穩健寬帶波束形成器設計的低階統計量法*

任維怡　陳華偉　鮑　彧

（南京航空航天大學電子信息工程學院　南京　210016）

穩健寬帶波束形成器設計的低階統計量法*

任維怡陳華偉?鮑彧

（南京航空航天大學電子信息工程學院南京210016）

由于傳聲器陣列通常對陣元失配誤差較為敏感，因此穩健波束形成器的設計已成為傳聲器陣列處理領域的研究熱點之一。概率密度法是目前傳聲器陣列穩健波束形成器設計中的一類重要方法，但該方法所需的陣元失配誤差的概率密度信息在實際中較難獲取。針對這一問題，本文研究了基于陣元失配誤差低階統計量的穩健波束形成器設計方法，該方法僅利用在實際中較易獲取的陣元失配誤差的一階和二階統計量信息。本文分別研究了基于陣元失配誤差低階統計量的固定權和變加權最小二乘波束形成器設計，給出了兩種波束形成器的相關設計理論。理論和仿真分析表明，在小誤差條件下，低階統計量法所設計的波束形成器仍保持與概率密度法相當的性能。

寬帶波束形成，傳聲器陣列，穩健性

1　引言

波束形成是陣列信號處理領域的關鍵技術之一，廣泛應用于雷達、聲吶、無線通信、地質勘探、醫學成像、射電天文學等多個領域［1-3］。傳聲器陣列波束形成源于陣列天線波束形成的思想，改變了傳統的單傳聲器處理模式。傳統的單傳聲器處理模式僅在時頻域對聲信號進行處理，而傳聲器陣列還可在空域對聲信號進行處理，實現時域-頻域-空域聯合處理。因此傳聲器陣列波束形成可以獲得更好的性能，成為近年來音頻和語音信號處理領域的研究熱點之一。

傳聲器陣列波束形成器本質上可以看作空域濾波器。根據所處理信號頻帶寬度的不同，波束形成器可分為窄帶和寬帶波束形成器兩大類。對于音頻和語音等寬帶信號，在實際中需要采用寬帶波束形成器進行處理［4］，因而傳聲器陣列波束形成大多采用寬帶波束形成器。經典的寬帶波束形成器設計方法包括頻域和時域實現方法等，這些方法設計出的波束形成器在理想情況下均能獲得較好的性能。然而，當傳聲器陣元存在失配誤差時，如傳聲器的增益、相位和位置誤差，使用這些經典方法設計出的波束形成器的性能會顯著下降，尤其對于小型傳聲器陣列［5-6］。因此設計出穩健的寬帶波束形成器在實際應用中具有重要意義。

已有的穩健波束形成器設計方法有白噪聲增益約束法、概率密度法等。白噪聲增益約束法需要設置門限值對白噪聲增益進行約束，但如何根據給定的傳聲器失配誤差選取合理的門限值是該方法存在的一個難點。為此，文獻［7］提出了概率密度法，根據陣元的失配誤差概率密度函數信息進行穩健波束形成器設計，從而避免了白噪聲增益約束法中門限值選取的難題。在該思想的基礎上，近年來許多研究者又進一步發展了該方法［7-12］。雖然概率密度法有效解決了寬帶波束形成器的穩健設計問題，但在實際應用中，傳聲器陣元失配誤差的概率密度函數較難獲取，一定程度上影響了該方法的實用性。針對這一問題，本文研究了基于陣元失配誤差低階統計量的方法，僅利用實際中較易獲取的陣元失配誤差的一階和二階統計量信息。我們分別研究了基于陣元失配誤差低階統計量的固定權和變加權最小二乘寬帶波束形成器的設計，給出了這兩類波束形成器的設計理論。理論分析和仿真結果表明，在小誤差條件下，雖然低階統計量法只利用了失配誤差的低階統計量信息，但所設計的波束形成器仍保持與概率密度法相當的性能。

