一種五軸并聯機床的機構參數分步辨識方法

黨鵬飛　房立金

東北大學,沈陽,110819

一種五軸并聯機床的機構參數分步辨識方法

黨鵬飛房立金

東北大學,沈陽,110819

以五軸并聯機床為研究對象，基于量子粒子群優化算法，對少自由度并聯機床的機構參數辨識問題進行了研究。根據五軸并聯機床的結構特點，對運動末端的測量位姿進行優化選取。將并聯機構參數辨識問題轉化為非線性系統的最優化問題，利用量子粒子群優化算法的全局搜索能力設計一種分步辨識方法對機構參數進行優化、辨識。仿真結果顯示，基于量子粒子群優化算法的分步辨識方法能夠比較準確地辨識機構參數的真實值。該分步辨識方法同樣適用于其他少自由度并聯機器人的機構參數辨識。

并聯機器人; 位姿誤差; 參數辨識; 量子粒子群優化

0　引言

混聯機床同時具有串聯機器人與并聯機器人的優點，已經成功地應用于航空航天制造領域。但是，混聯機床少自由度并聯機構部分依然包含數量較多的桿件與關節部件。在這些部件的制造與裝配過程中不可避免地存在機構誤差，使得機構參數的實際值與理想值之間出現偏差，最終導致運動末端的位姿精度下降。受結構特征、部件安裝位姿等因素的影響，現場直接測量所獲得的機構參數往往不能滿足運動控制的精度要求。對機構參數進行辨識是解決這一問題的有效方法。一個可行的辨識方法是根據外部傳感器獲取的測量信息，利用智能優化算法尋找一組與實際末端位姿相匹配的機構參數。因此，并聯機構的機構參數辨識問題一直是機器人學研究領域的一項重要內容。

近年來，國內外學者針對機器人運動學標定問題做了大量的研究工作。Huang等[1]利用正則化方法對混聯機床運動學標定過程中的誤差建模、測量方案以及誤差辨識方法這三個關鍵問題進行了研究。Joubair等[2]利用三坐標測量機和磁性工具球提出了一種低成本的標定方法，實驗證明該方法能夠提高平面SCARA機器人的位置精度。Varziri等[3]利用關節處安裝的冗余傳感器，對一款纜繩驅動的并聯機器人進行了運動學標定。Pashkevich等[4]認為關節位置誤差對末端位姿影響較大，提出了對此類誤差源的外標定方法。智能優化算法已經被廣泛地應用于求解機器人運動學標定問題，并且取得了一系列進展。Wang等[5]提出了一種基于馬爾可夫鏈蒙特卡羅算法的機器人標定方法，可以對運動學模型內各誤差參數進行統計估計。Zhang等[6]提出一種基于共存演化神經網絡算法與虛擬誤差理論的綜合補償方法，較好地實現了幾何誤差、熱誤差等誤差源的補償。

粒子群優化(PSO)算法是一種新興的群體智能算法，已經被成功地應用于路徑規劃[7]、運動控制[8]等領域的相關研究中。Alici等[9]利用PSO算法優化誤差模型中的多項式因子，提出了一種能夠預測機器人位置誤差的方法。杜義浩等[10]將機構誤差轉化為驅動桿誤差，利用改進的PSO算法優化驅動桿參數，對并聯機器人的位姿誤差進行補償。周煒等[11]綜合考慮環境溫度的變化，提出一種基于粒子群優化神經網絡的精度補償方法，有效地提高了工業機器人的絕對定位精度。作為一種改進的粒子群優化算法，量子粒子群優化(QPSO)算法的全局搜索能力比PSO算法有了明顯的改進[12]，其收斂速度與優化性能也都有比較明顯的提高。

現今，在利用QPSO算法進行非線性系統的優化時，通常都是直接對系統內的所有參數同時進行迭代優化。在每一次迭代過程中，某些參數在更新以后會更加接近最優解，但是某些本來接近最優解的參數卻又遠離了最優解[13]。對于并聯機床的機構參數辨識問題，由于機構參數的數量較多，QPSO算法的更新模式可能使得部分機構參數誤差不能得到準確的辨識，從而影響到機構參數的辨識效果。針對這個問題，本文提出了基于QPSO算法的分步辨識方法。首先，利用QPSO算法較強的全局搜索能力，根據收斂速度對機構參數逐個進行粗辨識；然后，根據粗辨識的結果對所有機構參數進行第二次精確辨識。最后，通過對五軸并聯機床機構參數的分步辨識驗證了該分步辨識方法的有效性。

