應用kalman濾波器步驟如下所示：

（1）狀態一步預測：

（3）

（2）狀態估計：

（4）

（3）濾波增益：

（5）

（4）一步預測均方誤差：

（6）

（5）估計均方誤差：

（7）

1.2擴展卡爾曼濾波器[3-5]

在實際應用系統中，其量測以及過程通常是非線性的，不能夠直接運用卡爾曼濾波器。但是我們可以通過泰勒級數展開的方式，獲得非線性系統的線性近似表達式，從而采用卡爾曼濾波算法，用來解決非線性問題。這就是擴展卡爾曼濾波器（Extended Kalman Filter，EKF）。

擴展卡爾曼濾波針對非線性量測方程 在 處做泰勒展開并取得其一次項，可得：

（8）

利用導數線性化的卡爾曼濾波算法的精度依賴于目標狀態動態模型以及以前的狀態估計 。如能夠保證 充分小，就能夠達到一定的濾波精度。EKF雖然被廣泛的運用于解決非線性系統的狀態估計問題，但是其濾波效果在很多復雜系統之中難以令人滿意，模型線性化誤差最終會影響目標的估計精度，甚至導致發散。引入了一種新的濾波方法。

2 不敏卡爾曼濾波[6-9]

不敏卡爾曼濾波是運用不敏變化的思想對卡爾曼濾波器進行改進得到的一種新算法。此算法用有線的參數來近似隨機量的統計特性，用一組精確的sigma點經過非線性模型的映射來傳遞隨機信息的特性。假設非線性系統中的狀態向量的初始均值與協方差為 ， 。

UKF算法中的初始向量是由原始向量，過程噪聲以及量測噪聲組成[10]。其初始值和協方差定義如下：

與 為過程噪聲與量測噪聲的協方差陣。不敏卡爾曼濾波器的過程如下所示：

（1）用不敏變換過程中的方法計算sigma點的權值，并運用下式計算sigma點

（9）

（2）sigma點的一步預測：

（10）

（3）狀態預測：

（11）

（12）

（4）計算量測預測采樣點：

（13）

（5）估計量測預測值：

（14）

（6）估計信息協方差矩陣：

（15）

（7）估計互協方差矩陣：

（16）

（8）計算增益矩陣：

（17）

（9）狀態更新：

（18）

（10）協方差更新：

（19）

3 仿真實驗

本文模擬二維平面內的多機動目標跟蹤問題，載機狀態向量為 。 為 時刻的量測值。其中 為 時刻的偏航角。量測值為非線性。其協方差陣 與 如下所示：

圖1描述載機與目標在二維環境中的運動。雷達總采樣100個時間周期，載機與目標機均做勻速直線運動，載機初始狀態[1e5 16 1e5 0]，目標機初始運動狀態為[2e5 10 2e5 -10]。

經過100次蒙特卡洛仿真，每次仿真時間為100s，采樣間隔為1s。設定均方根誤差作為測量指標。均方根誤差的定義為：

（20）

從圖2 中可以看出利用KF方法的估計性能最差，利用EKF 方法能夠得到較好的估計，但是仍然與真實估計由較大差距，而UKF方法能夠得到更高的估計精度。仿真實驗結果證實了所提出方法的有效性。

4 結語

傳統卡爾曼濾波技術在對非線性目標進行跟蹤的過程中，因狀態方程的單一性會大大降低目標跟蹤精度，為了改善目標跟蹤性能運用不敏卡爾曼濾波技術提高了濾波精度，改善了濾波性能，通過仿真表明UKF可以使得非線性系統濾波具有較高的精度，對噪聲也具有較好的適應性能。

參考文獻：

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