平方數的奧秘

過家福

一、回顧

《新高考》2014.6～2014.8月的高二數學雜志上，刊登了談祥柏先生的科普文章《參透玄機，使奇異變為平凡》，主要是講一組數字具有的神奇規律，簡單敘述如下，

從956到958，共有13個三位數，這些數在各自平方之后，全都變成六位數，如果把它們分別截成前、后兩部分，再相加起來，其和竟然又是一連串的平方數，請看下列結果：

談先生戲稱其為三位數中的“十三太保”，甚至他自己也在兩位數中尋找到了具有類似規律的“五虎大將”，

談先生深入淺出，利用“對偶”的新穎概念，并突破了十進位制的限制，從而將這一規律拓展到了整個自然數系，而我，也是從記數制的角度，思有所悟，特記下心得。

二、十進制

若自然數a，b滿足上述規律，即由a平方后拆分再相加，可得到b的平方，難點就在于對a進行拆分，即談先生所說的“完全平方數的范式表示”上，我們不妨來分析一下：

已知a+b—10ⁿ-1（兩位數就是99—10²-1，三位數則是999=10²-1，以此類推），我們先一起來回顧這一規律的發現過