1　五軸并聯機床誤差建模

1.1結構簡介

五軸并聯機床結構如圖1所示，該機構由并聯機構部分、平面約束機構部分與工作平臺組成。其中，并聯機構部分由固定平臺、動平臺以及4個驅動分支構成。五軸并聯機床采用高剛度的龍門結構，固定在兩側立柱頂端的4個伺服電動機分別驅動4組滾珠絲杠副， 滾珠螺母(滑塊)通過4根支桿與動平臺相連， 通過調整滑塊的位移來實現動平臺的運動。在固定平臺、動平臺之間，由4塊板件組成了平面約束機構，約束機構部分內各轉動軸線與工作臺運動方向平行。

圖1　五軸并聯機床結構圖

1.2機構誤差模型

將五軸并聯機床的并聯機構部分作為研究對象進行少自由度并聯機器人機構參數辨識問題的研究。并聯機構的幾何誤差源主要包括鉸鏈中心的位置誤差與支桿的桿件長度誤差，由于桿件長度誤差可以通過直接測量得到，因此，本節將建立關于鉸鏈中心位置誤差的誤差模型。

首先，在并聯機構內建立各坐標系，如圖2所示。在固定平臺建立基坐標系OXYZ，在動平臺建立動坐標系O′X′Y′Z′，在刀具末端建立末端坐標系Pxyz。動平臺中心在基坐標系下的位置坐標為O′=(x0,y0,z0)T，動平臺上鉸鏈Tv(v=1,2,3,4)在動坐標系下的位置坐標為tv=(xv,yv,zv)T，滑板處鉸鏈Sv在基坐標系下的位置坐標為sv=(xSv,ySv,zSv)T。刀尖點與動平臺中心距離為zt，刀具繞X′軸與Y′軸的旋轉角度分別為A、B。動平臺繞X′軸的旋轉矩陣RX′以及動平臺的姿態矩陣R分別為

圖2　并聯機構部分原理簡圖

動平臺通過滑塊位移Hv驅動末端刀具運動，其與支桿L1、L2相連的鉸鏈可以繞X軸與Y軸旋轉，與支桿L3、L4相連的鉸鏈只能繞X軸旋轉。由此可以得到動平臺上鉸鏈Tv在基坐標系下的位置矢量：

(xTv,yTv,zTv)T=(x0,y0,z0)T+T(xv,yv,zt)T

(1)

其中，T為姿態變換矩陣。對于支桿L1、L2，T=R；對于支桿L3、L4，T=RX′。

另外，考慮到由動平臺姿態引起的刀具派生運動，刀具末端位置為

P=(px,py,pz)T=(x0,y0,z0)T+R(0,0,zt)T

(2)

根據式(1)與式(2)，建立刀具末端位置與動平臺鉸鏈Tv中心位置之間的關系，得

(xTv,yTv,zTv)T=P-R(0,0,zt)T+

T(xv,yv,zt)T

(3)

根據機構的幾何關系可得

(4)

式中，Lv為支桿的桿件長度。

將式(3)代入式(4)并微分，建立起刀具末端位姿誤差與鉸鏈Tv、Sv中心位置誤差、支桿桿長誤差之間的關系，利用矩陣的形式可以表示為

JPδ P+JCδ C=JLδ L

(5)

δ P=(δpy,δpz,δA,δB)T

δ C=(δxv,δyv,δzv,δxSv,δySv,δzSv)T

δ L=(δL1,δL2,δL3,δL4)T

式中，δ P為末端位姿誤差矢量；δ C為鉸鏈中心位置誤差矢量；δ L為支桿桿長誤差矢量；JP為與末端位姿誤差對應的雅可比矩陣；JC為與鉸鏈位置誤差對應的雅可比矩陣；JL為與支桿桿長誤差對應的雅可比矩陣。

由于本文研究重點在于機器人機構參數的辨識，對支桿的桿件長度誤差δ L可以通過直接測量得到，因此，只考慮誤差模型內的鉸鏈中心位置誤差δ C。整理式(5)，得到五軸并聯機床的位姿誤差模型：

(6)

式中，W為并聯機構誤差模型的辨識矩陣。

2　機構參數辨識問題的轉化與求解

2.1機構參數辨識問題轉化為最優化問題

在QPSO算法中，每個粒子用一個完整的位置向量表示優化問題的一個潛在解，其位置向量Xi(t)就是優化變量。對于五軸并聯機床的機構參數辨識問題，將機構參數修正量(鉸鏈中心位置誤差δ C)作為最優化問題的優化變量，利用優化算法尋找一組與實際測量位姿誤差相對應的修正量，作為優化問題的最優解引入運動學模型，就可以實現五軸并聯機床機構參數的辨識。

