面向連續短線段高速加工的圓弧轉接前瞻控制算法

張　君　張立強　張　凱

上海工程技術大學，上海，201620

面向連續短線段高速加工的圓弧轉接前瞻控制算法

張君張立強張凱

上海工程技術大學，上海，201620

針對連續短線段高速加工中速度和加速度突變會引起機床運動不平穩的問題，提出在相鄰線段間構建滿足精度且曲率連續的NURBS圓弧過渡路徑，以實現拐角平滑轉接的方法。在此基礎上，提出一種圓弧過渡前瞻控制算法，采用7段和5段混合的雙向S形加減速控制算法進行速度規劃，旨在滿足弦高誤差和機床動力學條件下獲得最大轉接速度，避免電機頻繁啟停，實現速度、加速度的連續高速平滑轉接，大大減少了對機床的沖擊。算例表明，該算法能獲得更高更平穩的轉接速度，可有效提高加工效率和加工質量，滿足高速加工的需求。

高速加工；平滑轉接；圓弧過渡；前瞻控制

0　引言

高速高精度數控加工主要應用于由復雜曲線曲面離散形成的一系列連續短線段的加工[1]。數控系統在對連續短線段進行加工時，應用較多的方法是保持原加工路徑不變，在相鄰轉接處滿足速度約束條件下，以一定的速度直接加工下一路徑段[2-3]。雖然該方法避免了在每段路徑轉接處降速為零，實現速度連續變化，但是其轉接速度往往不高，導致加工效率低，同時在轉接處加速度的突變會對機床造成沖擊，影響工件的加工質量，因此，如何在保證轉接速度盡可能大的條件下進行速度平滑過渡處理，實現速度和加速度的連續變化，最大限度地提高加工效率和加工質量，已成為高速高精度數控加工的一項關鍵技術。

為了攻克這一技術難題，國內外許多學者都對其進行了研究。張得禮等[4]提出通過構建假設圓弧的過渡方法來處理相鄰直線段轉接處的速度問題。由于參數曲線直接插補具有速度平滑、數據儲存少、易表達實現等諸多優點，越來越多的學者開始將貝齊爾曲線、B樣條曲線和NURBS曲線等各種形式的參數曲線應用于連續線段加工中。何均等[5]提出在相鄰直線段中插入Ferguson樣條來實現微段的高速拐角過渡方法。冷洪濱等[6]建立了基于三次多項式的加減速控制模型，提出一種實現前瞻插補預處理和實時參數化插補的高速自適應前瞻插補方法。張曉輝等[7]在考慮曲率連續的條件下，建立了五次拐角曲線過渡模型，并提出了基于此曲線的過渡插補算法。黃建等[3]通過在相鄰轉接段建立可調形的三次插值樣條曲線，避免了減速為零，以較為平穩的加工速度，實現了拐角平滑過渡。Bi等[8]通過在轉接段處插入曲率連續的三次貝齊爾樣條曲線進行了拐角平滑過渡處理。Zhao等[9]構建了滿足曲率連續的B樣條拐角過渡曲線，并提出了相應的前瞻控制算法。

目前我國多數數控機床只支持直線和圓弧插補，只有少數高端機床才能進行參數曲線插補，雖然上述參數曲線法能夠實現拐角的平滑過渡，卻不能廣泛地應用于數控系統。因此，本文建立了二次NURBS曲線表示的圓弧過渡模型，插入的圓弧模型同時支持圓弧插補和NURBS插補，通用性強，且滿足曲率連續要求，能夠實現短線段間平滑轉接。基于該模型，提出一種采用7段和5段混合雙向S形加減速圓弧前瞻控制算法，進行速度規劃，獲得速度和位移信息，實現速度和加速度的連續平滑過渡，有效避免了速度和加速度突變引起的機床振動和沖擊。最后結合短線段加工仿真對上述模型和算法進行了分析和驗證。

1　拐角圓弧過渡模型

圓弧可由二次及以上的NURBS曲線[10]表示。高次NURBS曲線往往用來擬合特殊的組合曲線等，需要更多的控制頂點和權因子，實時運算能力要求較高。因此，本文使用二次NURBS曲線表示的圓弧，對相鄰線段拐角進行平滑過渡。

