基于Matlab的拋射體運(yùn)動(dòng)軌跡分析

高彩云

（山西大同大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院，山西大同037009）

基于Matlab的拋射體運(yùn)動(dòng)軌跡分析

高彩云

（山西大同大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院，山西大同037009）

用解析法推導(dǎo)出拋射體在受空氣阻力影響下運(yùn)動(dòng)的軌道方程，以及射程最大時(shí)拋射角所滿足的方程，借助Matlab的數(shù)值計(jì)算功能編制程序，模擬出在不同的阻力系數(shù)、拋射體質(zhì)量、初速度和拋射角度下的軌道曲線。結(jié)果發(fā)現(xiàn)阻力系數(shù)對(duì)軌道的對(duì)稱性影響最大，而射程和射高會(huì)隨著阻力系數(shù)減小、拋射體質(zhì)量增大、拋射速度增大以及拋射角度的增大而增大，與不計(jì)空氣阻力時(shí)不同，拋射角在略小于45°時(shí)射程是最大的。

拋射體；阻力系數(shù)；射程；拋射角；Matlab

理想拋射體運(yùn)動(dòng)的軌道是一條拋物線，當(dāng)拋射角為45°時(shí)射程最大[1-3]；由于受到空氣阻力的影響，實(shí)際拋射體運(yùn)動(dòng)與理想拋射體運(yùn)動(dòng)會(huì)有所區(qū)別，比如軌道的形狀不再是拋物線、射程會(huì)縮短、落地速度會(huì)減小和落地角會(huì)增大等[4-5]。對(duì)于實(shí)際拋射體運(yùn)動(dòng)，解析法求解比較復(fù)雜，而借助計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值分析更加容易理解，且可以直觀模擬出拋射體運(yùn)動(dòng)的軌跡曲線[6-9]，本文采用Matlab軟件的相關(guān)函數(shù)功能進(jìn)行編程，并借助Origin進(jìn)行圖像模擬，分別比較了不同阻力系數(shù)、不同質(zhì)量物體、不同初速度以及不同拋射角度下的斜拋運(yùn)動(dòng)軌跡。

1 方程的求解

設(shè)拋射體質(zhì)量為m,以初速度v0拋射，v0與水平方向夾角為θ，所受空氣阻力R=-bv，式中的比例系數(shù)b為阻力系數(shù)，它和介質(zhì)本身的性質(zhì)和物體的形狀大小有關(guān)。

拋射體在水平方向運(yùn)動(dòng)微分方程為

豎直方向的運(yùn)動(dòng)微分方程為

若t=0時(shí)，x=y=0，vx=v0cosθ,

vy=v0sinθ,解方程(1)、(2)可得：

兩式消去時(shí)間參數(shù)t得軌道方程為：

從軌道方程可以看出，軌跡的形狀與拋射體的質(zhì)量、空氣的阻力系數(shù)、拋射的初速度以及拋射角度有都關(guān)系。

令(4)式中y=0，則得落回初始高度所需要的時(shí)間為：

將(6)式代入(3)式得拋射體的射程為：

即最大射程對(duì)應(yīng)的θ滿足的方程。

2 軌道的模擬

2.1 不同阻力系數(shù)下的軌道比較

設(shè)拋射體的質(zhì)量為1 kg,拋射時(shí)初速度大小為10 m/s,以拋射角為45°，空氣的阻力系數(shù)分別等于0.01 kg/s、0.20 kg/s、2.00 kg/s、5.00 kg/s。應(yīng)用Matlab編制程序，并對(duì)拋射體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行模擬，繪制曲線，如圖1所示。

圖1 不同阻力系數(shù)下的運(yùn)動(dòng)軌跡

從圖1可知，在拋射體質(zhì)量、拋射初速度以及拋射角度相同的情況下，隨著阻力系數(shù)的不斷減小，拋射體的射高越來(lái)越大，射程也越來(lái)越大，軌跡的形狀越來(lái)越對(duì)稱，即越接近拋物線（以最高點(diǎn)為水平對(duì)稱點(diǎn)觀察拋射體兩側(cè)的軌跡），阻力系數(shù)越大，下落的過(guò)程的軌跡越接近豎直線，正如文獻(xiàn)所說(shuō)，阻尼介質(zhì)中彈道具有豎直漸近線。

2.2 不同質(zhì)量拋射體的軌跡比較

我們知道，在無(wú)空氣阻力的理想拋射運(yùn)動(dòng)中，拋射體軌道的形狀與其質(zhì)量無(wú)關(guān)。但是如果考慮空氣阻力，從上面的(3)、(4)、(5)可以看出，軌道的形狀與物體本身的質(zhì)量大小是有關(guān)系的。

設(shè)拋射時(shí)初速度大小為10 m/s,以拋射角為45°，空氣的阻力系數(shù)為0.10 kg/s，拋射體的質(zhì)量分別為0.1 kg、0.2 kg、1.0 kg、10.0 kg。采用同樣的方法模擬出軌道曲線，如圖2所示。

圖2 不同質(zhì)量拋射體的運(yùn)動(dòng)軌跡

從圖2可知，在拋射初速度、拋射角度以及阻力系數(shù)相同的情況下，隨著拋射體質(zhì)量的增大，拋射體的射高越來(lái)越大，射程越來(lái)越大，但是對(duì)軌跡的形狀即對(duì)稱性影響不明顯。

