非線性液壓彈簧力對電液伺服系統非線性動力學行為影響的研究

朱　勇　姜萬錄　劉思遠　鄭　直

1.燕山大學河北省重型機械流體動力傳輸與控制重點實驗室,秦皇島,0660042.燕山大學先進鍛壓成形技術與科學教育部重點實驗室,秦皇島,066004

非線性液壓彈簧力對電液伺服系統非線性動力學行為影響的研究

朱勇1,2姜萬錄1,2劉思遠1,2鄭直1,2

1.燕山大學河北省重型機械流體動力傳輸與控制重點實驗室,秦皇島,0660042.燕山大學先進鍛壓成形技術與科學教育部重點實驗室,秦皇島,066004

探究了非線性液壓彈簧力對電液伺服系統動態特征的影響。根據非線性動力學原理，建立了系統的動力學模型。通過理論研究指出,非線性液壓彈簧力作用可以用Duffing方程描述。通過數值分析揭示了系統內在的分岔現象及典型非線性動力學行為。通過對實測數據進行深入的分析,揭示了液壓彈簧的軟硬彈簧特性引起的“跳躍現象”。發現液壓彈簧力的非線性作用會引發非線性振動，在系統建模與動態特性研究時應該將其非線性作用考慮在內。

電液伺服系統；非線性液壓彈簧力；跳躍現象；分岔；混沌

0　引言

電液伺服系統執行機構在運行過程中,在油源壓力和負載壓力的作用下,可因油液的可壓縮性而形成動態液壓彈簧[1]。彈簧剛度的非線性會使運動過程中系統的固有頻率不恒定、響應穩定區域變得復雜。液壓彈簧與負載質量相互作用可構成一個液壓彈簧-質量系統。該系統在一定條件下會引起伺服系統發生非線性振動。因此，液壓彈簧力對電液伺服系統動態特征的影響值得關注。

目前,對液壓系統動態特性的研究一般采用系統建模和數值仿真方法[2-3]。系統建模時一般對非線性因素進行線性化處理[4-5],研究所得結論與實際情況有較大差異,很難解釋實際動態測試中出現的時域波形復雜、頻域尖峰繁多等異常現象[6]。所依據的理論多是線性動力學理論和經典控制理論[7-8],而較少運用非線性動力學理論[9-10]。故針對非線性液壓彈簧力作用下電液伺服系統動態特征的研究尚不多見。

本文以電液伺服系統為研究對象,重點探究非線性液壓彈簧力對系統動態特征的影響規律。根據非線性動力學原理，建立系統的非線性動力學模型。通過數值分析，揭示系統內在的分岔現象及典型非線性動力學行為。用非線性動力學研究方法對實測動態數據進行深入分析，以揭示液壓彈簧的軟硬彈簧特性引起的“跳躍現象”。旨在揭示伺服系統非線性振動的機理及誘因，使綜合分析系統的動態特征變得更接近實際。

1　執行機構的動力學模型

電液伺服系統的執行機構為伺服液壓缸，本文以雙作用單活塞桿液壓缸為例進行分析，其工作原理如圖1所示。

圖1　雙作用單活塞桿伺服液壓缸工作原理

上述執行機構的動力學方程為

(1)

式中,m為活塞及慣性負載的折合質量;x為活塞位移;Fc為黏性力;Fs為彈性力;Ff為摩擦力;FL為負載力;p1、p2分別為無桿腔和有桿腔的壓力;A1、A2分別為無桿腔和有桿腔的活塞有效作用面積。

2　非線性液壓彈簧力

電液伺服系統執行機構的彈簧剛度由活塞桿剛度和液壓油剛度串聯合成。鋼的體積彈性模量是液壓油的100～150倍,故可以把活塞桿作為剛體處理。因此，系統的彈簧力主要由受控液壓油所構成的液體彈簧產生[11]。

液壓缸活塞的移動會導致其兩側液體彈簧長度的變化,進而引起液壓彈簧剛度的變化,其變化規律為[12]

(2)

式中,K為油液體積彈性模量;L為液壓缸總行程;L1為活塞初始位置,即無桿腔液柱長度;VL1為閥與無桿腔之間管道內油液體積;VL2為閥與有桿腔之間管道內油液體積。

令y為在工作點x附近的振動位移,即y=Δx。由泰勒級數可知,非線性彈簧剛度在工作點附近可表達為

(3)

k(x+y)=k1+k2y+k3y2+o(y2)