如圖1所示，二次NURBS曲線表示的圓弧C(u)，作為拐角過渡曲線連接兩相鄰加工路徑Q0Q1和Q1Q2。控制點為P0、P1、P2，P0P1和P1P2分別與圓弧相切于點P0和點P2且邊長相等。正權因子為w0=w2=1，w1=cos(θi/2)。節點矢量U=(0,0,0,1,1,1)。此時，圓弧也可看作是由二次NURBS曲線的特例標準有理二次Bézier曲線表示。∠Q0Q1Q2的角平分線Q1O1過圓弧圓心O1，相交于圓弧中點B1。可得二次NURBS圓弧表達式為

(1)

0≤u≤1

圖的二次NURBS圓弧

圖的二次NURBS圓弧

利用上節有理二次Bézier曲線的結果，在節點矢量中插入一個節點u=0.5，可以得到新的二次NURBS曲線表示的圓弧，如圖2所示。正權因子為w0=w3=1，w1=w2=cos2(θ/4)。節點矢量為U=(0,0,0,0.5,1,1,1)。控制多邊形頂點為P0、P1、P2、P3。P0P1與P2P3分別在相鄰加工路徑段Q0Q1和Q1Q2上，分別與圓弧相切于點P0和點P3。P0Q1和Q1P3邊長相等。直線P1P2相切于圓弧中點B1。P0P1和P2P3邊長相等，且為邊P1P2長度的一半，即lP1P2=2lP0P1=2lP2P3。可得二次NURBS圓弧表達式為

(2)

1.3曲率連續

通常用幾何連續(Gd，d表示次數)來評估加工路徑的光順性。若路徑滿足曲率連續即G2連續，即兩條連續曲線在端點處有相同的坐標和相同的切線向量，并且曲率中心重合，則能有效避免速度和加速度突變引起的機床振動和沖擊，實現轉接平滑過渡。由上文知道，二次NURBS圓弧在各接合點處切線向量重合，曲率中心就是圓心。因此，過渡圓弧是處處曲率連續的。

2　圓弧過渡前瞻控制

連續線段高速加工過程中，相鄰線段拐角處加工路徑會發生突變，如果不對加工速度進行提前規劃控制，就可能由于超出機床加減速的限制，使刀具產生過切，影響加工質量和進給平穩性。

因此，必須加入前瞻處理功能提前獲得各路徑的速度信息、變速點位置信息，及時調整加工速度，使速度的變化能滿足數控系統的限定和加工路徑的變化。本文提出的前瞻控制處理主要實現三個功能:構建基于二次NURBS曲線表示的圓弧過渡段，獲得弦高誤差和機床動力學限制條件下的最優圓弧轉接速度以及實現加工直線段與圓弧轉接段的加減速控制。前瞻控制流程圖如圖3所示。

圖3　圓弧過渡前瞻控制流程

2.1圓弧的構建

圖4　圓弧過渡路徑分析

(1)由各轉接點數據Qi得到相鄰微段夾角θi，根據夾角范圍確定所用圓弧模型；

(3)得到各控制點Pi，根據式(1)、式(2)求出NURBS圓弧C(u)。 其中，相鄰線段夾角為

(3)

(4)

NURBS圓弧的半徑ri為

(5)

2.2轉接速度的確定

在加工過渡圓弧過程中，轉接速度必須在弦高誤差和機床動力學特性兩方面的允許范圍內。圓弧插補時的弦高誤差εi,2為

(6)

式中，vi,2為弦高誤差限制下的加工速度；T為插補周期。

由式(6)反求,得到在弦高誤差限制下的加工速度為

(7)

當刀具加工拐角圓弧時，加工速度會受到法向加速度的作用，為防止加工速度超出加速度的限制，設機床提供的最大加速度為amax，則在機床動力學特性限制下的加工速度vi,1需滿足：

(8)

過渡圓弧的轉接速度既要滿足弦高誤差的精度要求和機床動力學特性的限制，又要滿足機床編程進給速度vf的約束，避免頻繁地加減速。因此，轉接速度應為三者限制條件下速度最小的一個，即

vi=min(vi,1,vi,2,vf)

(9)

