例談借助幾何直觀促進問題解決

朱向東

幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。它的優越性已勿需多談，然而，在當前的教學實際中，幾何直觀的應用大多還只局限于幾何圖形內容的學習，常態的應用還較少，幾何直觀的優越性還沒有得到凸顯，尤其是學生利用圖形描述和分析問題的意識還沒有得到足夠的重視和引導。下面，筆者根據自身的教學實踐，結合幾個具體的實例談談幾何直觀在數學問題解決中的應用。

例1 某校要從3名男同學和2名女同學中各選出1人代表學校參加“少兒戲曲大賽”，有多少種不同的組隊方案？

圖1

解析：引導學生將生活問題轉化成數學問題，用圖形和符號來表示量。可以用畫圖的方式來表示出組隊的情況，如圖1可以用三個圓代表三名男生，并用數字加以區分，用2個長方形代表2名女生，并用數字加以區分，再引導學生用連線的方法表示出搭配的方法。接著引導學生看圖說一說組隊的方案，讓學生感受畫圖不僅能清楚地表達出每一種組隊的方案，還能簡潔、直觀地表明共幾種搭配方法，讓學生感受了畫圖的價值，同時還滲透了符號意識。只有讓學生體會到畫圖對尋求解題思路帶來的益處，才會進而產生畫圖的興趣，學生的幾何直觀能力才會得到發展。

例2 3個小朋友拿著同樣多的零花錢湊在一起買鉛筆。小剛和小強分別比小勇多拿了6支，他倆各給了小勇6角錢，請問每支鉛筆的價格是多少？（鉛筆的型號相同）

圖2

解析：首先通過討論交流，使學生明確：3人拿同樣多的錢買鉛筆，那么三人的所得也應該是相同的。若用一般方法進行分析，多數學生會一頭霧水;運用幾何直觀畫圖，效果就大不一樣了。假如用一個圓圈表示多拿的1支鉛筆，那么三人多拿的鉛筆的情況如圖2所示。要想公平，多出的12支鉛筆應該是平均每人分4支。那么，小剛和小強就應各取出2支鉛筆給小勇，即小勇按理也應分得4支鉛筆，值2個6角，這樣就很清楚地看出每支鉛筆的價格是3角錢了。

例3 媽媽的年齡是小玲的4倍，媽媽比小玲大24歲，媽媽和小玲各是多少歲？

解析：這是一道比較典型的年齡問題。此題要求兩個量，用兩種不同的方式（倍、差）來表示這兩個量之間的關系，對低年級學生而言，比較抽象，學生不好理解，用一般方法難以奏效。教師若能引導學生通過畫線段圖表示題目中的已知條件和問題，結合線段圖去觀察思考，相信大部分學生都能順利解決。從圖3的線段圖中，學生可以直觀地看出，小玲的年齡用1份表示，媽媽的年齡就是這樣的4份，多出的這3份就是媽媽比小玲大的24歲，所以1份表示的年齡是：24÷3=8（歲），即小玲的年齡是8歲，媽媽的年齡就是：8×4=32（歲）。

圖3

例4 學校食堂買來一些大米。計劃吃10天，實際每天比計劃多吃4千克，結果提前2天就吃完了。你能算出原計劃每天吃多少千克嗎？

圖4

解析：引導學生分析，大米的總量怎么表示？既然可以表示為吃的天數與每天吃的千克數的積，那么就不難聯想到長方形的面積也是長與寬的積，因此可以畫圖（長方形）來表示題目中的數量關系。進一步思考，大米的總量按計劃情況怎么表示？按實際情況呢？大家能在一個圖里表示清楚嗎？逐步引導、指導學生畫出圖4。進而提問，圖中的兩個大長方形AEFD與ABGH的面積分別表示什么意思？二者有何關系？學生觀察后，很容易發現，二者是相等的，都表示大米的總量;教師再引導觀察，圖中的兩個長方形BEFC與DCGH（圖中的陰影部分）的面積分別表示什么意思？二者有何關系？

在觀察與思考中，學生認識到長方形BEFC的面積表示的是實際8天多吃的千克數，長方形DCGH的面積表示的是計劃2天吃的千克數，二者相等。因為每天都比計劃多吃了4千克，所以導致提前2天吃完，8天總共多吃的千克數其實就是原計劃2天吃的千克數。即：4×（8-2）=2×計劃每天吃的千克數，計劃每天吃的千克數就是4×（8-2）÷2=12（千克），問題迎刃而解。

例5學校體育組老師新買了3個籃球和4個排球，一共用了424元，一個籃球比一個排球貴13元，籃球和排球單價各是多少元？

解析：通過圖解，把題意轉化成圖5，從圖中學生一眼就能看出，從總錢數中減去3個13元，剩下的錢數就是7個排球的價錢，從而可以求出排球的單價，列式為（424-13×3）÷（3+4）=55（元）。籃球的單價則為55+13=68（元）。通過幾何直觀，把“數”轉化為“形”，學生清楚地看出數量之間的關系，化難為易，迅速發現解題思路。

圖5

再如，有關分數的實際問題，長方體、正方體等立體圖形的表面積和體積問題、周期問題、植樹問題等，都可以利用幾何直觀進行教學，促進學生的思維能力和分析、解決問題能力的提升。

綜上所述，數學教師都要做一個有心人，不僅在圖形與幾何領域的教學中要重視幾何直觀，而且在整個數學教學中都應該重視幾何直觀，把幾何直觀能力的培養貫穿于學生的整個數學學習過程。學生幾何直觀能力的培養，只有潛移默化地融入到平時的課堂教學和學習中，植根于學生個體經驗的積累中，效果才會明顯。當然也需要根據不同年級、不同學生的實際情況分層次提出不同的要求，需要根據教學內容有意識地長期訓練，從而讓學生更好地利用圖形來描述和分析問題，提升他們的數學素養。

◇責任編輯：徐新亮◇