(4)

略去式(4)中的高階無窮小項o(y2),則液壓缸系統的液壓彈簧力可以表示為

Fs=k(x+y)y=k1y+k2y2+k3y3

(5)

由于彈簧彈性勢能U具有對稱性,可以表示為

U=k1y2/2+k3y4/4

(6)

故液壓彈簧力可以進一步表達為

Fs=dU/dy=k1y+k3y3

(7)

式(7)中,k3<0表示軟彈簧特性;k3>0表示硬彈簧特性；k3=0為線性彈簧特性[13]。

3　液壓彈簧力非線性動態特征

3.1非線性動力學模型

本文為集中研究非線性液壓彈簧力對系統動態特征的影響,暫不考慮摩擦力、系統阻尼等非線性因素。則系統方程(式(1))在工作點x附近的特性可表達為

k3y3+Ff(v)=p1A1-p2A2-FL

(8)

式中,c0為結構阻尼系數;c1為線性摩擦阻尼系數;Ff(v)為工作點處的摩擦力;v為活塞的移動速度。

進一步整理,得

(9)

式中,c為線性阻尼系數,c=c0+c1。

由于油源壓力脈動、閥口流量-壓力非線性等因素的影響,導致進油壓力有微觀波動,服從簡諧振動規律,式(9)右邊的輸入項可近似表示為Fsin(ωt+φ0),是系統的激振源[14]。其中,F為激振力;ω為激振角頻率;φ0為激振力的初相角。

據上述分析,系統動力學方程(式(9))可寫為

(10)

由Duffing方程的結構形式可知,式(10)是含有阻尼的Duffing方程，可為研究電液伺服系統的非線性液壓彈簧力的動態特征提供結構模型。

3.2求解方程

把液壓彈簧力的非線性動態特征歸結為Duffing方程，就可以通過借助Duffing方程的特性來揭示系統內在的基本規律。

為便于求解計算，將式(10)化為如下形式：

(11)

式中,ξ為線性阻尼比;ω0為非線性項系數β=0時線性簡諧振子的自然頻率;F0為單位質量所受的激振力幅值。

下面采用非線性動力學中的定量分析法——諧波平衡法[15]求解式(11),令

F0sin(ωt+φ0)=F01sinωt+F02cosωt

(12)

取線性諧振子在諧波激勵下的穩定解作為系統的一種形式解,即

y0=Asinωt

(13)

式中,A為零次近似解的振幅。

由三角函數恒等變換公式知

(14)

將式(12)～式(14)代入式(11)，得

F01sinωt+F02cosωt=

2ω0ωξAcosωt-βA3sin3ωt/4

(15)

略去高次諧波項，并使式(15)等號兩端sinωt、cosωt項的系數分別相等，得

(16)

F02=2ω0ωξA

(17)

將式(16)、式(17)分別平方后相加，得幅頻關系式：

(18)

進一步求解式(18),可得

(19)

將式(16)、式(17)相除,得相頻關系式：

(20)

3.3解分析

3.3.1尾部彎曲曲線

由幅頻關系式可得系統方程(式(10))的幅頻特性曲線(圖2),β>0時,幅頻特性曲線為尾部右偏曲線;β<0時,幅頻特性曲線為尾部左偏曲線；阻尼的作用限制了共振振幅的無限上升。

圖2　幅頻特性曲線

3.3.2跳躍現象

對于線性系統的受迫振動來說，激振頻率的連續變化只會導致響應幅值的連續變化。但是，對于非線性系統，即使激振頻率連續變化，在某些特定點上也會發生振幅突跳現象。

從圖2可以看出,系統方程(式(10))的幅頻特性曲線并非單值曲線。在某些區間內,同一頻率對應3個不同的振幅。當激勵頻率連續變化時,會發生振幅突然變化的“跳躍現象”[15]。隨著系統參數的變化,系統的運動狀態發生突變的現象稱為“動態分岔”。“跳躍現象”是非線性系統所特有的現象之一，它是一種特殊的動態分岔現象。3.3.3多重定態