2.3圓弧過渡速度平滑處理

2.3.1混合S形雙向加減速控制算法

由于加工直線段的機床編程速度和圓弧轉接速度不一致，故加工各短線段時需要進行加減速的規劃控制，以保證加工速度的平滑過渡。根據相鄰圓弧轉接速度vi、vi+1和編程速度vf以及加工直線段長度lQiQi+1的具體情況不同，在進行速度平滑調整時需要考慮七種加減速方式，分別是：只有加速區，只有減速區，只有勻速區，同時有加速區和減速區，同時有加速區、勻速區和減速區，同時有加速區和勻速區，同時有勻速區和減速區。目前比較常用的控制算法有：直線加減速法[2]、S形加減速法[4,11]、多項式加減速法[6]等。

S形加減速法具有柔性好、能實現速度和加速度的連續變化、加工質量高等特點，已成為加減速算法的主要研究方向之一。S形加減速算法又分為7段加減速法和5段加減速法，5段加減速法是在7段加減速法的基礎上去掉勻加速段和勻減速段得到的。7段S形加減速算法分段方程較多，計算量大，算法實現較復雜。5段S形加減速算法雖然在一定程度上實現了算法的簡化，但該算法的加速度是時刻變化的，不能恒定在某一個較高值，導致速度變化較慢，會花費更多的加減速時間。故采用7段和5段混合的S形加減速控制算法更為合理，既兼顧了加工效率又能減少計算量。由S形加減速中加速段和減速段的對稱性可知，其減速段可以看作反向加速段，這樣在加減速規劃中相當于只有加速段，從而簡化了方程，如圖5所示。

(a)有勻速區

(b)沒有勻速區圖5　S形加減速

本文給出基于7段和5段混合的雙向S形加減速控制算法。其基本思想是：對于第i+1段路徑，首末速度為vi、vi+1，分別從正反兩個方向加速到最大速度v，通過比較兩加速段位移Sa、Sb與路徑長度S的大小來判斷速度曲線的類型。在實際應用中，因系統不能預先確定加工速度能否達到編程速度，故無法確定加減速的計算表達式。此時，可以先假設加工速度能夠達到編程速度，再根據速度、位移的比較來確定所需加減速類型和對應計算方程。算法流程如圖6所示，其中，①表示速度曲線為速度能達到vf的先加速再勻速再減速的運動曲線。②表示若Sa+Sb>S，則令Sa+Sb=S，按最大速度v小于vf的情況重新計算各速度參數，速度曲線為先加速再減速曲線。③表示勻速運動。④表示若SaS,則令Sa=S，按只有加速區重新計算各速度參數。⑤表示若SbS,則令Sb=S，按只有反向加速區重新計算各速度參數。⑥表示速度曲線為恰能達到vf的先加速再減速曲線。

圖6　混合雙向S形加減速控制算法流程

2.3.2加速段各速度參數的確定

以正向加速段為例進行分析，設機床加加速度為J，速度變化量Δv=v-vi(v為vf時速度變化量最大)。由于7段加減速法和5段加減速法的位移計算公式不同，因而7段和5段的混合加減速法的關鍵是確定位移方程。由S形曲線加減速的表達式可知，5段加減速法的加速段滿足Δv=a2/J，而7段加減速法中Δv>a2/J。因此，通過比較Δv和a2/J可以確定位移的計算公式為

(10)

具體算法如下：

2.3.3S形加減速各類型及參數的確定

S形加減速算法計算復雜的一個原因就是：不同長度的加工路徑對應的加減速曲線類型不同。當路徑長度足夠長時，加工速度能夠達到編程速度，速度曲線中存在勻速段；當路徑較短時，加工速度為小于編程速度的某一值，速度曲線中沒有勻速段。

(2)加工速度不能達到編程速度的情況。若加工速度能夠達到編程速度時有Sa+Sb>S，則只有最大加工速度小于vf時才有Sa+Sb=S，此時速度曲線中沒有勻速段，需要重新計算各速度參數使位移滿足Sa+Sb=S。由于最大加工速度v是未知的，所以導致Δv和a2/J的關系不確定，因而位移表達式有多種可能形式。為了簡化計算可能性，明確位移公式，設Δv和a2/J恰好滿足5段加減速算法，可得加速區和減速區速度增量公式為

(11)

位移公式為

(12)

3　仿真分析

為了驗證所提算法的正確性和可行性，對圖7所示短線段路徑進行分析。設置數控加工參數:機床最大加工速度vf=100 mm/s，最大加速度amax=3000 mm/s2，默認加加速度J=300 m/s3，插補周期T=2 ms，最大輪廓誤差εi,1=0.5 mm，最大弦高誤差εi,2=0.002 mm。

