不同參考系下斜拋運(yùn)動(dòng)的最大射程

許云飛

摘 要：探討了運(yùn)動(dòng)小車上斜拋運(yùn)動(dòng)在不同參考系下的最大射程。結(jié)論是在小車坐標(biāo)系下與大地坐標(biāo)系下的最大射程是不同的。小車坐標(biāo)系下拋角為45°時(shí)射程最大；在車上拋角大于45°時(shí)，大地坐標(biāo)下的射程才有可能最大，小車速度越大，需要在車上的拋角就越大。這些討論可以進(jìn)一步促使學(xué)生注意物理結(jié)論的隱含條件，加強(qiáng)對(duì)運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性的理解。

關(guān)鍵詞：斜拋運(yùn)動(dòng) 參考系 最大射程 拋射角度

中圖分類號(hào)：G63 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2017）09（b）-0202-02

運(yùn)動(dòng)學(xué)是運(yùn)用幾何學(xué)的方法來(lái)研究物體的運(yùn)動(dòng)，其結(jié)論與參考系密切相關(guān)。但是涉及參考系的極值問(wèn)題時(shí)，很多學(xué)生卻容易忘記參考系的影響，想當(dāng)然的對(duì)已有結(jié)論進(jìn)行擴(kuò)展而出錯(cuò)。例如斜拋運(yùn)動(dòng)，高中教材中提到在拋角為45°時(shí)射程最遠(yuǎn)[1]（不考慮空氣阻力），很多學(xué)生卻未注意這個(gè)最遠(yuǎn)僅是相對(duì)于大地這個(gè)靜止的坐標(biāo)系，想當(dāng)然的以為跨坐標(biāo)系描述時(shí)會(huì)仍然成立而出錯(cuò)。本文以具有水平初速度的斜拋運(yùn)動(dòng)為例來(lái)說(shuō)明，用以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性的理解。

1 模型

在速度為u（u>0）水平向右的車上，拋體以相對(duì)于車的速率，與車廂底部成θ角度被拋出，問(wèn)θ角多大時(shí)在地面觀測(cè)有最大射程（不考慮車的高度和空氣的阻力）。

建立直角坐標(biāo)系，可把問(wèn)題抽象成如圖1所示，拋體本身具有向右的水平速度u，再以速率被拋出，落地點(diǎn)D。

2 模型討論

以車為坐標(biāo)系，眾所周知，以45°角被拋出時(shí)，射程最遠(yuǎn)[1]。

以大地為參考系，很多同學(xué)想當(dāng)然的認(rèn)為應(yīng)該是在車上以45°角被拋出，因?yàn)榇藭r(shí)從車上看，射程最遠(yuǎn)，再加上此段時(shí)間內(nèi)車行進(jìn)的距離就是最遠(yuǎn)距離了。但是通過(guò)下面的推導(dǎo)，可以看到結(jié)論完全不是這樣。在地面上觀察，則

（1）

由可求得下落時(shí)間

（2）

因此

（3）

為求x最大值，令，得

（4）

令，由于k>0，cosθ>0，（4）式的解為

（5）

（5）式表明，隨著k的增加，cosθ減小，θ與k，即與和u的比值有關(guān)。分別取k=0，k→∞和k=1三種情況下討論。

（1）當(dāng)k=0時(shí)，表明u=0，車靜止，則，即，與文獻(xiàn)1的結(jié)論一致。

（2）當(dāng)k→∞時(shí)，表明u→∞，即，則cosθ→0，即。可這樣理解這個(gè)結(jié)論：由于水平速度u很大，在x方向的分量可以忽略，其最大射程主要有豎直方向的下落時(shí)間決定，而接近90°上拋時(shí)下落時(shí)間最長(zhǎng)，則此時(shí)的射程最遠(yuǎn)。

（3）當(dāng)k=1時(shí)，表明，則，即，最大射射程為。而如果以45°被拋出的話，最大射程為，小于。

可見(jiàn)u>0時(shí)，從車上看來(lái)，拋角均應(yīng)大于45°，其中在之間時(shí)，最佳拋角在之間，當(dāng)時(shí)，最佳拋角在之間，小車速度越大，需要的拋角越大。

在跳遠(yuǎn)運(yùn)動(dòng)中，起跳角度45°時(shí)跳的最遠(yuǎn)（不考慮運(yùn)動(dòng)員身高，空氣阻力），這是從大地坐標(biāo)系觀察，而運(yùn)動(dòng)員起跳時(shí)是根據(jù)自身感覺(jué)判斷起跳角度的，根據(jù)前面的討論，應(yīng)該是大于45°起跳，文獻(xiàn)中給出的起跳離板角約為75°[2]。由于垂直起跳速度小于水平助跑速度較多，因此我國(guó)運(yùn)動(dòng)員提高跳遠(yuǎn)成績(jī)的主要方法是提高騰起垂直速度即騰起角度[3]。

3 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)對(duì)斜拋運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的深入探討，一方面能使學(xué)生對(duì)斜拋運(yùn)動(dòng)有更好的理解，另外在描述運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)，會(huì)更加注意參考系的作用，更好的掌握速度的分解與合成這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，深刻體會(huì)運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性這一物理思想；另一方面使學(xué)生明白物理結(jié)論都有其苛刻的適用條件或隱含條件，當(dāng)條件變化時(shí)，必須要進(jìn)行詳細(xì)的理論推導(dǎo)或?qū)嶒?yàn)驗(yàn)證，不能想當(dāng)然的對(duì)結(jié)論進(jìn)行推廣。

參考文獻(xiàn)

[1] 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)物理[M].北京：人民教育出版社，2010.

[2] 卓建南，何秋華.中外優(yōu)秀跳遠(yuǎn)運(yùn)動(dòng)員助跑速度比較與分析[J].廣州體育學(xué)院學(xué)報(bào)，2004，24（2）：77-78.

[3] 鄧澤祥.中國(guó)跳遠(yuǎn)運(yùn)動(dòng)員的“高助跑速度利用率”引起的思考[J].廣州體育學(xué)院學(xué)報(bào)，2002，22（2）：52-54.endprint