根據最少參數線性組合的4個定理[14]，對式(6)中的辨識矩陣W進行辨識性分析，發現支桿3、4兩端鉸鏈X軸方向上的位置誤差不可辨識，可辨識的參數修正量為

Δq=(δx1,δy1,δz1,δxS1,δyS1,δzS1,δx2,

δy2,δz2,δxS2,δyS2,δzS2,δy3,δz3,

δyS3,δzS3,δy4,δz4,δyS4,δzS4)T

因此，針對五軸并聯機床的機構參數辨識問題，將以上可辨識的參數修正量作為優化變量，即Xi(t)=Δq。

然后，根據五軸并聯機床的位姿誤差模型與末端位姿精度要求，設計最優化問題的目標函數:

(7)

式中，k為與位姿精度要求有關的放大系數；e為實際測量得到的位姿誤差。

2.2基于QPSO算法的最優化問題求解

本文提出的基于QPSO算法的分步辨識方法分為兩個步驟，如圖3所示。

圖3　基于QPSO算法的分步辨識流程圖

2.2.1利用QPSO算法逐個標定參數

(1)建立誤差模型，以機構參數修正量產生的位姿誤差與實際位姿誤差之間的差距最小化為優化目標，建立關于機構參數修正量的最優化模型。

(2)在五軸并聯機床工作空間內選取μ組不同的位姿構型進行測量，通過計算得到各組測量構型下的實際末端位姿誤差eh，h=1,2,…,μ。

(3)迭代次數用t表示，最大迭代次數為tmax。置t=0，隨機初始化N個m維的粒子的初始位置向量Xi(0)，向量維數m等于機構參數修正量Δq的維數。令各粒子局部最優位置Pi(0)=Xi(0)。

(4)根據目標函數式(7)與適應度函數，計算第i個粒子的適應度F(Xi(t))：

(8)

(5)以粒子適應度最小化為目標，分別更新每個粒子的局部最優位置Pi(t)以及粒子群的全局最優位置Pg(t)，更新公式分別為

(9)

Pg(t)=(Pg1(t),Pg2(t),…,PgM(t))T=

min(P1(t),P2(t),…,PN(t))

(10)

(6)根據收斂判定條件，依次對全局最優位置向量Pg(t)內的元素Pgj(t)是否收斂進行判定。如果Pgj(t)收斂，終止計算，將Pgj(t)作為相應的機構參數修正量的最優解引入運動學模型，置m←m-1，返回步驟(3)，重新隨機初始化粒子初始位置繼續計算；否則，繼續計算。另外，當m=0時，說明機構參數修正量Δq已經全部求出，進入步驟(2)。

(7)根據QPSO算法，利用式(11)、式(12)分別計算粒子群的平均最優位置C(t)以及每個粒子的隨機點位置pi，并利用式(13)更新粒子位置Xi(t+1)：

(11)

pij(t)=φij(t)Pij(t)+[1-φij(t)]Pgj(t)

(12)

j=1,2,…,M

(13)

式中，φij(t)、uij(t)為區間[0,1]上服從均勻分布的隨機數；α(t)為收縮-擴張系數。

(8)判斷是否滿足迭代算法的終止條件t=tmax。如果滿足，計算結束；若未滿足終止條件，置t←t+1，返回步驟(4)繼續計算。

2.2.2利用QPSO算法對所有參數整體標定

將上述的計算結果作為優化模型的全局最優解，利用QPSO算法對粒子位置向量的m維元素同時進行優化計算，具體流程與2.2.1節相似，在此不再贅述。

3　五軸并聯機床機構仿真分析

通過對五軸并聯機床運動末端的位姿誤差分析發現，鉸鏈中心位置誤差在動平臺繞X軸、Y軸旋轉時對末端位姿誤差的影響比較明顯。根據五軸并聯機床工作空間的特點，保持工作臺靜止，在OYZ平面內選取了9個動平臺中心位置，通過轉動動平臺獲得了18個刀具末端位姿的測量數據采集區域，如圖4所示。