2　研究背景

2.1陣列數學模型

考慮如圖1所示的濾波求和時域寬帶波束形成器結構，傳聲器陣列為M個傳聲器組成的均勻線陣列，陣元為具有平坦頻率響應1的全向傳聲器，后接的有限沖激響應（Finite impulse response，FIR）濾波器的抽頭數為L，采樣頻率為fs。當聲源信號s（ω）（ω=2πf/fs為歸一化頻率，f為頻率）從陣列的θ角方向入射時，波束形成器的空間響應為

圖1　時域寬帶波束形成器結構圖Fig.1 Time-domain broadband beamformer configuration

式（1）中，w為寬帶波束形成器的權值，g（ω，θ）表示陣列的導向矢量，（·）T表示矩陣轉置。寬帶波束形成器的權值為其中，am表示第m個傳聲器的增益特性，γm表示第m個傳聲器的相位特性。傳聲器特性參數給定時，導向矢量（ω，θ）可以寫成：

A是由傳聲器特性參數組成的ML×ML維的對角矩陣：

其中，IL是L維的單位矩陣。由式（1）和式（5），給定傳聲器特性參數時的波束響應為

2.2基于失配誤差概率密度函數的穩健寬帶波束

形成器設計

在寬帶波束形成器的設計中，根據不同的代價函數可以設計不同性能的波束形成器。由于加權最小二乘法具有無需迭代、計算復雜度低等優點［13］，文獻［7］根據平均性能最優的準則設計了加權最小二乘法穩健寬帶波束形成器，即概率密度法。當傳聲器陣元存在增益和相位誤差時，其代價函數為

F（ω，θ）為加權函數，用來控制各空間頻點對應誤差權重的大小，D（ω，θ）為期望波束響應。fA（A）是隨機變量A=ae-jγ的概率密度函數，即隨機變量a（增益）和γ（相位）的聯合概率密度函數，fA（A）= fα，r（a，γ）。如文獻［7］，假設fA（A）與頻率和角度無關，且所有的傳聲器特性Am，m=1，2，…，M具有相同的概率密度函數fA（A），并假設a和γ是相互獨立的隨機變量，則fA（A）=fα（a）fr（γ），其中fα（a）是增益的概率密度函數，fr（γ）是相位的概率密度函數。

3　基于失配誤差低階統計量的穩健寬帶波束形成器設計

3.1固定加權最小二乘法

正如前文所述，采用概率密度法設計的穩健寬帶波束形成器可以減小陣元增益和相位誤差對波束形成器性能的影響，但概率密度函數信息在實際中較難獲取，而一階和二階統計量信息較易獲取。基于此，本節將探討根據陣元失配誤差的低階統計量設計穩健寬帶波束形成器的問題。

對于失配誤差較小的情況，根據式（4），傳聲器特性參數的一階泰勒近似可表示：

特別地，根據式（10）、式（11）和式（28）、式（29）可以得出，當傳聲器陣元只存在增益誤差時，概率密度法和低階統計量法設計出的穩健寬帶波束形成器具有相同的權系數，即兩者等價。綜上所述，基于傳聲器失配誤差低階統計量的穩健寬帶波束形成器的設計步驟如表1所示。

表1　低階統計量法穩健寬帶波束形成器的設計步驟Table 1 Design procedure of robust broadband beamformers using lowerorder statistics

根據式（28）和式（29）可知，通過該方法設計穩健寬帶波束形成器時，需要利用傳聲器陣元增益和相位的一階、二階統計量，而根據式（10）和式（11）可知，概率密度法除了需要知道傳聲器陣元增益的一階、二階統計量外，還需要知道相位的概率密度函數信息。相比較而言，一階和二階統計量比概率密度函數更容易獲取，因此，本文研究的低階統計量法比概率密度法的實用性要強。

