工作休假和忙期可轉化的M/M/1排隊

師海燕，魏 淳，盧永紅

（1.山西大同大學數學與計算機科學學院，山西大同037009；2.山西大同大學物理與電子科學學院，山西大同037008）

工作休假和忙期可轉化的M/M/1排隊

師海燕1，魏 淳2，盧永紅1

（1.山西大同大學數學與計算機科學學院，山西大同037009；2.山西大同大學物理與電子科學學院，山西大同037008）

研究了工作休假和忙期可轉化的M∕M∕1排隊。系統啟動后服務臺為顧客進行服務，直到系統變空，進入一個空閑期。在空閑期沒有顧客到的話，服務臺開始一個工作休假。工作休假并不是完全停止服務，而是低速率為顧客服務。在這個排隊中，工作休假可以暫停，進入忙期。用隨機模型的矩陣幾何解，得到穩定狀態下平均顧客數的分布及其概率生成函數。此外，也獲得顧客數和顧客在系統中等待時間的隨機分解以及多余顧客數的分布和額外等的時間的LST。

工作休假;忙期;M∕M∕1;矩陣幾何解;隨機分解

1909年，丹麥工程師Erlang為了提高電話通訊服務的效率，深入研究了電話系統的排隊問題，自此開創了排隊論。1951年，排隊論形成了以隨機服務系統為理論基礎的一門新學科。最初的研究集中于連續時間排隊論，1958年Meisling首次研究了離散時間排隊論，離散時間排隊論更適合于計算機系統建模，引起了大批排隊論和通信工程專家的專注，并產生了大量理論和應用方面的成果。近十幾年，Servi和Finn在文獻[1]中引入了工作休假策略：服務臺以較低速率為顧客服務。這種策略的引入，對排隊論的研究具有劃時代意義。接著，Li Jihong，Tian Naishuo在文獻[2]中首次研究了休假可中止的M∕M∕1工作休假排隊。Li Jihong,Tian Naishuo等在文獻[2]的基礎上將休假可中止推廣到GI∕M∕1[3]，朱翼雋和石秀闖在文獻[4]中討論了M∕G∕1的休假中止排隊。文獻[5]研究了帶啟動期和休假可中止的Geom∕Geom∕1排隊。

1 模型描述

工作假期和忙期可轉化的M∕M∕1排隊,其模型描述如下:

顧客到達的時間差，忙期的服務時間，空閑時間，工作休假的服務時間，工作休假時長之間相互獨立，且各自服從參數為 λ,μb,α0,μv,θ的指數分布。

系統啟動后對顧客以速率μb進行服務，當服務完成后發現系統變空，進入一個準備休假期。準備休假期沒有顧客來，服務臺開始工作休假，工作休假可中止[6]，進入忙期。這種策略的引入，大大提高了數據傳輸，銀行排隊，交通系統，生產管理等這類系統的靈活性，從而為節約資源，降低成本，挽留不耐煩顧客等方面的優化提供理論依據。

服務規則采取先來先服務，沒有優先權。Q(t)為t時刻系統中的顧客數，J(t)為t時刻系統的狀態。定義

(Q(t),J(t)),t≥0}是一個擬生滅過程，狀態空間為Ω={(k,j),k≥0,j=0,1}。其中(0,1)是延遲休假期。按字典序排列，無窮小生成元為：

接下來計算率矩陣R。

定理1如果c＜1，矩陣方程

有最小非負解

解得a,b,c。

證明由矩陣幾何解方法[7]，正常返的充分必要條件是SP(R)＜1，而SP(R)＜1的充分必要條件是c＜1，且(π0,π1)B[R]=0 有正解，其中

是隨機陣，因此方程必有正解。

2 顧客數及隨機分解

定理3(Q,J)正常返的條件下，它的聯合概率分布為

由歸一化方程π0e+π1(I-R)-1e=1可得K。

由(3)得穩態下的狀態概率為：

穩態下顧客數Q的分布為：

其中

由定理4，容易得

3 等待時間及隨機分解

定理5在系統正常返且 μb＞μv的條件下，W能分解成W=W0+Wd，其中W0是普通M∕M∕1排隊中顧客在系統中等的時間，服從參數為μb-λ的指數分布；Wd是由工作休假且休假中止導致顧客額外等的時間，其LST為：

由定理5,可知

[1]SERVI L D,FINN S G.M∕M∕1 queue with working vacations(M∕M∕1∕WV)[J].Perform Evaluation,2002（50）:41-52.

[2]LI Jihong，TIAN Naishuo.The M∕M∕1 Queue with Working Vacations and Vacation Interruption[J].Systems Science and Systems Engineering,2007,16(1):121－127.

[3]LI Jihong,TIAN Naishuo，MA Zhanyou.Performance Analysis of GI∕M∕1 Queue with Working Vacations and Vacation Interruption[J].Applied Mathematical Modeling，2008，32(12):2715－2730.

[4]朱翼雋,石秀闖.M∕G∕1工作休假和休假中止排隊[J].運籌與管理，2008，17(4):67-71.

[5]潘小春,朱翼雋.帶啟動期的Geom∕Geom∕1可中止工作休假排隊[J].河南科技大學學報，2011，32(2):63－67.

[6]田乃碩,徐秀麗,馬占友.離散時間排隊論[M].北京:科學出版社,2008.

[7]NETUS M.Matrix-geometric solution stochastic models[M].Baltimore:Johns Hopkins University Press,1981.

Key wods:working vacation;busy period;M∕M∕1;matrix-geometric solution;stochastic decomposition.

Working Vacation and Busy Period Can beTransferred in M/M/1 Queue

SHI Hai-yan1，WEI Chun2，LU Yong-hong3
（1.School of Mathematics and Computer Science，Datong Shanxi,037009;Datong Shanxi 037009;3.School of Physics and Electronic Science,Shanxi University,Datong Shanxi,037009）

In the paper,working vacation and busy period can be transferred in M∕M∕1 queue.When the system starts up,the desk begins to provide customs with service until the system is empty,coming to an delay period.In this period,if there are no customs,the desk starts a working vacation.It is no a complete stop of service,but service at a lower rate.In this model,the working vacation can be suspended.Using random matrix geometric solution of the model,it gets the distribution of the number of customers in steadystate and its probability generating function.In addition,it obtains the number of customers and waiting time of stochastic decomposi?tion and distribution of additional numbers and the LST of additional delay.

O226

A

1674-0874(2015)05-0013-03

2014-08-16

國家自然科學基金項目[11301312]

師海燕(1982-)，女，山西呂梁人，碩士，助教，研究方向:排隊論。

〔責任編輯 高海〕