已知參數的平板折疊桌的動態變化模型和設計加工模型

崔亞瓊，康淑瑰

（山西大同大學數學與計算機科學學院，山西大同037009）

已知參數的平板折疊桌的動態變化模型和設計加工模型

崔亞瓊，康淑瑰

（山西大同大學數學與計算機科學學院，山西大同037009）

在合理的假設和規定下，通過建立三維直角坐標系，本文建立了已知參數的平板折疊桌的動態變化模型和設計加工模型。

三維直角坐標系;動態變化模型;設計加工模型;開槽長度

1 問題重述

某公司生產一種可折疊的桌子，桌面呈圓形，桌腿隨著鉸鏈的活動可以平攤成一張平板。桌腿由若干根木條組成，分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條連接，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側的兩根木條上，并且沿木條有空槽以保證滑動的自由度。桌子外形由直紋曲面構成，造型美觀。

試建立數學模型討論下列問題：

給定長方形平板尺寸為120 cm×50 cm×3 cm，每根木條寬2.5 cm，連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側木條的中心位置，折疊后桌子的高度為53 cm。試建立模型描述圖1折疊桌的動態變化過程，在此基礎上給出此折疊桌的設計加工參數（例如，桌腿木條開槽的長度等）。

圖1 折疊桌的動態變化圖

2 問題分析

問題要求建立數學模型來描述給定參數的折疊桌打開的變化過程，并在此基礎上給出這個折疊桌的設計加工參數。

為了準確地描述此過程，需要建立適當的空間直角坐標系，并選取合適的參數作為自變量來描述此折疊桌動態的變化過程。經過分析與附件中視頻可知，折疊桌隨最外側桌腿緩慢展開，最外側的桌腿與桌平面的夾角逐漸增大，內側的桌腿與桌平面的夾角也隨其變化。因此，我們選用最外側桌腿與桌平面的夾角作為變化過程的自變量，尋找自變量與其他變量的等量關系，利用這個等量關系來對其它桌腿的動態變化過程進行數學表示，并根據等量關系求出合理的加工設計方案。在加工設計方案時，我們應考慮到桌腿與桌面邊緣的加工設計、各個桌腿的開槽長度以及開槽位置。

3 模型假設與規定

3.1 模型假設

1)研究各個問題時，桌面厚度忽略不計；

2)桌腿之間的縫隙與桌腿和桌面之間縫隙忽略不計，桌腿光滑；

3)鋼筋條與桌腿槽接觸光滑。

3.2 模型規定

1)由于研究對象具有對稱性，所以我們將其分為四個象限。在研究時，只考慮一個象限的變化過程，即能描述出整體的變化過程。所以我們以桌面圓心為坐標原點，建立三維直角坐標系，桌面以下被劃分為四個部分，分別稱為第一、二、三、四象限，各象限互相對稱;

2)為了研究桌腿方便，規定桌腿從外側往內側從1開始往大數排序，最中間桌腿即為排序最大數。

4 定義及符號說明

表1 符號說明表

5 模型的建立與求解

我們將主要解決兩個問題，這兩個問題分別是：利用數學模型描述折疊桌的動態變化過程；給出詳細的折疊桌加工設計方案。

5.1 折疊桌動態變化模型

為了建立折疊桌的動態變化模型，首先確定可以描述折疊桌變化的參數。對于折疊桌這個動態系統，它主要由桌面與桌腿組成。桌面屬于靜態部分，桌腿屬于動態部分，所以對桌腿在整個系統當中的運動進行動態建模即可得到整個折疊桌的動態變化。為了描述桌腿的運動，我們從以下四個方面確定其運動狀態。

1)鋼筋條在每個桌腿上的位置Di（鉸鏈點到鋼筋條的距離）；

2)每個桌腿與桌平面夾角的αi；

3)桌腿末端水平面至桌面的距離hi；

4)每個桌腿的垂直投影長度si。

由于最外側的桌腿鋼筋位置固定，并且最外側的整個桌腿運動軌跡呈簡單的弧線型。與其他桌腿的動態變化相比，最外側的桌腿最具有參照性，也最容易獲得其變化狀態。所以將最外側桌腿的運動變化做為整個折疊桌的動態變化影響條件，而最外側的桌腿運動變化反應在最外側桌腿與桌平面的夾角變化。

這里我們定義最外側桌腿為第1條桌腿，故其與桌平面的夾角為α1，如圖2所示。故在此模型中將最外側桌腿與桌平面的夾角α1做為動態變化模型的自變量，通過其建立模型確定整個折疊桌的動態變化過程。

圖2 最外側桌腿與桌平面夾角

折疊桌動態變化模型描述如下：

1）首先計算各個桌腿鉸鏈點到其至圓心的距離為ri，第i條桌腿的長度li=L∕2-ri。

圖3 桌腿鉸鏈點到其至圓心線的距離

木板的切割方式采用如圖3所示的切割方式，此與附件圖中切割形式相同。首先由題設知最外側的桌腿與圓心線（圓心線即為過圓心的直徑，也就是折疊桌的中軸線）的距離r1≠0。已知木板原材料的寬為W，可求得圓桌面的半徑R=W∕2，又已知每條桌腿的寬度為w，則根據勾股定理可以計算出來第i條桌腿鉸鏈點至圓心線的距離：