3.2變加權最小二乘法

在固定加權的最小二乘波束形成器設計中，加權函數F（ω，θ）是固定的常數，未在不同的空間頻點處對誤差權重進行控制，波束形成設計的自由度沒有得到充分利用。研究表明，通過優化加權函數F（ω，θ）可以充分利用波束形成設計的自由度，從而進一步提高波束形成器的性能［8］。由于加權函數F（ω，θ）是非線性、非凸的，給加權函數的優化設計帶來了困難。而從自適應陣列理論的觀點來看待這個問題時，可以把加權函數F（ω，θ）看作從角度θ方向入射到陣列上的頻率為ω的干擾信號的強度。一個自適應陣列對一個干擾信號的響應取決于該干擾信號的強度：干擾信號越強，所得波束圖的增益越低［14］。因此，通過控制加權函數F（ω，θ），即變加權最小二乘法，可以實現對寬帶波束形成器的通帶賦形。

文獻［8］的研究結果表明，概率密度法穩健寬帶波束形成器的代價函數可以表示成Tikhonov正則化的形式。類似地，低階統計量法的代價函數也可以表示成Tikhonov正則化的形式，即對應的代價函數式（17）與式（30）等價：

本節將采用迭代的方法設計變加權穩健寬帶波束形成器，并保持阻帶處于較低的增益水平，同時假設期望方向的波束響應為實數。在通帶范圍內，加權函數Fp（ω，θ）為［14］

其中，i表示第i次迭代，ε是事先設定的通帶內設計波束響應與期望波束響應間的允許誤差；Kp是通帶內的迭代增益。wTR（i）是第i次迭代時得到的權值。

在阻帶范圍內，加權函數Fs（ω，θ）為

綜上，基于低階統計量的變加權最小二乘穩健寬帶波束形成器的設計步驟如表2所示。

表2　低階統計量法通帶賦形穩健寬帶波束形成器的設計步驟Table 2 Design procedure of robust broadband beamformers with passband shaping using lower-order statistics

3.3與概率密度法的關系討論

根據文獻［8］和第3.2節的分析，我們知道，概率密度法和低階統計量法的代價函數均可寫成Tikhonov正則化的形式。下面，我們通過比較這兩種方法的代價函數對所設計的波束形成器的性能進行分析。

概率密度法的代價函數式（8）表示成Tikhonov正則化的形式為［8］

由上述分析可知，雖然低階統計量法只利用了陣元失配誤差的低階統計量信息，但所設計的代價函數與概率密度法代價函數相當，從而兩種方法所設計波束形成器的波束圖和穩健性相當。該結論進一步說明，在小誤差條件下，陣元失配誤差的高階統計量信息在設計穩健波束形成器時是冗余的。因此，與概率密度法相比，低階統計量法在保證所設計波束形成器的性能相當的條件下，實用性更強。

4　仿真實驗與分析

4.1仿真實驗I

本節對基于低階統計量的固定加權最小二乘波束形成器進行仿真，并與概率密度法進行性能比較。設感興趣的信號頻率范圍為f=［500，4000］Hz，采樣頻率fs=8000 Hz，通帶范圍為［70°，110°］，阻帶范圍為［0°，50°］∪［130°，180°］，聲速c=340 m/s。假設傳聲器個數M=10，每個傳聲器的間隔為d=0.04 m。FIR濾波器抽頭的個數與波束形成器的性能和實現復雜度有關：通常情況下，抽頭個數越多，波束形成器性能越好，但實現復雜度也會增加，反之亦然［15］。為降低波束形成器的復雜度，同時保證波束形成器正常工作，本文設計抽頭數L=20。以失配誤差均勻分布的傳聲器為例，比較概率密度法和低階統計量法所設計波束形成器的性能。仿真結果均由100次蒙特卡洛實驗獲得。當陣元的增益誤差范圍為=［-0.15，0.15］，相位誤差范圍為=［-5°，5°］，非穩健最小二乘法設計的寬帶波束形成器的波束圖如圖2所示，第2.2節概率密度法設計的穩健寬帶波束形成器的波束圖如圖3所示，第3.1節低階統計量法設計的穩健寬帶波束形成器波束圖如圖4所示。

