常微分方程在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中的運用

白莉紅

【摘 要】數(shù)學(xué)建模是用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的一種實踐，即通過抽象、簡化、假設(shè)等過程，將實際問題用數(shù)學(xué)方式描述，建立起數(shù)學(xué)模型并運用數(shù)學(xué)方法求解。本文介紹了由常微分方程組描述的生物種群間的相互作用模型——弱肉強食模型。

【關(guān)鍵詞】常微分方程 ? ?數(shù)學(xué)建模 ? ?弱肉強食模型

第一次世界大戰(zhàn)期間，奧地利與意大利的敵對狀態(tài)造成了亞德里亞海捕魚業(yè)的破壞與停滯，戰(zhàn)后發(fā)現(xiàn)，亞得里亞海中以小魚為食物的大魚密度高于正常水平。為什么停止捕撈有利于大魚密度的上升，這一問題引起了意大利數(shù)學(xué)家沃兒泰拉的興趣，他的研究產(chǎn)生了如下模型。

以x（t）表示t時刻小魚密度，即單位體積的小魚數(shù)，y（t）代表相應(yīng)的大魚密度。先考慮小魚密度的變化規(guī)律，如果不存在大魚，類似于馬爾薩斯人口模型，假設(shè)小魚密度的凈增長率為一個常數(shù)a>0，當(dāng)有大魚存在時，由于大魚捕食小魚，使得小魚的凈增長率下降，這一下降的速率正比于y（t），其比例系數(shù)設(shè)為常數(shù)b，由此小魚密度滿足方程：

x（t）=a-by （1）

類似的考慮大魚密度方程：

y（t）=-c+dx （2）

式中的c，d系數(shù)前的符號與小魚方程系數(shù)a，b的符號相反，這是因為當(dāng)不存在小魚時，大魚由于沒有食物而死亡，因而數(shù)量下降。下面對由方程與組成的常微分方程進行分析。

容易看出，如上方程組有三組特定的解，即：

（1）x（t）=y（t）=0

（2）x（t）=0，y（t）=y（0）e-ct（y（0）>0）

（3）y（t）=0，x（t）=y（0）eat（x（0）>0）

在Oxy平面上，對應(yīng)不同的初值x（0）和y（0），這三組解的軌道構(gòu)成區(qū)域R2+={（x，y）∈R2：x≥0，y≥0}的邊界，將上述區(qū)域的內(nèi)部記為intR2+={（x，y）∈R2：x>0，y>0} ，由常微分方程組解的存在唯一定理，不同的積分軌道不能相交，所以初值點在intR2+內(nèi)的積分軌道保持在同一區(qū)域內(nèi)，不能越過它的邊界，在這一區(qū)域內(nèi)，存在唯一一組不隨時間變化的平衡解，它可由令其=0解得，即

x= ?，y=

在Oxy平面上，過點（x，y）分別作平行于x軸與y軸的直線，這兩條直線把區(qū)域劃分為四個部分，如果所討論的方程組存在封閉軌線所表示的周期解，那么由軌線上任何一點相對于點（x，y）的位置，不難知道該點的符號，由此知道這樣的周期軌道是逆時針方向旋轉(zhuǎn)的，以下說明這樣的周期解確實存在。

將方程（1）乘以c-dx與方程（2）乘以a-by相加，整理后得

（clnx-dx+alny-by）=0 ? ? ? ?（3）

注意到x，y的值，令

H（x）=xlnx-x

G（y）=ylny-y

V（x，y）=dH（x）+bG（y）

則（3）式化為

V（x（t），y（t））=0

或者等價有V（x（t），y（t））=const

即定義在intR2+上的函數(shù)V沿方程組（1）和（2）的任何一條軌道取常數(shù)值，稱這一常數(shù)為運動常數(shù)。

因為函數(shù)H（x）滿足

=-1，=-<0

所以H（x）在點x=x達到極大，類似可知函數(shù)G（x）在點y=y達到極大，由此函數(shù)V（x，y）唯一的極大值在平衡點（x，y）達到，還可說明從平衡點（x，y）出發(fā)的任何一條射線，V（x，y）單調(diào)下降，因而集合{（x，y）∈intR2+：V（x，y）=const}是圍繞平衡點的閉曲線，由于intR2+內(nèi)的任何一組解必須保持在V（x（t），y（t））等于常數(shù)的集合上，因此隨著時間的推移，解的代表點必然回到它的初始位置，因而軌道一定是周期的。

如上討論說明，無論大魚密度還是小魚密度都是周期振蕩的，而且振幅與頻率都依賴于初始條件，然后可以說明：密度的時間平均值是與初始條件無關(guān)的常數(shù)，且等于相應(yīng)的平衡值，即

x（t）dt=x，y（t）dt=y

此處t是解的周期，這一結(jié)論可按下述方式說明：由

（lnx）=a-by

積分，有

lnx（t）dt=（a-by（t））dt

即lnx（t）-lnx（0）=aT-by（t）dt

因為x（t）=x（0），上式給出

y（t）dt==y

類似的可以討論x（t）的平均值。

利用上述結(jié)果，沃爾泰拉說明了戰(zhàn)爭期間大魚密度上升的原因，捕撈的效果是降低小魚生殖率，提高大魚的死亡率。因此當(dāng)考慮捕撈時，如上模型中的系數(shù)應(yīng)當(dāng)調(diào)整，方程（1）中的a應(yīng)由a-k代替，k是某一正數(shù)，而（2）中的c則應(yīng)由c+m代替，m是某一正數(shù)，而系數(shù)b，d反映大魚、小魚間的相互作用，故保持不變;與這組系數(shù)相對應(yīng)，大魚平均密度變?yōu)椋╝-k）/d，即低于停止捕撈時的值，小魚的平均密度變?yōu)椋╟+m）/d，高于停止捕撈時的值，這樣就說明了停止捕撈將使大魚密度上升，小魚密度下降。

如上討論可適用于較（1）和（2）更為實際的描述生態(tài)活動的方程組，類似的討論啟示我們，要謹慎地使用那些無選擇性的農(nóng)藥，因為這些農(nóng)藥既會殺死害蟲，也會殺死害蟲的天敵，產(chǎn)生類似捕撈魚群的效果，使得害蟲密度相對于天敵密度上升，就此而言這樣施用農(nóng)藥的效果是值得懷疑的。對如上模型適當(dāng)加以修正，還可以討論生物種群間更復(fù)雜的共生、競技或排斥關(guān)系。

【參考文獻】

[1]葛渭高，李翠哲，王宏洲.常微分方程與邊值問題[M].北京：科學(xué)出版社，2008.

[2]李大潛.將數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)學(xué)類主干課程[J].中國大學(xué)教學(xué)，2006（1）.

[3]張良勇，董曉芳.常微分方程的起源與發(fā)展[J].高等函授學(xué)報（自然科學(xué)版），2006（3）.