例談高中數學解題中的“法寶”

吳悅彩

高中數學教學課程標準中明確規定了學習數學不僅包括數學內容、數學語言，更重要的是數學思想、方法。在數學解題過程中，某些數學問題用常規方法是難以解決的，這時可以根據題目的條件和結論的特征，從新的角度，用新的觀點去觀察分析，用已知的數學關系為“支架”構造出滿足條件或結論的數學對象，使原問題中隱晦不清的關系在新構造的數學對象中清楚地表現出來，從而借助該數學對象解決數學問題。這種解決數學問題的方法就是構造法。

一、構造法解題的思路

構造法解題的基本思想方法是“轉化”思想。用構造法解題的巧妙之處在于不是直接去解決所給的問題，而是把它轉化成一個與原問題有關的輔助新問題，然后通過新問題的解決幫助解決原問題。

二、構造法的思維方式

構造法是一種簡捷、快速，靈活變通的解題方法，這些特點，特別是簡捷的特點會大大提高學生的求知欲，他們會有一種躍躍欲試的渴望，但卻無從知道什么樣的問題適合用構造法去解，如何構造？

應用構造法解題的關鍵一是要明確的解題方向，即要明確為了解決什么樣的問題面建立一個相應的構造；二是要弄清條件的本質特點，以便重新進行邏輯整合。構造法的思維方式是多樣的，主要有類比構造，即所研究問題對象之間或這些對象與已學過的知識間存在著形式上、本質上的相同或相似性的可考慮類比構造；聯想構造、轉換構造、歸納構造、直覺構造、逆向構造，即按逆向思維方式，向原有數學形式的相反方向去思考，通過構造對立的數學形式來解決問題。

三、構造法在中學數學解題中的應用

1. 構造函數

函數在整個中學數學是占有相當的內容，學生對于函數的性質也比較熟悉。選擇爛熟于胸的內容來解決棘手問題，會大大提高學生解決問題的能力。

2. 構造一元二次方程

方程作為中學數學的重要內容之一，它與代數式、函數、不等式等知識密切不可分。依據方程理論，能使許多的問題得以轉化從而得到解決，這對學生的數學思想的培養具有重要意義。

有些數學題，經過觀察可以構造 一個方程，從而得到巧妙簡捷的解答。

例2 若（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0 ，求證：x，y，z成等差數列。

分析：拿到題目感到無從下手，思路受阻。但我們細看，題目條件酷似一元二次方程根的判別式。

證明：令a=x- y，b=z-x ，c=y -z，于是可構造方程ax2+bx+c=0 .

由已知條件可知方程有兩個相等根x=1，所以根據根與系數的關系有y-z=x-y，即x+z=2y.得證x，y，z成等差數列。

通過上面的例子我們在解題的過程中要善于觀察，善于發現，在解題過程中不墨守成規，要大膽去探求解題的最佳途徑。

3. 構造幾何圖形

借助幾何圖形來解決問題是構造法的一種重要方式。對于本身不具備圖形的一些數學問題，由于它的條件中數量關系有明顯的幾何意義或某些方面可以將問題轉化成幾何圖形，借助幾何圖形的性質來研究，從而實現解題的目標。

4. 構造數列

在高中數學教材中，有很多已知等差數列的首項、公比或公差（或者通過計算可以求出數列的首項、公比），來求數列的通項公式，但實際上有些數列并不是等差、等比數列，給出數列的首項和遞推公式，要求出數列的通項公式。而這些題目往往可以用構造法，根據遞推公式構造出一個新數列，從而間接地求出原數列的通項公式。

構造法遠不只是本文指出的這幾種方法，還有其他方法，在此不一一列舉。在解題過程中，只有善于多觀察，多對比分析，才能更容易找到要創造的對象。在教學中，若能有意識地培養學生在學習研究的過程中創新意識，使學生體會知識間的內在聯系和相互轉化，則能為學生解決問題創造出構造解決問題的有利條件。

責任編輯 羅 峰