一階脈沖微分方程組周期邊值問題正解的存在性

郭彥平，韓迎迎，李春景

（河北科技大學理學院，河北石家莊050018）

一階脈沖微分方程組周期邊值問題正解的存在性

郭彥平，韓迎迎，李春景

（河北科技大學理學院，河北石家莊050018）

研究一類一階脈沖微分方程組周期邊值問題正解的存在性問題。首先定義合適的線性空間以及范數,再給出恰當的算子,在非線性項和脈沖值滿足一定的條件下，利用Krasnoselskii不動點定理,得到上述問題具有一個正解的充分條件。

Krasnoselskii不動點定理；正解；脈沖；微分方程組；周期邊值問題

近年來，由于脈沖微分方程具有廣泛的應用背景，已經成為一個重要的研究課題。

文獻[1-2]對脈沖微分方程理論作了系統的研究和論述，建立脈沖微分方程的基本理論、周期解理論、線性系統、擾動系統、穩定性理論、解的漸進理論等。

由于脈沖微分方程自身特點，使其與一般常微分方程有明顯不同。同時，一個簡單的脈沖微分方程也會出現許多新的現象，例如，有規律的撞擊現象、解的合并、解的不連續性等。有許多文獻對其進行了研究[3-15]。

文獻[16]研究了非線性一階脈沖微分方程周期邊值問題：

正解的存在性。

受上述文獻的啟發，研究如下非線性一階脈沖微分方程組周期邊值問題：

正解的存在性。

其中

1 預備知識

定義如下Banach空間：

定理1[16](Krasnoselskii不動點定理)設E是Ban?ach空間，P∈E是E的一個錐，Ω1,Ω2?E是開集，且若是全連續算子，滿足下面兩個條件之一：

則A在上存在一個不動點。

定義1設E是Banach空間，P是E上的一個錐，稱α是E上的非負連續凹泛函，如果是連續的，且對所有滿足

定義2設0＜a＜b和r＞0，α是P上的非負連續凹泛函，定義凸集Pr和P(α,a,b)為

引理1[16]假設，滿足，其中

則

有唯一解為(x(t),y(t)),即

其中

εi(T)≠0， 其中

則

引理2[16]假設滿足

有唯一解為(x(t)，y(t)),即

引理3[16]設和滿足，且

則線性脈沖微分方程組（4）的唯一解滿足

2 主要結果

定義X2=X×X,其中范數為

易知X2是Banach空間。

假設εi(T)≠0，i=1,2。根據引理2，(x,y)∈X2是非線性一階脈沖微分方程組周期邊值問題(1)的解的充分必要條件為

定義 算子

其中

則算子A的不動點就是方程組(1)的解。

定義3稱f(t,u,v)是脈沖Caratheodory函數,如果滿足：

假設下面條件成立：

(A1)：fi,i=1,2.是脈沖Caratheodory函數，且

(A2)：Ii,k(k=1,2,...n,i=1,2)是 連 續 的 ，且 對)有

令

定理2假設 (A1)，(A2)成立，εi(T)＞0,i=1,2。U1,U2,v1,v2,w1,w2,W1,W2如上面所定義，并且滿足：

和

則非線性一階脈沖微分方程組周期邊值問題(1)至少存在一個正解。

證明定義X2上的錐P:

易得(I)：

所以AP?P；

(II)：A是全連續的。

令η＞0滿足，

和

所以

和

所以

則利用定理1得A在上存在至少一個不動點，即是非線性一階脈沖微分方程組周期邊值問題(1)的一個正解。

推論1由定理2得當Wi=Ui=0，vi=wi=+∞,i=1,2時，非線性一階脈沖微分方程組周期邊值問題(1)至少存在一個正解。

定理3假設 (A1)，(A2)成立，εi(T)＞0,i=1,2。u1,u2,V1,V2,w1,w2,W1,W2如上面所定義，并且滿足：

則非線性一階脈沖微分方程組周期邊值問題(1)至少存在一個正解。

類似定理2的證明，可得結論。

推論2由定理3得當ui=Wi=+∞,wi=Vi=0,i=1,2時，非線性一階脈沖微分方程組周期邊值問題(1)至少存在一個正解。

推論3如果存在和M,N,m,n滿足

則非線性一階脈沖微分方程組周期邊值問題(1)至少存在一個正解。

推論4如果存在和M,N,m,n滿足

則非線性一階脈沖微分方程組周期邊值問題(1)至少存在一個正解。

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〔責任編輯 高海〕

The Existence of Positive Solutions for Periodic Boundary Value Problems of First-order Impulsive Differential Equation Systems

GUO Yan-ping，HAN Ying-ying，LI Chun-jing
(College of Science,Hebei University of Science and Technology,Shijiazhuang Hebei,050018)

We study the existence of positive solutions for periodic boundary value problems of first-order impulsive differential equation systems.Firstly,appropriate linear space and norm are defined,and appropriate operator is given.Under the certain condi?tions of nonlinear term and pulse value,by the Krasnoselskii fixed point theory,we provide sufficient conditions under which the above boundary problem system has at least one positive solution.

Krasnoselskii fixed point theorem;positive solution;impulsive;differential equation;periodic boundary value prob?lem

O175.8

A

1674-0874(2015)03-0001-04

2015-03-24

國家自然科學基金資助項目[111371120]；河北省自然科學基金項目[A2013208147]

郭彥平（1965-），男，河北人，博士，教授，研究方向:微分方程邊值問題。