無理論刃形誤差直齒插齒刀設計

李　佳　李曉群　王　鵬　鄒　鈺

天津大學機構理論與裝備設計教育部重點實驗室,天津,300072

無理論刃形誤差直齒插齒刀設計

李佳李曉群王鵬鄒鈺

天津大學機構理論與裝備設計教育部重點實驗室,天津,300072

為了提高插齒加工精度，提出一種無理論刃形誤差插齒刀具設計方法。基于曲面共軛原理，根據待加工齒面和插齒加工運動特點,建立齒面共軛面的數學模型。前刀面選擇球面形式，應用割線法求得共軛面和前刀面的交線，進而建立切削刃的數學模型。從刀具重新刃磨后仍能滿足無理論刃形誤差要求的角度出發，求取多條切削刃，利用所求得切削刃曲線構造后刀面，建立后刀面數學模型。插齒加工實驗表明，采用無理論刃形誤差直齒插齒刀加工工件，刀具重磨前后加工精度有較好的一致性,從而證明了該設計方法的正確性和可行性。

插齒加工；插齒刀設計；刃形誤差； 漸開線

0　引言

插齒加工是常用的漸開線齒輪粗加工技術之一。眾所周知,影響插齒加工精度的主要因素是機床精度、刀具精度和夾具精度。目前，數控插齒機床和夾具的設計制造精度已經能夠滿足齒輪半精加工的需求。如果能夠提高插齒刀具設計制造精度，使之與插床和夾具精度相匹配，就有望使插齒加工精度進一步得到提高，這對于齒輪制造行業的發展具有重要意義。

在直齒插齒刀設計方面,基于漸開線齒輪變位原理的插齒刀設計方法在設計原理上存在齒形誤差。為了實現工藝目標，常采用齒廓修形的技術方法進行處理。文獻[1]基于直齒插齒刀切削刃投影與理論漸開線在分度圓處相切的原理,推導出了齒形角的修正公式,但是在漸開線兩端仍有較大的偏差。王化培[2]提出一種插齒刀齒形角的修正方法，使切削刃投影圓處于齒頂圓和基圓之間與理論漸開線相切，計算實例驗證了其修正效果。但該方法的不足之處在于插齒刀漸開螺旋面分度圓壓力角不為20°。文獻[3]提出一種基于齒廓傾斜偏差誤差補償的優化迭代算法來進一步減小插齒刀齒廓偏差。相比之下，該方法對小模數齒輪更為有效。其他相關研究[4-8]也是通過齒形修正或優化的方法來減小直齒插齒刀的齒形誤差。這些方法在一定程度上提高了刀具齒形精度，但不可能從根本上消除理論設計誤差。

除了無法避免理論齒形誤差這一弊端之外，直齒插齒刀還存在重磨前后精度一致性差的弊端。隨著重磨次數的增加,插齒刀齒形誤差呈現由大變小再變大的變化趨勢,顯然，這會影響插齒刀可重磨次數和壽命。文獻[9]基于MATLAB遺傳算法工具箱,以刀具壽命為目標函數,對插齒刀參數進行優化,使刀具的可重磨厚度與傳統優化方法相比增加了48.98%,但是該研究也未能根本解決重磨前后齒形誤差不一致的問題。

針對目前直齒插齒刀存在齒形誤差以及重磨之后精度一致性差的問題，本文提出一種基于曲面共軛原理[10-11]的無理論刃形誤差直齒插齒刀設計方法。

1　刀具設計原理

直齒插齒刀結構如圖1所示，其每個刀齒由前刀面、側刃、側后刀面、頂刃和頂后刀面五部分組成。實際加工中，側刃決定著齒形加工精度，而后刀面又決定著側刃形狀和精度，因此本文重點研究側刃及側后刀面設計原理和方法。

圖1　直齒插齒刀結構

現行直齒插齒刀設計是以兩個齒輪嚙合為基礎的,為了敘述方便,將這兩個齒輪分別稱為工件輪和刀具輪。在刀具輪未形成前角、后角之前,刀刃是標準漸開線,不會出現理論誤差。但是為了構造后角，側后刀面設計成漸開螺旋面;為了構造前角,前刀面設計成圓錐面。這樣刀刃就成為一條空間曲線,而非標準漸開線。文獻[12]在研究直齒剮齒刀設計理論中,提出了一種無理論刃形誤差的設計方法,通過前刀面直接與刀具輪齒面求交形成切削刃。這種切削刃由于處在刀具輪上,因此刃形設計不存在理論誤差。然而通過刀具輪設計插齒刀具有很大的局限性,首先是后刀面構造靈活性較差，不利于刀具參數優化;其次是設計方法通用性較差，不適用于其他非漸開線齒形插齒刀設計。注意到工件輪齒面與刀具輪齒面相互嚙合的實質是曲面共軛運動，因此本文直接從曲面共軛原理出發,拋開刀具輪的限制,提出無理論刃形誤差直齒插齒刀設計方法。