2.3 不同初速度下的軌跡比較

不考慮空氣阻力的情況下，拋射體的初速度會(huì)影響射時(shí)、射高和射程，初速度越大，射時(shí)、射高和射程就越大，但是不會(huì)影響到軌跡的形狀。下面討論在考慮空氣的阻力的情況下，拋射體的初速度對(duì)拋射體的運(yùn)動(dòng)軌跡的影響。

設(shè)物體受到的阻力系數(shù)為0.1 kg/s，拋射角度同樣為45°，物體的質(zhì)量為1 kg，拋射初速度分別為5 m/s、10 m/s、15 m/s、20 m/s。采用同樣的方法模擬軌道曲線，如圖3所示。

圖3 不同初速度的運(yùn)動(dòng)軌跡

從圖3可知，在拋射體質(zhì)量、拋射角度以及阻力系數(shù)相同的情況下，隨著拋射體初速度的增大，拋射體的射高越來(lái)越大，射程越來(lái)越大，但是對(duì)軌跡的形狀即對(duì)稱性影響不明顯。

2.4 不同拋射角度下的軌跡比較

從式(8)可以計(jì)算出，若阻力系數(shù)b=0（即沒(méi)有空氣阻力），則當(dāng)θ=45°時(shí)射程最大。但是如果考慮空氣阻力，設(shè)物體受到的阻力系數(shù)為0.1 kg/s,物體的質(zhì)量為1 kg,拋射初速度為10 m/s，可以計(jì)算出射程最大的對(duì)應(yīng)的拋射角度θ=43.7°，略小于45°。圖(4)中拋射角度分別為15°、30°、45°、60°、75°。

圖4 不同拋射角的運(yùn)動(dòng)軌跡

從圖4可知，在拋射體質(zhì)量、拋射初速度以及阻力系數(shù)相同的情況下，隨著拋射角度的增大，拋射體的射高越來(lái)越大，但是以不同角度拋射時(shí)，拋射體的軌跡發(fā)生了明顯的變化，并且拋射體的水平射程不是在拋射角45°時(shí)最大，而是略小于45°。

3 結(jié)論

實(shí)際拋射體運(yùn)動(dòng)和理想拋射體運(yùn)動(dòng)是有區(qū)別的，它不是一條拋物線，其中阻力系數(shù)對(duì)形狀的對(duì)稱性影響最大，阻力系數(shù)越大下落過(guò)程軌道越接近直線；阻力系數(shù)減小、拋射體質(zhì)量增大、拋射速度增大以及拋射角度的增大都會(huì)使射高和射程增大；但是其他條件不變時(shí)，拋射角在略小于45°時(shí)射程是最大的。

當(dāng)然，實(shí)際存在的空氣阻力比較復(fù)雜，它和空氣的密度、拋射體的速度、拋射體本身的大小都有關(guān)系，而且實(shí)際的拋射體有大小和形狀，它的運(yùn)動(dòng)除了平動(dòng)還要旋轉(zhuǎn)。例如要想射程最大，投擲鏈球時(shí)的拋射角要小于投擲鉛球的，投擲棉花團(tuán)的拋射角小于石子的，所以這里也只是進(jìn)行近似分析。

[1]周衍柏.理論力學(xué)教程[M].北京：高等教育出版社，1986:34-35.

[2]楚安夫.關(guān)于斜拋運(yùn)動(dòng)的分析[J].大學(xué)物理,1997(9):46-47.

[3]吳樹(shù)鵬,葉長(zhǎng)安.斜拋物體運(yùn)動(dòng)的模擬[J].黑龍江大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào),1999(2):79-82.

[4]藥樹(shù)棟,宮建平.阻力對(duì)拋射體運(yùn)動(dòng)的影響[J].山西師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2006(3)：33-37.

[5]鞠衍清.拋射體運(yùn)動(dòng)的飛行路徑與拋射角的關(guān)系[J].物理與工程，2005,15(6)：7.

[6]劉衛(wèi)國(guó),陳昭平,張穎.MATLAB程序設(shè)計(jì)與應(yīng)用[M].北京：高等教育出版社，2000:64-74.

[7]李武鋼.阻力系數(shù)和物體質(zhì)量對(duì)斜拋運(yùn)動(dòng)影響的數(shù)值分析[J].廣西師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2006(2)：112-114.

[8]王安祥,李繼軍,翟學(xué)軍,等.基于Matlab的科里奧利力對(duì)拋體運(yùn)動(dòng)的影響[J].陜西科技大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2010(6):106-110.

[9]閆琴，李斌.有阻尼斜拋物體運(yùn)動(dòng)的分析[J].石河子大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2004(6):522-524.

Projectile Motion Trajectory Analysis Based on Matlab

GAO Cai-yun
(School of Physics and Electronics Science,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009)

Projectile is deduced by the analytic method under the influence of air resistance was in orbit equations of motion,and satisfy the equation of the maximum when the mass ejection angle range,with the aid of numerical calculation function of Matlab pro?gramming,simulation in different resistance coefficient,quality of projectile,initial velocity and mass ejection angle under the rail curve.It was found that drag coefficient of orbit symmetry,and the range and high will drag coefficient decrease,increase the quality of projectile,projectile velocity increase and projectile Angle increases,and without air resistance,mass ejection angle at slightly less than 45°range is the biggest of all.

pojectile;drag coefficient;range;projected angle;Matlab

O411.3

A

1674-0874(2015)05-0028-03

2015-03-24

高彩云（1980-），女，山西五臺(tái)人，碩士，講師，研究方向：物理教育。

〔責(zé)任編輯 高彩云〕