圖7　路徑轉接對比

對轉接路徑進行前瞻控制分析，所得數據見表1，本文以路徑段1為例來說明算法的有效性。

表1　前瞻控制算法數據

通過MATLAB軟件進行仿真驗證，可得采用本文NURBS圓弧過渡前瞻控制算法和對未進行拐角轉接過渡的直線路徑分別采用直線加減速控制算法、S形加減速控制算法(二者統稱直接過渡法)三種加工方式下的加工誤差對比圖(圖8)、速度曲線對比圖(圖9)和加速度曲線對比圖(圖10)。由圖7可知，插入的圓弧使拐角轉接路徑更加光順，避免了直接加工拐角，大大減輕了加工拐角時機床的振動和沖擊，提高了工件加工質量。由圖8分析知，雖然在拐角處會產生輪廓誤差，但是本文算法的誤差在最大加工誤差0.5mm的控制范圍內，因而能夠滿足工件的加工精度要求。由圖9可知，采用本文圓弧過渡前瞻控制算法相比另外兩種算法能夠以較高的速度實現拐角平滑過渡，加工時間分別縮短0.032s、 0.068s，加工效率分別提高8%、15.5%。尤其是夾角在[90°，180°)范圍時，角度越大，轉接速度越快[6]，例如Q3點處的轉接速度為最大加工速度100mm/s，避免了系統頻繁的加減速，加工效率更高。高速加工中相鄰線段的夾角一般都處于[90°，180°)范圍內，可見隨著加工路徑的增多，加工效率的提升必將更加明顯。由圖9、圖10、表2知，采用本文算法可以實現加速度、速度的連續平滑轉接，因而能夠有效避免加速度和速度突變引起的刀具振動、過切，大大提高零件加工質量。直線加減速法雖然能實現速度平滑，但是加速度的躍變會引起刀具劇烈振動，極大地影響加工質量。雖然采用S形加減速法亦可實現加速度、速度的平滑轉接，但是頻繁地減速且轉接速度不高會使得加工效率不高。

圖8　加工誤差對比

圖9　速度曲線對比

圖10　加速度曲線對比

算法振動情況路徑段內路徑段間加工時間t(s)本文算法無輕微0.370S形加減速無明顯0.438直線加減速明顯劇烈0.402

綜上可知，NURBS圓弧過渡前瞻控制算法有效且可行，相比直接過渡法能夠有效提高加工效率，改善零件加工質量。

4　結語

本文建立了基于二次NURBS圓弧擬合的拐角過渡模型，該模型滿足曲率連續的條件，能顯著減小速度波動和機床振動，保證速度平滑轉接，支持圓弧插補，實用性強。基于該模型，提出了一種圓弧過渡前瞻控制算法。該算法在滿足加工精度和機床動力學的限制下，能夠獲得最優圓弧轉接速度，采用7段和5段混合的雙向S形加減速算法進行微線段與圓弧轉接段的加減速控制規劃，實現加速度、速度的連續高速平滑過渡，大大提高了加工效率和加工質量。仿真對比結果表明該算法有效且可行，能夠滿足連續短線段高速加工的需求。

[1]葉佩青, 趙慎良. 微小直線段的連續插補控制算法研究[J]. 中國機械工程, 2004, 15(15): 1354-1356.

YePeiqing,ZhaoShenliang.StudyonControlAlgorithmforMicro-lineContinuousInterpolation[J].ChinaMechanicalEngineering, 2004, 15(15): 1354-1356.

[2]HuJun,XiaoLingjian,WangYuhan,etal.AnOptimalFeedrateModelandSolutionAlgorithmforHighSpeedMachineofSmallLineBlockswithLook-ahead[J].InternationalJournalofAdvancedManufacturingTechnology, 2006, 28(9): 930-935.

[3]黃建, 宋愛平, 陶建明, 等. 數控運動相鄰加工段拐角的平滑轉接方法[J]. 上海交通大學學報, 2013, 47(5): 734-739.

HuangJian,SongAiping,TaoJianming,etal.SmoothingTransferfortheCornerofAdjacentNCProcessingSegment[J].JournalofShanghaiJiaotongUniversity, 2013, 47(5): 734-739.