第i條桌腿的長度li=L∕2-ri。求得的ri如表2所示。

2）計算桌面至鋼筋條所在水平面的垂直距離H與第1條桌腿的垂直投影長度s1。

表2 桌腿鉸鏈點至圓心線的距離與桌腿長度（cm）

鋼筋條被安裝在第1桌腿的中心位置。鋼筋條起到連接各個桌腿的作用，這樣就保證了無論在任意時刻，所有桌腿都會通過鋼筋條，從正視圖來看，也就是所有的桌腿都會經過鋼筋條點。如圖4所示。

圖4 折疊桌腿變化關系

由于鋼筋在最外側桌腿的中心位置，則第1條桌腿的鉸鏈點至鋼筋點的距離 D1=l1∕2=27.5cm。那么桌面至鋼筋水平面的垂直距離H=D1sinα1。第一條桌腿的垂直投影長度s1=D1cosα1。

3）第i條（i≠1）桌腿其變化規律隨最外側桌腿的變化規律。

此時，桌面到任意桌腿的鋼筋水平面的距離都為H。那么，第i條（i≠1）桌腿其變化規律隨最外側桌腿的變化規律如下：

① 鋼筋條在第i條桌腿上的位置Di，也就是從鉸鏈點到鋼筋條的距離：

② 第i條桌腿與桌平面夾角的αi：

③第i條桌腿末端至桌面的垂直距離hi：

④第i條桌腿的垂直投影長度si:

綜上結果，對于此折疊桌，若已知最外側桌腿與桌面的夾角和木板的長度L，即可求出以下四種狀態。

a.鋼筋條在第i條桌腿上的位置Di：

5.2 折疊桌加工設計模型

為了制造出符合題目要求中的折疊桌，需要將設計圖紙與加工方案詳細的列出。這個折疊桌的原材料為一個矩形的木板，折疊桌由桌面、桌腿和開槽三部分組成。接下來我們就分別來設計這三部分，最后給出整個折疊桌的設計圖。

桌面與桌腿的設計主要是得到沿圓桌邊緣線上的鋸齒加工方案。只要能確定這個鋸齒加工方案就能得到相應的桌面與桌腿。通過在構建動態模型的過程中，求得了桌腿鉸鏈點至圓心線的距離ri與桌腿長度li。通過這些長度以及每條桌腿的加工寬度就能確定原材料板的加工設計。

原材料板的規格：120cm×50cm×3cm。為了簡單清晰，在設計時，我們只考慮第一象限，其他象限的設計與其對稱相同。由表5.1可知，桌腿鉸鏈點至圓心線的距離ri與桌腿長度li并且桌腿寬度w=2.5cm。故得第一象限的設計圖如圖5所示。

圖5 第一象限的桌60cm設計圖

2 鋼筋與開槽的設計與加工方案

按照折疊桌的設計要求，鋼筋安裝在最外側桌腿的中心位置。最外側桌腿長度l1=55cm。所以鋼筋安裝在距離最外側桌腿末端27.5cm處。由圖5可以得到，鋼筋開槽的起始位置都距離各個桌腿末端27.5 cm，記為Bg。

在確定了開槽的起始位置之后，接下來要確定開槽的終點位置。即為折疊桌打開到的穩定位置，題目中所述的高度為53cm的位置。

根據勾股定理可以求得

為了求得其他桌腿的開槽終點位置，就需要利用鋼筋條在第i條桌腿上的位置Di，即從鉸鏈點到鋼筋條的距離來確定，由公式(1)可知：

根據此公式即可計算出第i條桌腿上從鉸鏈點到鋼筋條的距離，同時也就得到了鋼筋條終點位置距離第i條桌腿末端的距離Edi=li-Dii，開槽長度

表3 鋼筋結束位置Edi與開槽長度CLi（cm）

CLi=Bg-Edi。結果如表3所示。

用動態模利型對開槽的長度進行分析，開槽長

圖6 卡槽長度變化曲線

度由外向內逐漸減小，而且減小速依次減慢。利用Matlab 2014a Curve Fitting Tool進行數據擬合，開槽長度與桌腿的條數關系如圖6所示。

6 模型檢驗與評價

折疊桌的動態變化模型本質上就是一個動態函數模型，折疊角度為自變量，桌腿邊緣線運動軌跡為因變量，利用數學抽象分析，找出其中的函數關系，變量之間關系確定，所得的函數關系式較為合理。美中不足的是本模型設計出的桌子加工參數沒有實際實驗過，如果實際加工木桌肯定會發現一些問題，能夠更好地改進本模型該考慮的一些因素。

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Absrtact：Under the reasonable assumptions and regulations，based on the three-dimensional Cartesian coordinate system，this paper establishes the dynamic change model and design process model to the flat folding table with known parameters.

Dynamic Change Model and Design Process Model to the Flat Folding Table with Known Parameters

CUI Ya-qiong，KANG Shu-gui
(School of Mathematics and Computer Science，Shanxi Datong University，Datong Shanxi，037009)

three-dimensional cartesian coordinate system；dynamic change model；design process model；slot length

O141.4

A

1674-0874(2015)05-0024-04

2014-07-18

國家自然科學基金項目[11271235]；山西大同大學項目[2013K5]

崔亞瓊(1973-)，女，山西左云人，碩士，副教授，研究方向：非線性泛函分析。

〔責任編輯 高彩云〕