在沒有外加周期力擾動時,系統方程(式(10))的狀態方程可以表示為

(21)

在研究動力系統狀態隨時間變化的規律時,有一類狀態——“定態”具有特殊重要的意義，它是指所有狀態變量對時間的導數全都等于零時的狀態，即

dyi/dt=0i=1,2,…,n

(22)

定態在相空間中的代表點稱為“定點”或“平衡點”。由于非線性的存在，系統在運動過程中往往會出現“多重定態”或“多重定點”。

圖3　平衡點和流域

4　數值試驗

為了探索液壓彈簧力非線性項系數β和外加激振力F0對系統動態特征的影響,以系統方程(式(10))的具體算例:

(23)

進行數值試驗研究。

4.1分岔特性研究

激振力F0取不同值時,以β為分岔參數繪制分岔圖。圖4中的橫軸為液壓彈簧力非線性項系數β,縱軸為振動位移y。由圖4可知，參數β、F0取不同值時,系統發生了不同程度的分岔:①系統方程存在單根、多根和無窮多個根時,在分岔圖上表現為單值曲線、多值曲線和涂黑區等不同區段(分別對應于單周期、多周期和混沌等不同運動狀態)。②解曲線在某些點處會發生中斷和跳躍,說明隨著參數的變化,系統會發生振幅突然變化的“跳躍現象”。③隨著參數的變化,系統會發生運動狀態突然變化的動態分岔現象。由周期運動進入混沌運動主要是通過倍周期分岔途徑實現的。

(a)F0=0.2 N/kg

(b)F0=0.4 N/kg

(c)F0=20 N/kg圖4　分岔參數為β的非線性方程分岔圖

4.2運動形態仿真

為了形象地體現系統在不同參數下的運動形態，在MATLAB中建立仿真模型，對系統典型的非線性動力學行為進行仿真。仿真中采用Runge-Kutta算法,采樣頻率選100 Hz(遠大于外控力頻率fp=ω/(2π)=1/(2π)=0.16 Hz),終了時間為1000 s。

β=0.2 N/(mm·kg),F0=0.2 N/kg時,仿真結果如圖5所示。由圖5可知，時間歷程呈周期重復；功率譜在基頻fp及其倍頻處出現尖峰；相軌跡在有限的區域內重復，呈封閉曲線，即有極限環存在；龐加萊圖在一定的區域內只有1個孤立點存在。這是明顯的單周期運動特征表現，說明此時系統處于極限環型振蕩狀態。

(a)時間歷程(b)相軌跡圖

(c)功率譜圖(d)龐加萊圖圖5　極限環型振蕩形態

β=0.5 N/(mm·kg),F0=0.2 N/kg時,仿真結果如圖6所示。由圖6可知,時間歷程呈周期重復;功率譜在分頻fp/2和它的倍頻處存在尖峰；相軌跡在有限的區域內重復，呈封閉曲線;龐加萊圖在一定的區域上有2個孤立點存在,說明此時系統處于2倍周期運動狀態。

(a)時間歷程(b)相軌跡圖

(c)功率譜圖(d)龐加萊圖圖6　2倍周期運動形態

β=0.4 N/(mm·kg),F0=0.4 N/kg時,仿真結果如圖7所示。由圖7可知,時間歷程呈周期重復;功率譜在分頻fp/3及其倍頻處存在尖峰;相軌跡在有限的區域內重復，呈封閉曲線;龐加萊圖在一定的區域上有3個孤立點存在,說明此時系統處于3倍周期運動狀態。

(a)時間歷程(b)相軌跡圖

(c)功率譜圖(d)龐加萊圖圖7　3倍周期運動形態

β=1.8 N/(mm·kg),F0=20 N/kg時,仿真結果如圖8所示。由圖8可知,時間歷程無規律;功率譜出現噪聲背景和寬峰;相軌跡在有限的區域內不重復;龐加萊圖有無限個孤立點存在,且分布在有限的區域內，說明此時系統處于混沌運動狀態[16-17]。

(a)時間歷程(b)相軌跡圖

(c)功率譜圖(d)龐加萊圖圖8　混沌運動形態

由以上數值試驗分析可知,當液壓彈簧力非線性項系數β和外加激振力F0取不同值時,系統在運行過程中蘊含豐富的非線性動力學行為。系統可能做單周期運動、倍周期運動,進而通向混沌運動。