圖2　設計原理

如圖2所示,根據工件參數建立待加工齒面ξ的數學模型,按照插齒加工運動模型求得ξ的共軛面ψ,構造適當的前刀面,與共軛面求交得到切削刃。這樣得到的切削刃一定處于待加工齒面的共軛面上,因此不存在刃形誤差。刀具重磨之后，會產生新的前刀面,其形狀也要發生相應變化,同時也會有新的共軛面與之相對應，兩者再次求交獲得新的切削刃。按照上述方法可以獲得多條切削刃,利用這些切削刃曲線構造后刀面，可保證每次重磨之后切削刃仍處在共軛面上，刃形精度有很好的一致性。

2　共軛面求取

根據曲面共軛原理,已知曲面與其共軛面是機構中兩構件上用以實現給定運動規律連續相切的一對曲面。因此，為了求取待加工齒面的共軛面,建立工件齒面的數學模型，以及每一時刻共軛接觸點的相對運動速度模型，進而求取共軛面。

2.1工件齒面

如圖3所示,在工件坐標系S1(z1軸與工件軸線重合,O1x1y1平面與工件上端面重合,x1軸與工件某一齒的對稱線重合)中,齒形漸開線的極坐標方程為

(1)

圖3　工件坐標系與工件齒面

可得齒面的數學模型：

(2)

φK=s/r-2(θK-θ)

(3)

式中,rb為基圓半徑;rK為漸開線齒廓上某點K對應的圓半徑;θK為K點處的展角；αK為K點處的壓力角;h為齒面上某點M到上端面的距離;φK為K點對應中心角的一半;s、r分別為分度圓齒厚和半徑;θ為分度圓處的展角。

進而可得齒面上某一點處的法矢N1:

(4)

2.2相對運動速度

插齒加工過程中的運動主要包括插齒刀上下往復運動和分齒展成運動。為了計算共軛接觸點的相對運動速度,基于插齒加工運動特點,在圖3所示工件坐標系基礎上,建立如圖4所示的坐標系。Sp、S0是固定坐標系,分別對應工件坐標系S1和刀具坐標系S2的初始位置。xp軸與x0軸重合;zp軸與z0軸平行,且兩者之間的距離為工件與刀具的中心距a。在某一時刻,S1、S2分別繞zp軸和z0軸旋轉φ1和φ2角度。同時,刀具坐標系S2沿z0軸負方向直線運動l長度。

圖4　設計計算坐標系

加工中,轉角φ1和φ2滿足：

(5)

式中，ω1、ω2分別為工件和刀具繞自身軸線旋轉的角速度。

在坐標系S0中計算相對運動速度,設接觸點M在S0中的坐標為(x,y,z),刀具上接觸點相對于工件上接觸點的運動速度為

v21=ω2×r2-ω1×r1+v2

(6)

式中,ω1、ω2分別為工件和刀具角速度矢量;v2為刀具直線運動速度矢量；r1、r2分別為工件和刀具旋轉運動向徑。

設S0坐標系x0軸、y0軸、z0軸的單位矢量分別為i、j、k;Sp坐標系xp軸、yp軸、zp軸的單位矢量分別為ip、jp、kp,則有:

r2=xi+yj

(7)

r1-r2=a=ai

(8)

ω1=ω1kp

(9)

ω2=-ω2k

(10)

v2=-vk

(11)

式中,v為插齒刀上下往復直線運動的速度大小。

根據S0、Sp坐標系的相對位置關系有：

kp=k

(12)

將式(5)、式(7)～式(12)代入式(6),可得相對運動速度矢量為

v21=vxi+vyj+vzk

(13)

vx=ω2y+ω1y

vy=-ω2x-ω1(a+x)

vz=-v

2.3共軛面求取

如果兩個面共軛,它們在接觸點處的相對運動速度應該位于該處的公切面內,即滿足：

N·v21=0

(14)

在同一坐標系下考察這一關系,式(13)已得到S0坐標系下相對運動速度v21,式(4)已得到在工件坐標系S1中表示的齒面的法矢,因此需要將齒面的法矢從S1坐標系變換到S0坐標系。由圖4可得S1坐標系到S0坐標系的矢量變換矩陣:

(15)