[4]張得禮, 周來水. 數控加工運動的平滑處理[J]. 航空學報, 2006, 27(1): 125-130.

ZhangDeli,ZhouLaishui.AdaptiveAlgorithmforFeedrateSmoothingofHighSpeedMachining[J].ActaAeronauticaetAstronauticaSinica, 2006, 27(1): 125-130.

[5]何均, 游有鵬, 王化明. 面向微線段高速加工的Ferguson樣條過渡算法[J]. 中國機械工程, 2008, 19(17): 2085-2089.

HeJun,YouYoupeng,WangHuaming.AMicro-lineTransitionAlgorithmBasedonFergusonSplineforHighSpeedMachining(HSM)[J].ChinaMechanicalEngineering, 2008, 19(17): 2085-2089.

[6]冷洪濱, 鄔義杰, 潘曉弘. 三次多項式型微段高速自適應前瞻插補方法[J]. 機械工程學報, 2009, 45(6): 73-79.

LengHongbin,WuYijie,PanXiaohong.AdaptiveProspectiveInterpolationMethodforHighSpeedMachiningofMicroLineBlocksBasedontheCubicPolynomialModel[J].JournalofMechanicalEngineering, 2009, 45(6): 73-79.

[7]張曉輝, 于東, 楊東升, 等. 面向微線段高速加工的拐角曲線過渡插補算法[J]. 機械工程學報, 2010, 46(19): 183-191.

ZhangXiaohui,YuDong,YangDongsheng,etal.CornerCurveTransitionInterpolationAlgorithmforHighSpeedMachiningofMicro-lineSegment[J].JournalofMechanicalEngineering, 2010, 46(19): 183-191.

[8]BiQingzhen,JinYongqiao,WangYuhan,etal.AnAnalyticalCurvature-continuousBézierTransitionAlgorithmforaLinearToolPath[J].InternationalJournalofMachineTools&Manufacture, 2012,57: 55-65.

[9]ZhaoHuan,ZhuLimin,DingHan.AReal-timeLook-aheadInterpolationMethodologywithCurvature-continuousB-splineTransitionSchemeforCNCMachiningofShortlineSegments[J].InternationalJournalofMachineTools&Manufacture, 2013,65: 88-98.

[10]施法中. 計算機輔助幾何設計與非均勻有理B樣條[M]. 北京: 高等教育出版社, 2001.

[11]朱明, 游有鵬, 何均.S形加減速算法前瞻處理研究[J]. 組合機床與自動化加工技術, 2011, 32(10): 2140-2144.

ZhuMing,YouYoupeng,HeJun.ResearchonS-shapeAcceleration/DecelerationAlgorithminLook-ahead[J].ModularMachineTool&AutomaticManufacturingTechnique, 2011, 32(10): 2140-2144.

(編輯王艷麗)

A High-speed Smooth Arc Transition and Look-ahead Control Algorithm for Continuous Short-segments

Zhang JunZhang LiqiangZhang Kai

Shanghai University of Engineering Science,Shanghai,201620

A quadratic NURBS arc transition path in the adjacent segments which was everywhere curvature-continuous was proposed to solve the problems of the machine vibration and shocks caused by abrupt change of velocity and acceleration, and then the high-speed smooth transition was obtained. Based on the arc model, a look-ahead control algorithm was established. Under the conditions of the chord errors and machine dynamics, the algorithm aimed to achieve optimal transition velocity, and control acceleration/ deceleration by using the 7 section and 5 section mixed bidirectional S algorithm, and to avoid the motor starting/stopping frequently, then the high-speed transition was realized smoothly. The example demonstrates that the proposed algorithm can achieve more stable transition velocity, improve the machining efficiency and quality, and satisfy the demands of high-speed machining.

high-speed machining; smooth transition; arc transition; look-ahead control algorithm

2014-10-08

國家自然科學基金資助項目(51305254)；上海市教委科研創新項目(13YZ108)

TP391DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.15.018

張君，男，1988年生。上海工程技術大學機械工程學院碩士研究生。研究方向為CAD/CAM。張立強，男，1979年生。上海工程技術大學機械工程學院副教授、博士。張凱，男，1987年生。上海工程技術大學機械工程學院碩士研究生。