5　電液伺服系統動態實驗

本節利用非線性動力學研究方法對實測的電液伺服系統的動態數據進行深入分析,以揭示非線性液壓彈簧力軟硬彈簧特性引起的“跳躍現象”。5.1實驗系統組成

本文實驗按圖9所示的系統原理搭建電液伺服系統振動測試實驗臺。該實驗系統可在不同供油壓力和負載壓力下采集電液伺服系統的狀態數據。系統通過調節溢流閥閥口開度來改變系統供油壓力；通過調節節流閥閥口開度來改變系統負載壓力，以實現系統外加阻尼大小的調整；用精密壓力表對系統進、回油路壓力進行監測;用振動加速度傳感器對執行機構軸向振動信號進行監測；用位移傳感器對執行機構實時位置進行監測;用數據采集卡采集傳感器輸出信號，并傳輸至計算機系統進行分析處理。

圖9　狀態監測及實驗系統原理圖

5.2振動信號的采集及處理

5.2.1振動信號的采集

在液壓缸活塞桿伸出運動狀態下,按表1所示的不同工況對液壓缸的不同工作狀態進行動態測試。其中,輸入信號為計算機控制系統給伺服放大器的電壓,以控制伺服閥的閥口開度。根據液壓缸無桿腔封閉液柱的相對受力情況將液壓彈簧的工作特性分為3類：全程軟彈簧、半程軟彈簧半程硬彈簧、全程硬彈簧。根據供油壓力和負載壓力大小將外加阻尼大小界定為4類：無、較小、適中、較大。固定輸入信號為0.2 V,調整主溢流閥及節流閥的閥口開度，使系統分別在表1所示

表1　不同供油壓力情況下執行機構工作狀態

的12種工況下運行。同時用振動加速度傳感器對液壓缸整個運行過程中的軸向振動信號進行采集，采樣頻率為10 kHz。

5.2.2振動信號的處理

采用圖10所示的數據處理方案對采集的振動加速度信號進行預處理，并采用非線性動力學研究方法中的時間歷程、頻閃采樣、功率譜圖等有效方法對預處理數據進行分析研究[16-17]。

圖10　數據處理方案

5.3實驗結果分析

供油壓力為8 MPa時,實驗結果如圖11～圖15所示[18]。圖11所示為供油壓力為8 MPa時,采用圖10所示的數據處理方案對采集的振動加速度信號進行處理所得到的振動位移信號的時域波形。比較4種工況可以發現,在整個運行過程中,振動幅值隨著活塞位移的變化而變化,其變化規律隨工況不同而存在明顯差異,這主要與液壓彈簧剛度隨位移變化有關。由此可以看出,在執行機構的運行過程中,系統動態性能隨活塞位移的變化而變化。

(a)負載壓力為0

(b)負載壓力為2 MPa

(c)負載壓力為4 MPa

(d)負載壓力為6 MPa圖11　振動位移信號時域波形

圖12～圖15為供油壓力為8 MPa時4種工況的分段功率譜圖。根據執行機構運行總時間長度，將其分成等分的4段:始段、中前段、中后段、終段。比較4種工況可以發現，振動能量值隨負載壓力的增大(系統阻尼增大)而逐漸降低，說明隨系統阻尼的增大，振動幅值被抑制。不同工況下，功率譜圖均由突跳部分和平緩波動段組成，說明均有“跳躍現象”的存在。由于彈簧力軟、硬特性交替，波動區覆蓋面較大，尖峰數量較多，間隔大小不均，較難分辨，說明“跳躍現象”發生在不同的頻率點上。

(a)始段(b)中前段

(c)中后段(d)終段圖12　負載壓力為0時分段功率譜圖

(a)始段(b)中前段

(c)中后段(d)終段圖13　負載壓力為2 MPa時分段功率譜圖

(a)始段(b)中前段

(c)中后段(d)終段圖14　負載壓力為4 MPa時分段功率譜圖

(a)始段(b)中前段

(c)中后段(d)終段圖15　負載壓力為6 MPa時的分段功率譜圖

圖16為供油壓力為8 MPa時4種工況的全程頻閃采樣圖。由圖16可知,每種工況都有1個極限環,工況1、2這主要是由于摩擦力作用引起的極限環型振蕩現象產生的。圖16a、圖16b(工況1、2)的輪廓邊界由許多離散點構成,圖16c、圖16d(工況3、4)的輪廓邊界比較清晰，這是因為工況1、2所受外加阻尼較小，發生了比較強烈的“跳躍現象”，工況3、4所受外加阻尼較大，“跳躍現象”受到了抑制。