對比圖2～4可看出，當傳聲器陣元存在失配誤差時，非穩健最小二乘法設計的寬帶波束形成器已失效；而穩健寬帶波束形成器則可以正常工作，有效降低了波束形成器對陣元失配誤差的敏感性。

當改變每個陣元所接的FIR濾波器抽頭數和陣元失配誤差分布范圍時，采用概率密度法和低階統計量法設計的穩健寬帶波束圖的性能如表3所示。由圖3～4和表3的仿真結果可以看出，在傳聲器存在失配誤差時，兩種方法均具有良好的穩健性能，并且設計出的波束圖性能相當，與3.3節得出的結論一致。

圖2　非穩健最小二乘法設計的波束圖Fig.2 Beampatterns of the non-robust least squares design

圖3　概率密度法設計的波束圖Fig.3 Beampatterns of the probability density design

圖4　低階統計量法設計的波束圖Fig.4 Beampatterns of the lower-order statistics design

由于低階統計量法和概率密度法都是穩健的設計方法，而白噪聲增益可以表征波束形成器的穩健性能：白噪聲增益越大，穩健性能越好。因此我們通過比較這兩種方法的白噪聲增益來判斷兩種方法的穩健性能。寬帶波束形成的白噪聲增益定義為［16］

其中，g（ω，θs）表示期望方向θs的導向矢量。根據概率密度法和低階統計量法計算出的權值w，可以分別計算這兩種方法的白噪聲增益。仿真結果表明，在通帶范圍的任意角度上，兩種方法的白噪聲增益具有相似的變化規律。因此本仿真實驗以θs=90°為例，畫出失配誤差在3種不同范圍內的白噪聲增益曲線如圖5所示。根據圖5可知，兩種方法的白噪聲增益曲線基本重合，因此兩種方法的穩健性能相當，與3.3節得出的結論也是一致的。

表3　兩種穩健設計方法在不同條件下的結果Table 3 Results of two robust design methods under different conditions

圖5　概率密度法與低階統計量法的白噪聲增益曲線（θs=90°）Fig.5 White noise gain curves of the probability density and the lower-order statistics design（θs=90°）

4.2 仿真實驗II

本節對低階統計量法設計的具有通帶賦形能力的變加權最小二乘波束形成器進行仿真，并與具有通帶賦形能力的概率密度法進行性能比較。類似仿真實驗I的仿真條件，設感興趣信號的頻率范圍為f=［500，4000］Hz，采樣頻率fs=8000 Hz，聲速c=340 m/s，傳聲器個數M=10，每個傳聲器的間隔為d=0.04 m，FIR濾波器抽頭數L=20?？紤]波束形成器的通帶范圍為［70°，110°］，阻帶范圍為［0°，50°］∪［130°，180°］，設置通帶增益為1，即平頂通帶寬帶波束形成器。假設陣元的增益誤差范圍為=［-0.15，0.15］，相位誤差范圍為=［-5°，5°］，以失配誤差均勻分布的傳聲器為例，比較兩種通帶賦形波束形成器的性能。仿真結果均由100次蒙特卡洛實驗獲得。圖6所示為非穩健最小二乘法通帶賦形后的波束圖，圖7所示為概率密度法通帶賦形后的波束圖。當對低階統計量法設計的穩健寬帶波束形成器進行通帶賦形時，設置最大迭代次數T0=100，Kp=2000，Ks=1，ε=1×10-5，所得波束圖如圖8所示。

圖6　非穩健通帶賦形最小二乘法的波束圖Fig.6 Beampatterns of the non-robust least squares design with passband shaping

圖7　通帶賦形概率密度法的波束圖Fig.7 Beampatterns of the probability density design with passband shaping