進而可求得S0坐標系中工件齒面的法矢為

(16)

同時,M點在S0中的坐標可由S1中坐標變換得到：

(17)

式中，M01為S1到S0的坐標變換矩陣。

聯立式(2)、式(4)、式(13)～式(17)可以解得對應于齒面每一點的φ1值。將接觸點坐標由S1坐標系變換到S2坐標系:

(18)

式中,M21為S1到S2的坐標變換矩陣。

按照以上方法,可以求得共軛面上任一點的坐標,即求得了整個共軛面,簡化表示為

(19)

3　前刀面設計

現有插齒刀的前刀面一般為圓錐面。文獻[13]比較了圓錐面和球面,指出當頂刃處具有相同的前角時,采用球面形式的前刀面刀具強度高,工藝性也較好,因此球面更適合作為刀具前刀面。參考該研究成果,本文亦采用球面形式的前刀面。

如圖5所示,設未重磨前初始前刀面的球面半徑為R0,齒頂圓半徑為ra0。重磨之后,前刀面球心位置和球面半徑發生變化;設重磨前后前刀面沿z2軸方向的距離為Δb,此時齒頂圓半徑為ra,球面半徑為R,球心到前端面的距離為R1。根據圖5所示幾何關系,可得：

ra=ra0-Δbtanγz

(20)

圖5　刀具與刀具坐標系

進而得：

(21)

(22)

式中,αz、γz分別為插齒刀頂刃前角和頂刃后角。

設球面上一點在O2x2y2平面的投影到坐標原點的連線與x2軸的夾角為φ;該點到球心的連線與z2軸的夾角為θ,可得前刀面參數表達式：

(23)

4　側刃求取

按照前述刀具設計原理,側刃為齒面的共軛面與前刀面的交線,因此側刃上的點滿足:

(24)

由于共軛面對各個參數的偏導數不便于求解,本文采用割線法[14]求解非線性方程組式(24)。

該方程組總共含有4個未知參數,方程數小于未知數個數,因此需要假定一個參數已知。因為參數h的范圍是工件的齒寬,便于確定,因此可以將h在此范圍內均勻離散后代入式(24),然后求其他三個未知參數。

割線法的迭代格式為

x(t+1)=x(t)-(J(x(t),h(t)))-1F(x(t))

x=(rK,θ,φ)T

F(x(t))=(f1,f2,f3)

(25)

i,j=1,2,3

(26)

計算出參數初始值后,按如下過程迭代:

(1)給定計算誤差控制量ζ和迭代步長系數hj,并令x(0)=(rK0,θ0,φ0)T,t=0。

(27)

由以上迭代方法,可以求出側刃上任一點坐標。

5　側后刀面設計

側后刀面的形成過程如圖6所示,首先按照上述方法計算齒面的共軛面c1,繼而與前刀面q1求交獲得曲線r1(即切削刃)。為了構造刀具后角,減小刀具齒頂圓半徑,同時減小工件與刀具之間的中心距a,再次計算獲得齒面的共軛面c2,此時對應的前刀面為q2,兩者再次求交獲得曲線r2。按照上述方法，依次求得曲線r3,r4，…，由這些曲線構造側后刀面。

圖6　側后刀面設計

設重磨前后中心距的變化量為Δa,由圖5可得：

(28)

由上述側后刀面的形成過程可知,側后刀面是若干切削刃的集合。理論上由Δa和式(27)可以求得側后刀面上所有點。考慮到工程實踐的可行性,由側后刀面上的若干個點作為型值點,采用三次B樣條曲面對側后刀面進行擬合。在進行刀具設計時，根據精度要求，確定型值點的個數。在刀具的可重磨范圍內,側后刀面由M條均勻分布的切削刃構成；由式(27)在每條切削刃上計算出N個點的坐標,則得到側后刀面上M×N個型值點。由這些型值點，可以構造側后刀面的數學模型：

(29)

其中,N1,3(u)、Nj,3(w)為三次B樣條基函數;Pi,j為由型值點得到的控制點。

按照上述方法,可以完成無理論刃形誤差插齒刀前刀面、側刃和側后刀面的設計,其頂刃和頂后刀面設計方法與現有方法類似,本文不作贅述。

6　加工實例

為了驗證無理論刃形誤差插齒刀設計理論的正確性,筆者進行了加工精度一致性實驗。

所要加工的直齒圓柱齒輪參數如表1所示,按照2.1節內容建立工件齒面的數學模型，求得工件齒面的法矢。依據表2所示的刀具參數和加工參數(中心距的初始值a0定為93.126 mm),按照前述計算過程可求得插齒刀的初始切削刃上點的坐標。取每次重磨中心距的變化量Δa=0.1 mm,此時中心距a=a0+Δa,進而由第2節計算過程求取共軛面。由式(28)可計算Δb,進而由第3節的計算過程求得前刀面。按照第4節的計算過程求得重磨之后側刃上點的坐標。中心距再次變化，重復以上過程，求得下一次重磨之后側刃上點的坐標。本實驗設計的后刀面由初始切削刃以及4次重磨之后形成的4條側刃構成。每條側刃上求取8個點，總共獲得40個型值點坐標，由這些型值點構造三次B樣條曲面作為刀具后刀面。