(a)負載壓力為0(b)負載壓力為2 MPa

(c)負載壓力為4 MPa(d)負載壓力為6 MPa圖16　全程頻閃采樣圖

為了驗證上述所得結論的普遍性，采用與供油壓力為8 MPa時相同的數據處理方法，分別對供油壓力為6 MPa和4 MPa時的實驗數據進行了進一步的分析研究。通過比較分析，同樣可以得到非線性液壓彈簧力軟、硬彈簧特性會引發“跳躍現象”的結論。

6　結論

(1)電液伺服系統執行機構在運動過程中,液壓彈簧剛度隨活塞位移的變化而變化，根據工況不同呈現出軟彈簧特性或硬彈簧特性。

(2)液壓彈簧力的非線性作用可以用含阻尼的Duffing方程來描述，其軟硬彈簧特性決定了幅頻特性曲線峰值尾部的彎曲方向。阻尼的作用限制了共振振幅的無限上升。激勵頻率連續變化時，會發生振幅突然變化的“跳躍現象”。

(3)液壓彈簧力非線性項系數和外加激振力的大小影響系統的運動狀態。當二者參數取不同值時，系統可能做單周期運動、倍周期運動，進而通向混沌運動。

(4) 非線性液壓彈簧力的軟硬彈簧特性引發的“跳躍現象”會使系統響應穩定區域變得復雜，進而造成系統動態特性變得復雜和多變。因此在系統建模和動態特性研究時應該將液壓彈簧力的非線性作用考慮在內。

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ZhuYong,JiangWanlu,ZhengZhi.NonlinearDynamicBehaviorsofElectro-hydraulicServoSystemunderFriction[J].JournalofBeijingUniversityofAeronauticsandAstronautics,2015,41(1):50-57.

(編輯張洋)

Research on Influences of Nonlinear Hydraulic Spring Force on Nonlinear Dynamic Behaviors of Electro-hydraulic Servo System

Zhu Yong1,2Jiang Wanlu1,2Liu Siyuan1,2Zheng Zhi1,2

1.Hebei Provincial Key Laboratory of Heavy Machinery Fluid Power Transmission and Control,Yanshan University,Qinhuangdao,Hebei,066004 2.Key Laboratory of Advanced Forging & Stamping Technology and Science,Ministry of Education,Yanshan University,Qinhuangdao,Hebei,066004

With electro-hydraulic servo system as the research object,the influences of nonlinear HSF on system dynamic characteristics were explored.Based on the principles of the nonlinear dynamics,a dynamical model of the system was established.Then,a conclusion is indicated:the effects of nonlinear HSF can be described by Duffing equation.The bifurcation phenomenon and typical nonlinear dynamical behaviors which implied within system were revealed through numerical analyses.The measured dynamic data were thoroughly analyzed.The “jump phenomenon” caused by soft or hard spring property was revealed.The results indicate that the nonlinear effects of HSF can cause nonlinear vibration,and it should be taken into account in system modeling and dynamic characteristics research.

electro-hydraulic servo system;hydraulic spring force(HSF);jump phenomenon;bifurcation;chaos

2013-10-12

國家自然科學基金資助項目(51475405);國家重點基礎研究發展計劃(973計劃)資助項目(2014CB046405);河北省自然科學基金資助項目(E2013203161,E2013203114)

TH137；TH113DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.08.017

朱勇,男,1986年生。燕山大學機械工程學院博士研究生。主要研究方向為電液伺服系統非線性動力學行為及控制。發表論文10余篇。姜萬錄(通信作者),男,1964年生。燕山大學機械工程學院教授、博士研究生導師。獲國家科技進步二等獎2項，省部級科研獎7項。出版專著2部,發表論文180余篇。劉思遠,男,1981年生。燕山大學機械工程學院副教授。鄭直,男,1985年生。燕山大學機械工程學院博士研究生。