生成分支q-矩陣的Feller性質

張秀珍，薛桂蘭,喬世東，張潔萍

（1.山西大同大學數學與計算機科學學院，山西大同037009;2.山西大同大學煤炭工程學院，山西大同037003）

生成分支q-矩陣的Feller性質

張秀珍1，薛桂蘭2,喬世東1，張潔萍1

（1.山西大同大學數學與計算機科學學院，山西大同037009;2.山西大同大學煤炭工程學院，山西大同037003）

研究了生成分支q-矩陣，得到了該矩陣Feller性的充要條件。

q-矩陣;生成分支q-矩陣;Feller;強零流入

近年來,許多專家學者們對于生成分支過程做出了不少的研究，比如生成分支過程的遍歷性，見文獻[1-2]。本文就生成分支q-矩陣

的Feller性進行研究。

1 預備知識

若qij→0,當i→∞時，j∈E={1,2,3,…},則稱 q-矩陣是Feller的;

2 主要結論

定理1設生成分支q-矩陣Q=Q*+A，其中Q*是一個單調的q-矩陣，A是一個Feller的且行和有界的矩陣，也就是，則Q是強零流入的當且僅當Q*強零流入。

證明 Q,Q*可在l1上分別誘導出算子Q1,Q*1,并定義如下：

其中y是行向量。令Ω是由最小Q-函數誘導的連續壓縮半群P(t)的生成元，則Ω?Q1，也就是，Ω是Q1的限制。因而λI-Ω?λI-Q1。由已知條件強零流入得λI-Q1是單射，這意味著，λI-Ω=λI-Q1，因而

選取 λ0滿足，則由巴拿赫定理得，

定理2生成分支q-矩陣Q仍分解成如定理1的形式，則最小Q-函數P()t是Feller轉移函數的充要條件是最小的Q*-函數P*(t)也是Feller的。

證明P*(t)是Feller的，則最小Q*-豫解φ*(λ)也是Feller，因而φ*(λ)在c0上誘導一個有界算子。取λ0滿足，則由巴拿赫定理知，在存在且

也就是對任意的x∈c0，

因而λI-Q是c0上的滿射。因而最小的Q*-函數P*(t)是Feller的。反過來取Q*=Q-A可類似地證明。

定理3對生成分支q-矩陣Q，最小Q-函數是Feller的當且僅當Q是Feller且強零流入的。

證明由于生成分支q-矩陣Q=Q*+A，Q*是一個單調的q-矩陣，A是一個Feller的且行和有界，由最小的Q*-函數是Feller的當且僅當單調q-矩陣Q*是Feller且強零流入的，最小Q-函數是Feller的當且僅當Q是Feller且強零流入的。

[1]ANDERSON W J.Continuous Time Markov Chains[M].New York:Springer-Verlag,1991.

[2]CHEN A Y.Ergodicity and stability of generalized Markov branching processes with resurrection[J].Appl Prob Letters,2002(39):786-803.

[3]YOSIDA K.Function Analysis[M].New Yourk:Springer-Verlag,1978.

[4]LI Jia,LI Yangrong.Criteria for Feller transition functions[J].Math Anal Appl,2009(359):653-665.

The Feller Property of Generalized Branching q-matrix

ZHANG Xiu-zhen1,XUAN Gui-lan2,QIAO Shi-dong1,ZHANG Ji-ping1
(School of Mathematics and Computer Science,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009;2.School of Coal Engineering,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037003)

In this paper,we will obtain a sufficient and necessary condition of the Feller property of the generalized branching q-matrices.

q-matrices;generalized branching q-matrices;Feller;zero-entrance

O175

A

1674-0874(2015)05-0018-02

2014-05-24

張秀珍（1984-），女，山西大同人，碩士，助教，研究方向:泛函分析。

〔責任編輯 高海〕