表1　工件參數

表2　刀具參數和加工參數

通過計算獲得的側后刀面上部分型值點的坐標如表3所示。

表3　側后刀面上部分點的坐標　mm

圖7　插齒刀制造圖8　工件加工

圖9　重磨之后的插齒刀圖10　齒輪測量儀

圖11　實驗工件的齒廓偏差

插齒刀終加工在圖7所示的五軸工具磨床上完成；試件插齒加工在YKS5120插齒機床上完成,如圖8所示。為了驗證重磨前后插齒刀加工精度的一致性，本文進行了分組插齒加工實驗。實驗分為三組，分別采用重磨之前、重磨一次、重磨兩次的插齒刀，每組各加工兩個工件，重磨之后的刀具如圖9所示。在L100齒輪測量儀上檢測齒輪齒形加工精度,如圖10所示。其中，齒面的齒廓偏差Δfa變化范圍在1.6 μm以內(如圖11中曲線1所示),表現出很好的精度一致性。在相同的條件下用傳統插齒刀進行重磨加工精度一致性實驗。實驗同樣重磨兩次共三組,每組加工兩個工件，每次刃磨量與新型插齒刀重磨實驗的刃磨量相同。在齒輪測量儀上檢測齒輪齒形精度，獲得齒廓偏差的變化情況如圖11曲線2所示，可以看到前兩個工件精度較好，隨著刀具的不斷重磨，刀具齒形誤差不斷增大，齒輪加工精度不斷降低，齒廓偏差的最大變化量為2.6 μm。通過加工精度一致性的對比實驗，證明了新型插齒刀有較大的優越性。

7　結論

(1)針對傳統插齒刀存在齒形誤差的問題,基于曲面共軛原理,提出了一種無理論刃形誤差的插齒刀設計方法。以漸開線齒輪直齒插齒刀為例,給出了刀具設計過程。

(2)所提出的側后刀面的構造方法可保證刀具重刃磨前后刀刃均不存在理論誤差,從而保證加工精度的一致性，明顯提高了插齒加工零件的質量。

(3)重磨前后加工精度一致性實驗表明，無理論刃形誤差插齒刀設計方法是正確可行的。在重磨之后加工精度一致性方面本文方法明顯優于傳統插齒刀。

(4)在相同的加工條件下,采用無理論刃形誤差插齒刀加工零件，精度應該明顯得到提高。受現有工具磨床和插齒機床精度限制，本文未能進行插齒精度的對比實驗,這個結論有待進一步的工作加以證實。

(5)本文給出的設計方法可推廣應用于非漸開線插齒刀設計。

[1]袁哲俊，劉華明，唐宜勝.齒輪刀具設計[M].北京:新時代出版社,1983.

[2]王化培.直齒外嚙合漸開線插齒刀齒形誤差及修正新法[J].四川兵工學報,1998,19(4):21-23.

Wang Huapei.The Tooth Profile Error and New Revised Method of Straight Tooth Outside Meshing Involute Shaping Cutter[J].Journal of Sichuan Ordnance,1998,19(4):21-23.

[3]凌四營, 宋潤州, 王慶男, 等. 插齒刀齒形角修正算法與精度探討[J]. 機械設計與制造,2011(1):164-166. Ling Siying, Sun Runzhou, Wang Qingnan,et al. The Tooth Profile Angle Correction Algorithm and Precision Study of Gear Shaping Cutter[J]. Machinery Design & Manufacture, 2011(1):164-166.

[4]Huang Chin-Lung,Fong Zhang-Hua,Chen Shi-Duang. Profile Correction of a Helical Gear Shaping Cutter Using the Lengthwise-reciprocating Grinding Method[J].Mechanism and Machine Theory,2009,44(2):401-411.

[5]Li Biwen,Xiao Jinfeng,Zhang Chunliang.Prediction and Control for Profile Angle Error of Slotting Cutter of Herringbone Gear in Turbine Redactor[J].Advanced Materials Research,2011,139/141:1864-1868.