圖4　測量區域示意圖

測量區1、2為動平臺中心運動至點(0,0,1050)mm處，刀具分別繞X軸、Y軸旋轉[-20°,20°]所產生的運動軌跡；測量區3、4、5、6為動平臺中心運動至點(0,0,1150)mm、(0,0,950)mm處，刀具分別繞X軸、Y軸旋轉[-15°,15°]所產生的運動軌跡；測量區8、10、12、14、16、18為動平臺中心運動至點(0,100,1150)mm、(0,100,1050)mm、(0,100,950)mm、(0,-100,1150)mm、(0,-100,1050)mm、(0,-100,950)mm處，刀具繞Y軸旋轉[-15°,15°]所產生的運動軌跡；測量區7、9、11為動平臺中心運動至點(0,-100,1150)mm、(0,-100,1050)mm、(0,-100,950)mm處，刀具繞X軸旋轉[-10°,0°]所產生的運動軌跡；測量區13、15、17為動平臺中心運動至點(0,100,1150)mm、(0,100,1050)mm、(0,100,950)mm處，刀具繞X軸旋轉[0°,10°]所產生的運動軌跡。

設定鉸鏈中心位置誤差δ C的取值范圍為[-0.03,0.03]mm，在范圍內選取20個鉸鏈中心位置誤差。由圖4中選取的測量構型得到理想的驅動控制變量，將給定的誤差δ C引入運動學模型，根據理想的驅動控制變量計算得到給定的末端位姿集合Q。將給定末端位姿Q作為優化目標函數式(7)的輸入數據，對機構參數修正量Δq進行優化，最終得到一組與給定的末端位姿Q相匹配的最優機構參數修正量，從而實現機構參數的辨識。

設置粒子的數量N=80；粒子位置向量的搜索范圍是[-0.05,0.05]mm；最大迭代次數tmax=300。收縮-擴張系數α(t)采用線性減小的取值方式，隨著迭代過程的進行從1遞減到0.5。根據基于QPSO算法的分步辨識方法以及利用QPSO算法直接進行參數辨識的方法， 分別進行優化計算。標定結果如表1所示，分步辨識得到的結果表明大部分誤差源的辨識值與給定值之間的差距在誤差源理論值的4%以內，最大的差距在10%以內，可以比較準確地反映機構參數修正量的給定值。而采用QPSO算法直接辨識的方法，只有三個參數δx1、δzS1、δx2的辨識值與給定值之間的差距在10%以內，其余結果與給定值的差距較大，有些參數辨識結果甚至嚴重失真。

表1　五軸并聯機床辨識結果　mm

分別利用表1中的兩組辨識結果更新五軸并聯機床的運動學模型。根據理想的驅動控制變量以及更新后的運動學模型，計算理想末端位姿與給定的末端位姿Q之間的偏差以評價基于QPSO算法的分步辨識方法與直接辨識方法對運動學模型的辨識效果。由于姿態角的偏差較小，故主要依靠末端位置的偏差分析辨識效果，結果如表2所示。

表2　末端位置偏差的計算結果　mm

利用分步辨識結果更新的運動學模型，計算得到的理想末端位置與給定的末端位置之間的最大偏差為3.4369×10-4mm，最小偏差為2.6513×10-6mm。說明通過機構參數分步辨識，五軸并聯機床的運動學模型能比較準確地匹配實際的末端位姿。而利用直接辨識結果更新的運動學模型，計算得到的理想末端位置與給定的末端位置之間的偏差，最大值為0.0058 mm，最小值為2.4082×10-5mm，對運動學模型的辨識效果并不明顯。

圖5　標定前后末端位置誤差

最后，選取測量區域7、8，進一步分析在動平臺繞X軸、Y軸轉動時，基于QPSO算法的分步辨識方法與直接辨識方法對運動學模型的辨識效果。在測量區域7、8分別均勻選取16個測量位姿，計算理想末端位置與給定的末端位置之間的偏差。如圖5所示，在所有的測量位姿上，由分步辨識結果建立的運動學模型計算的理想末端位置與給定的末端位置更加接近，證明分步辨識方法得到的五軸并聯機床機構參數能夠更好地匹配給定的末端位姿。

4　結論

(1)針對五軸并聯機床的機構參數辨識問題，提出一種基于量子粒子群優化算法的分步辨識方法。仿真計算得到的機構參數辨識值與給定值之間的偏差不超過10%，能夠比較準確地反映機構參數的給定值。

(2)分別利用基于量子粒子群優化算法的分步辨識方法與直接辨識方法，對五軸并聯機床進行機構參數辨識、比較分析。仿真結果表明由分步辨識方法辨識得到的機構參數更能準確地反映給定的末端位姿，辨識效果更好。

(3)針對五軸并聯機床的結構特征，對參數辨識所需的測量構型進行優化選取，可以有效提高辨識效率，對于其他少自由度并聯機床也有一定借鑒意義。

[1]Huang P，Wang J，Wang L，et al. Kinematical Calibration of a Hybrid Machine Tool with Regularization Method[J]. International Journal of Machine Tools and Manufacture，2011，51(3)：210-220.

