基于Pro/E的圓弧彎曲鋼絲繩建模理論及幾何實現

郭　衛　路正雄　張　武

西安科技大學，西安，710054

基于Pro/E的圓弧彎曲鋼絲繩建模理論及幾何實現

郭衛路正雄張武

西安科技大學，西安，710054

為了精確建立多股圓弧彎曲鋼絲繩空間實體模型，對雙螺旋鋼絲繩各鋼絲空間幾何位置關系進行了分析，運用空間坐標變換理論建立了圓弧彎曲鋼絲繩數學模型，推導出圓弧彎曲鋼絲繩各鋼絲中心線的參數方程，結合Pro/E的參數化建模和曲面造型功能，完成了6×7IWS圓弧彎曲鋼絲繩幾何模型的建立。所獲結論為彎曲狀態螺旋鋼絲繩數學模型的建立奠定了理論基礎，為圓弧彎曲狀態下鋼絲繩的彈性特性理論分析提供了可能。

多股圓弧彎曲鋼絲繩；坐標變換理論；數學建模；實體建模

0　引言

鋼絲繩是一種柔性螺旋結構鋼制品[1]，具有強度高、繞性好、耐沖擊等特點，在使用中具有傳動平穩、承載力大、工作可靠等優點，被廣泛應用于礦山生產、機械加工、交通、建筑、橋梁、航空和航天等領域[2]。在實際工況下，鋼絲繩一般存在直立和彎曲兩種物理狀態，有時甚至出現多個彎曲段[3]。這使鋼絲繩的變形、受力變得十分復雜，尤其是在彎曲段[4-6]，因此，精確的彎曲鋼絲繩模型對于其力學特性分析就顯得十分重要。

關于直立狀態鋼絲繩建模，國內外學者做了大量的研究工作。孫建芳等[7]分析了在考慮接觸摩擦時鋼絲繩的成形過程；王桂蘭等[8]、Lee等[9-10]基于微分幾何學的Frent標架理論，給出了直立時二次螺旋線的數學表達式；Erd?nmez[11]基于微分幾何學理論，將直立狀態鋼絲繩鋼絲的數學表達式由二次螺旋線推廣到n次螺旋線；Stanova等[12]運用空間坐標變換理論，建立了直立狀態鋼絲繩的數學模型。然而，在彎曲狀態鋼絲繩建模方面研究成果較少。Hobbs等[13]和Nabijou等[14]基于微分幾何學理論，以直立鋼絲繩數學模型為基礎，給出了鋼絲在繩輪上的路徑表達式；李曉豁等[15]在此理論基礎上進行了幾何建模，但復雜結構鋼絲繩模型的建立仍不完善。本文在上述學者的研究基礎上，運用空間坐標變換理論，系統地闡述了圓弧彎曲雙螺旋鋼繩的建模過程，并給出了圓弧彎曲狀態下各螺旋鋼絲中心線曲線方程及其幾何模型。

1　鋼絲繩結構

雙螺旋鋼絲繩由多根鋼絲按照一定空間螺旋線關系纏繞而成，一般由多股螺旋纏繞中心股而成，股的繞制方向為繩的捻向；每股又由多層鋼絲螺旋環繞該股芯絲而成，絲的繞向即為股的捻向,如圖1所示。鋼絲作為構成股和繩的基本元素，在空間一般以四種幾何形式存在(圖2)：中心股芯絲中心線，該線一般為直立或簡單曲線；中心股側絲中心線，其相對于中心股中心線為一次螺旋線；側股芯絲中心線，該線相對于中心股芯絲中心線是一次螺旋曲線；側股側絲中心線，該線相對于中心股中心線是二次螺旋線。為生成股中各鋼絲的空間螺旋曲線，必須建立各鋼絲中心線的數學方程。

圖1　二次捻制鋼絲繩示意圖圖2　雙螺旋鋼絲繩斷面圖

2　圓弧彎曲鋼絲繩數學模型

2.1圓弧彎曲鋼絲繩中心股鋼絲數學模型

鋼絲繩在使用過程中，受工況影響，對安全系數和繩徑比(繩輪直徑與鋼絲繩直徑的比值)有不同的要求[16]。按右手法則建立笛卡爾坐標系Oxyz，作為鋼絲繩數學模型的全局坐標系，建立鋼絲繩數學模型。

2.1.1中心股芯絲

中心股芯絲中心線是以S(0,R1,0)為起點繞x軸逆時針旋轉γ(0≤γ≤π)角度所得的圓弧，完成此變換的旋轉矩陣如下：

(1)

圖3所示為中心股芯絲中心線。

圖3　中心股芯絲中心線

中心股芯絲參數方程為

(2)