[6]Radzevich S P.Diagonal Shaving of an Involute Pinion:Optimization of the Geometric and Kinematic Parameters for the Pinion Finishing Operation[J].International Journal of Advanced Manufacturing Technology,2007,32(11/12):1170-1187.

[7]李佩芝.負前角硬質合金插齒刀的齒形誤差與齒形角修正[J].工具技術,1999(3):21-22.

Li Peizhi.The Tooth Profile Error and Tooth Profile Angle Correction of Negative Rake Angle Carbide Gear Shaping Cutter[J].Tool Engineering,1999(3):21-22.

[8]馬霄,王偉.提高直齒插齒刀構形精度的刃磨工藝方案研究[J].工具技術,2008,42(12):47-50.

Ma Xiao,Wang Wei.The Grinding Process Research of Improving the Spur Gear Shaper Cutter Configuration Precision[J].Tool Engineering,2008,42(12):47-50.

[9]唐德威,劉丹,鄧宗全,等.基于Matlab遺傳算法工具箱的內插齒刀優化設計[J].機械制造,2012,50(11):22-25.

Tang Dewei,Liu Dan,Deng Zongquan,et al.The Optimization Design of Inner Gear Shaper Cutter Based on Matlab Genetic Algorithm Toolbox[J].Machinery Manufacturing,2012,50(11):22-25.

[10]高業田,李華敏,徐曉俊.雙自由度共軛曲面嚙合理論 [J].哈爾濱工業大學學報,1989(4):66-76.

Gao Yetian,Li Huamin,Xu Xiaojun.The Meshing Theory of Double Freedom Degree Conjugate Curved Surface[J].Journal of HarbinInstitute of Technology University,1989(4):66-76.

[11]董黎君.共軛旋轉曲面的理論分析及計算機繪制[J].太原工業大學學報,1997,28(2):13-16.

Dong Lijun.Theoretical Analysis and Computer Drawing of Conjugate Revolution Curved Surface[J].Journal of Taiyuan University of Technology,1997,28(2):13-16.

[12]Chen Xinchun,Li Jia,Lou Benchao.A Study on the Design of Error-free Spur Slice Cutter[J].International Journal of Advanced Manufacturing Technology,2013,68(1/4):727-738.

[13]陳新春,李佳,賀友平.直齒剮齒刀結構設計與計算[J].天津大學學報,2012,45(5):411-416.

Chen Xinchun,Li Jia,He Youping.Structure Design and Calculation of Spur Slice Cutter[J].Journal of Tianjin University,2012,45(5):411-416.

[14]鄒健,宋述剛,陳忠.一個用割線法求解非線性方程組的異步并行算法[J].太原師范學院學報(自然科學版),2006,5(2):9-10.

Zou Jian,Song Shugang,Chen Zhong.An Asynchronous Parallel Algorithm Using the Secant Method to Solve Nonlinear Equations[J].Journal of Taiyuan Teachers College(Natural Science Edition),2006,5(2):9-10.

(編輯盧湘帆)

Design of Straight Teeth Gear Shaping Cutter without Theoretical Cutting Edge Profile Errors

Li JiaLi XiaoqunWang PengZou Yu

Key Laboratory of Mechanism and Equipment Design of Ministry of Education,Tianjin University,Tianjin,300072

Aiming at improving the gear shaping machining precision,a design method of a gear shaping cutter without theoretical cutting edge profile errors was proposed. Based on the conjugation theory of curved surface,a mathematical model of the conjugate surface of the tooth surface was built according to the tooth surface to be machined and the movement characteristics of gear shaping. The sphere surface was chosen as rake face, and the intersecting line of the conjugate surface and the rake face was get by secant method, and the mathematical model of the cutting edge was built. Many similar cutting edges were get from the point that the requirements of without theoretical cutting edge profile errors could be met after grinding.The flank face was formed by these cutting edges, and its mathematical model was built.The gear shaping experiments show that the machining precision has good consistency using the cutter before and after grinding , and the correctness and feasibility of this design method is confirmed.

gear shaping;shaping cutter design;cutting edge profile error;involute

2014-08-13

國家自然科學基金資助項目(51175376)

TH132.417DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.12.001

李佳,男,1955年生。天津大學機械工程學院教授。主要研究方向為數控裝備、先進加工工藝。李曉群，男，1988年生。天津大學機械工程學院碩士研究生。王鵬,男,1990年生。天津大學機械工程學院博士研究生。鄒鈺，男，1990年生。天津大學機械工程學院碩士研究生。