對比圖6～8可以看出，當傳聲器陣元存在失配誤差時，通帶賦形后的非穩健最小二乘法仍然無法進行波束形成，而穩健的設計方法減小了陣元失配誤差對波束形成器性能的影響。對比圖4和圖8可以看出，通帶賦形優化技術不僅可以用于概率密度法，還可以用于低階統計量法的設計中。對穩健寬帶波束形成器進行通帶賦形后，所得的波束響應更接近設置的期望響應D（ω，θ），通帶范圍內的最大波動得到降低：圖4的通帶最大波動為4.32 dB，而圖8的通帶最大波動僅為1.29 dB。

當分別改變每個陣元所接的FIR濾波器抽頭數和陣元失配誤差分布范圍時，經過通帶賦形技術所得概率密度法和低階統計量法設計的穩健寬帶波束形成器的波束圖性能如表4所示。由表4可以看出，通帶賦形低階統計量法設計的波束圖性能與通帶賦形概率密度法相當。同固定加權最小二乘波束形成器類似，我們將通帶賦形低階統計量法和通帶賦形概率密度法的白噪聲增益進行對比，取θs=90°，失配誤差在3種不同范圍內所得白噪聲增益曲線如圖9所示。根據圖9可以看出，通帶賦形低階統計量法的白噪聲增益曲線與通帶賦形概率密度法基本重合。因此，通帶賦形低階統計量法的穩健性能與通帶賦形概率密度法相當。

圖8　通帶賦形低階統計量法的波束圖Fig.8 Beampatterns of the lower-order statistics design with passband shaping

圖9　通帶賦形后，概率密度法與低階統計量法的白噪聲增益曲線（θs=90°）Fig.9 White noise gain curves of the probability density and the lower-order statistics design with passband shaping（θs=90°）

表4　兩種通帶賦形穩健設計方法在不同條件下的結果Table 4 Results of two robust design methods with passband shaping under different conditions

5　結論

本文研究了在傳聲器陣元存在失配誤差情況下穩健寬帶波束形成器的設計問題。針對概率密度法的失配誤差概率密度函數信息在實際中較難獲取的問題，本文提出了僅利用傳聲器陣元失配誤差的低階統計量信息設計穩健寬帶波束形成器的方法，分別給出了固定權最小二乘和具有通帶賦形能力的變加權最小二乘寬帶波束形成器的設計理論。理論和仿真分析表明，在小誤差條件下，概率密度法和低階統計量法設計的波束形成器的波束圖和穩健性能相當，從而進一步說明，陣元失配誤差的高階統計量信息在穩健波束形成器的設計中是冗余的。在實際中，由于一階和二階統計量較概率密度信息更易獲取，因此低階統計量法的實用性要優于概率密度法。

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Design of robust broadband beamformers based on lower-order statistics method

REN WeiyiCHEN HuaweiBAO Yu
（Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，College of Electronic and Information Engineering，Nanjing 210016，China）

Since microphone arrays are highly sensitive to microphone mismatch errors，robust beamformer design has been studied extensively in the microphone array processing field.At present，the probability density function（PDF）based method is one of the important methods in robust beamformer design for microphone arrays.However，the PDF of microphone mismatch errors cannot be easily obtained in practice.To overcome this drawback，this paper studies a robust design method based on lower-order statistics of microphone mismatch errors.The proposed method uses only the first-and second-order statistics which are easier to obtain in practice.The design methodologies for fixed-weighted and varying-weighted least squares beamformers based on lower-order statistics of microphone mismatch errors are presented，respectively.Theoretical and simulation analysis show that the performance of the proposed beamformers is comparable to that of the beamformers designed via the PDF method under the condition of small microphone mismatch errors.

Broadband beamforming，Microphone array，Robustness

TN912

A

1000-310X（2015）05-0413-12

10.11684/j.issn.1000-310X.2015.05.006

2015-04-02收稿；2015-07-04定稿

*國家自然科學基金資助項目（61001150，61471190），教育部留學回國人員科研啟動基金資助項目，中央高?；究蒲袠I務費資助項目（NS2014041）

任維怡（1991-），女，江蘇南通人，碩士研究生，研究方向：陣列信號與信息處理。

E-mail：hwchen@nuaa.edu.cn