[2]Joubair A，Slamani M，Bonev A I. Kinematic Calibration of a Five-bar Planar Parallel Robot Using All Working Modes[J]. Robotics and Computer Integrated Manufacturing，2013，29(4)：15-25.

[3]Varziri S M，Notash L. Kinematic Calibration of a Wire-actuated Parallel Robot[J]. Mechanism and Machine Theory，2007，42(8)：960-976.[4]Pashkevich A，Chablat D，Wenger P. Kinematic Calibration of Orthoglide-type Mechanisms from Observation of Parallel Leg Motions[J]. Mechatronics，2009，19(4)：478-488.[5]Wang Y，Wu H，Handroos H. Markov Chain Monte Carlo (MCMC) Methods for Parameter Estimation of a Novel Hybrid Redundant Robot[J]. Fusion Engineering and Design，2011，86(9)：1863-1867.

[6]Zhang D，Gao Z. Optimal Kinematic Calibration of Parallel Manipulators with Pseudoerror Theory and Cooperative Coevolutionary Network[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics，2012，59(8)：

3221-3231.

[7]Kuppan Chetty R M, Ponnambalam S G. A Heuristic Approach towards Path Planning and Obstacle Avoidance Control of Planar Manipulator[J]. Trends in Intelligent Robotics Automation and Manufacturing， 2012,330:1-11.

[8]Pugh J, Martinoli A. Distributed Scalable Multi-robot Learning Using Particle Swarm Optimization[J]. Swarm Intelligence，2009，3(3)：203-222.

[9]Alici G，Jagielski R，Sekercioglu Y A，et al. Prediction of Geometric Errors of Robot Manipulators with Particle Swarm Optimisation Method[J]. Robotics and Autonomous Systems，2006，54(12)：956-966.

[10]杜義浩，謝平，田培濤，等. 基于改進粒子群算法的并聯機器人運動學精度提高新方法[J]. 中國機械工程，2012，23(16)：1938-1942.

Du Yihao，Xie Ping，Tian Peitao，et al. A New Method for Improving Kinematics Accuracy of Parallel Robot Based on Improved PSO[J]. China Mechanical Engineering，2012，23(16)：1938-1942.

[11]周煒，廖文和，田威，等. 基于粒子群優化神經網絡的機器人精度補償方法研究[J]. 中國機械工程，2013，24(2)：174-179.

Zhou Wei，Liao Wenhe，Tian Wei，et al. Method of Industrial Robot Accuracy Compensation Based on Particle Swarm Optimization Neural Network[J]. China Mechanical Engineering，2013，24(2)：174-179.

[12]Sun J，Feng B，Xu W. Particle Swam Optimization with Particles Having Quantum Behavior[J]. Evolutionary Computation，2004，1(1)：325-331.

[13]Bergh D V F，Engelbrecht P A. A Cooperative Approach to Particle Swarm Optimization[J]. IEEE Transactions on Evolutionary Computation，2004，8(3)：225-239.

[14]Wang L，Xie F，Liu X，et al. Kinematic Calibration of the 3-DOF Parallel Module of a 5-axis Hybrid Milling Machine[J]. Robotica，2011，29(4)：535-546.

(編輯袁興玲)

A Step Identification Method of Mechanisim Parameters of 5-DOF Parallel Machine Tool

Dang PengfeiFang Lijin

Northeastern University,Shenyang,110819

A step identification method of mechanisim parameters was proposed based on QPSO algorithm to improve the accuracy of 5-DOF parallel machine tool. Firstly, according to structural characteristics of 5-DOF parallel machine tool, the measurement configurations were selected optimally. Then, the identification problem of mechanisim parameters was regarded as a nonlinear optimization problem, and solved through the two-step identification. The simulation results illustrate that the actual values of geometric errors of parallel robot can be identified accurately through the step identification method based on QPSO. Furthermore, the step identification method of mechanisim parameters is feasible for other limited-DOF parallel robots.

parallel robot; pose error; parameter identification; quantum-behaved particle swarm optimization(QPSO)

2014-08-04

TP242DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.12.016

黨鵬飛，男，1986年生。東北大學機械工程與自動化學院博士研究生。主要研究方向為并聯機器人精度。房立金，男，1965年生。東北大學機械工程與自動化學院教授、博士研究生導師。