2.1.2中心股側絲

設中心股右旋，該股第j層側絲螺旋角為Φj，在起始位置處，側絲中心線上某動點的齊次坐標為(rj,R1,0,0)，其中，rj為動點的螺旋半徑。中心股側絲的螺旋運動可由多個矩陣變換實現。首先，將全局坐標系Oxyz按向量u=(0,R1,0,0)平移得坐標系Sx1y1z1，并使z1軸與中心線在點S處相切，變換過程中所需要的矩陣T1為

(3)

然后，通過如下的矩陣T2使動點繞z1軸逆時針旋轉θ角：

(4)

設β、Φj分別為一次螺旋線的捻角和螺旋角，根據中心股絲之間的幾何關系得

(5)

從而有

(6)

令

(7)

故

θ=c γ

其中，c為一次螺旋線繞中心線繞制的圈數。

為獲得一次螺旋線在全局坐標系Oxyz中的螺旋線軌跡，必須先經如下的平移變換矩陣T3進行變換:

(8)

最后，通過如下的矩陣T4完成一次螺旋線繞中心股芯絲中心線在Oxyz坐標系中的旋轉變換:

(9)

所以，總變換矩陣為

(10)

在坐標系Oxyz中，一次螺旋線用矩陣表示為

[xyz1]T=T[rjR101]T

(11)

在全局坐標系Oxyz中，一次螺旋線的參數方程表示為

(12)

假設鋼絲繩繩股第j層有mj根鋼絲，式(12)為第j層中第i根鋼絲的中心線方程。其他側絲中心線方程只需將第i根側絲中心線繞芯絲中心線逆時針旋轉ξji=(i-1)2π/mj角度即可，其中i=1，2,…,mj。該旋轉變換矩陣為T5，股中各鋼絲間關系如圖4所示。

圖4　股中各絲相對位置關系示意圖

變換矩陣T5的表達式為

(13)

綜上所述，一次螺旋線變換矩陣為

T=T4T3T2T5T1

(14)

中心股第j層任意側絲中心線參數方程為

(15)

彎曲鋼絲繩中心股側絲的螺旋線方程為

(16)

其中，當q=1時，圓弧彎曲鋼絲繩中心股側絲右旋；當q=-1時，圓弧彎曲鋼絲繩中心股側絲左旋。

圖5　彎曲鋼絲繩中心股中心線圖

式(16)為圓弧彎曲鋼絲繩中心股側絲中心線參數方程，通過式(15)可得到6×7IWS圓弧彎曲鋼絲繩右旋中心股芯絲中心線圖，如圖5所示。

2.2圓弧彎曲鋼絲繩側股鋼絲數學模型

2.2.1圓弧彎曲鋼絲繩側股芯絲數學模型

圓弧彎曲鋼絲繩側股芯絲相對于中心股芯絲仍為一次螺旋線，其參數方程為

(17)

式中，R為側股芯絲螺旋半徑；m為股數。

2.2.2圓弧彎曲鋼絲繩側股側絲數學模型

假設側股側絲左旋，側股第j層側絲螺旋角為Ψj，二次螺旋線上某動點在起始位置處的齊次坐標為(R+rj,R1,0,1)，rj為動點的螺旋半徑。按矩陣T1平移坐標系Oxyz，使z軸在點S處與中心股芯絲中心線相切。將平移所得坐標系Sx1y1z1繞x1軸順時針旋轉β角度，同時平移向量v=(R,0,0,0)，使z1軸與一次螺旋線起點相切，該組合變換矩陣為

(18)

通過如下的旋轉矩陣T7使動點繞z2軸順時針旋轉角度φ：

(19)

圖6為側股側絲中心線、側股芯絲中心線及中心股芯絲中心線沿捻向展開的示意圖。

圖6　側股側絲、芯絲及中心股芯絲沿捻向展開圖

設α、β分別為股的捻角和鋼絲繩的捻角，取任意一段股長，由圓弧彎曲鋼絲繩幾何關系得φ與θ關系：

(20)

令

有

φ=c1θ

(21)

式中，c1為二次螺旋線繞一次螺旋線繞制的圈數。

由式(6)和式(20)得γ與φ之間的關系為

(22)

為獲得動點在坐標系Oxyz中的參數方程，必須先進行坐標變換T8，求得二次螺旋線在坐標系Sx1y1z1中的方程。T8表達式為

(23)

通過如下的矩陣T9完成動點繞側股芯絲的右旋：

(24)

通過矩陣T3對坐標系Sx1y1z1進行平移，動點通過矩陣T4沿中心股芯絲轉動。因此，動點總坐標變換矩陣表示為

T′=T4T3T9T8T7T6T1

(25)

坐標系Oxyz中動點坐標的矩陣方程為

(26)

彎曲鋼絲繩側股側絲中心線參數方程為

(27)

若彎曲鋼絲繩側股第j層有mj根鋼絲，式(27)為第i根側絲的中心線方程，其他側絲中心線只需將第i根鋼絲的中心線繞芯絲中心線逆時針旋轉ξji=(i-1)2π/mj，其中，i=1,2,…,mj，旋轉矩陣為

(28)

側股第j層任意鋼絲的參數方程為

(29)

綜上所述，圓弧彎曲鋼絲繩側股側絲方程為

(30)

其中，當p=1時,若q=-1彎曲鋼絲繩為右同向捻，q=1彎曲鋼絲繩為右交互捻；當p=-1時，若q=1為左交互捻彎曲鋼絲繩，q=-1為左同向捻彎曲鋼絲繩。

式(29)為彎曲鋼絲繩左旋側股側絲中心線的參數方程，由該方程得6×7IWS圓弧彎曲鋼絲繩左旋側股鋼絲中心線圖，如圖7所示。

圖7　圓弧彎曲鋼絲繩側股中心線圖

式(30)為圓弧彎曲鋼絲繩的數學模型，由該方程得右交互捻圓弧彎曲鋼絲繩鋼絲中心線圖，如圖8所示。

圖8　圓弧彎曲鋼絲繩鋼絲中心線圖

3　彎曲鋼絲繩幾何模型

以6×7IWS右交互捻鋼絲繩為例，運用Pro/E軟件和數學模型完成圓弧彎曲鋼絲繩幾何模型的建立。取繩徑比為20，繩和股的幾何參數如表1、表2所示。

表1　6×7IWS鋼絲繩結構參數

表2　6×7IWS鋼絲繩股結構參數

6×7IWS圓弧彎曲鋼絲繩由6個相同側股和一個中心股螺旋繞制而成；每股由6根側絲螺旋纏繞一根中心鋼絲而成，每根鋼絲的直徑相同。運用Pro/E的參數建模及曲面建模功能，完成圓弧彎曲鋼絲繩中心股的幾何建模，如圖9所示。圓弧彎曲鋼絲繩側股三維模型如圖10所示，圓弧彎曲鋼絲繩整體三維模型如圖11所示。

圖9　彎曲鋼絲繩中心股三維模型

圖10　彎曲鋼絲繩側股三維模型

圖11　彎曲鋼絲繩整體三維模型

4　結論

(1)本文分析了一次和二次螺旋鋼絲在鋼絲繩中的幾何位置關系，系統闡述了鋼絲繩繞制成形過程。

(2)運用微分幾何理論和空間坐標變換理論，建立了定繩徑比單/多股多層圓弧彎曲鋼絲繩數學模型。

(3)運用Pro/E軟件的參數化建模和曲面造型功能，完成了繩徑比為20時6×7IWS右交互捻圓弧彎曲鋼絲繩幾何模型的建立。

(4)本研究結論為其他彎曲狀態螺旋鋼絲繩數學模型的建立奠定了理論基礎，為圓弧彎曲狀態下鋼絲繩力學特性分析提供了可能。

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(編輯郭偉)

Geometric Modeling Theory of Bent Wire Rope Based on Pro/E

Guo WeiLu ZhengxiongZhang Wu

Xi’an University of Science and Technology,Xi’an,710054

In order to establish the bent model of multi-strands wire rope more exactly, the geometry relations of the various steel wires were analyzed about the bent wire rope in pace. Based on the theory of space alternate coordinate, the original parametric equation of the center line was deduced to the various steel wires in the bent wire rope. Using the capabilities of parametric and surface modeling of Pro/E, the solid modeling of the 6×7IWS bent wire rope was completed. The mathematical model of spiral steel wire rope lays a theoretical foundation for any bending wire rope and provides a possibility about theoretical analysis of the mechanical properties for the bent wire rope.

multi-strands bent wire rope; theory of space alternate coordinate; mathematical modeling;solid modeling

2014-11-27

中國博士后科學基金資助項目(2014M 562518XB)；西安科技大學培育基金資助項目(201330)

TH132DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.17.015

郭衛，男，1955年生。西安科技大學機械工程學院教授、博士研究生導師。主要研究方向為煤礦機械、礦山機械提升設備。發表論文50余篇。路正雄(通信作者)，男，1986年生。西安科技大學機械工程學院碩士研究生。張武，男，1985年生。西安科技大學機械工程學院講師、博士后研究人員。