關于環的兩個元素和的性質的進一步討論

林大華,戴立輝

（閩江學院數學系，福建福州350108）

關于環的兩個元素和的性質的進一步討論

林大華,戴立輝

（閩江學院數學系，福建福州350108）

結合環元素的乘法運算，對環中兩個元素和的性質作進一步的討論，得到了若干結果。

環；元素之和；性質

環是具有加法和乘法兩個代數運算的代數結構，加法在環理論中占有極其重要的地位。由于環關于加法構成的代數結構是加群，因此，環R中的兩個元素a,b的和a+b具有加群元素和的所有性質，所以單純討論環中兩個元素和的性質意義不大。本文試圖通過結合環元素的乘法運算來討論環中兩個元素的和，從而進一步得到環的兩個元素和的若干性質。

1 預備知識

用R表示環；當R有單位元時，用1表示R的單位元；用N表示自然數集合。

定義1[1]設R是環，a∈R。

（1）若存在正整數k，使得ak=0，則稱a是冪零元。

（2）若a2=a，則稱a是冪等元。

（3）若R有單位元，且存在a-1∈R，使得aa-1=a-1a=1，則稱a是可逆元，稱a-1是a的逆元。

（4）若a≠0，且存在 0≠b∈R（0≠c∈R），使得ab=0(ca=0)，則稱a是左（右）零因子。

定理1[2]設R是有單位元的環，a,b∈R，則

（2）當ab=ba時，

（3）當ab=ba時，，其中k≥2,k∈N；

（4）當ab=ba時，

其中k≥2,k∈N。

推論1設R是有單位元的環，a∈R，則

定理2[3]設R是有單位元的有限環，a,b∈R，若ab=1，則ba=1。

2 主要結論

定理3設R是環，a,b∈R，則

（1）當a,b是中心元時，a±b也是中心元。

（2）當a,b是冪零元，且ab=ba時，a±b也是冪零元。

（3）當a,b是冪等元，且ab=ba時，a+b也是冪等元?ab=0。

證明（1）因為?r∈R，有ar=ra，br=rb，所以有

(a±b)r=ar±br=ra±rb=r(a±b)，故a±b也是中心元。

（2）由a,b是冪零元知，存在正整數m,n，使得am=0,bn=0。又(a±b)m+n=0，故a±b是冪零元。

（3）由a,b是冪等元，得，所以a+b是冪等元

定理4設R是有單位元的環，且ab=ba，則

（1）當a是冪零元，b是可逆元時，a±b是可逆元。

（2）當a(≠0,1)是冪等元時，a-1既是左零因子，又是右零因子。

證明（1）因為a是冪零元，所以存在正整數k，使得ak=0，于是

故a±b是可逆元，且

（2）因為a是冪等元，所以a2=a，于是，從而由可知，a-1既是左零因子，又是右零因子。

推論2設R是有單位元的環，如果是冪零元，則a±1是可逆元，且當ak=0時，有

定理5設R是有單位元的環，a,b,a+b是R的可逆元，則也是R的可逆元，且

證明由，得，所以由a是可逆元知，是a的逆元，于是有，再由條件可知可逆，由此可知是的逆元，從而有

定理6設R是有單位元的環，，則

推論3設R是有單位元的有限環，a,b∈R，則

證明由定理6及定理2可得：

推論4設R是有單位元的環，a,b∈R，則

（1）當R是有限環時，若a+b=ab（或-ab），則ab=ba。

（2）當a-1（或a+1）是可逆元時，若a+b=ab（或-ab），則ab=ba。

證明（1）因為a+b=ab，所以由推論3，有b-1=(a-1)-1，于是

定理7設R是有單位元的有限環，則

證明（1）由推論4，有，所以當a是可逆元時，有，于是有，因此b是可逆元，且，即。

反之，當b是可逆元時，有，于是有，因此a是可逆元，且，即。

反之，當b是可逆元時，有，于是有，因此a是可逆元，且，即。

[1]熊全淹.近世代數[M].上海：上海科學技術出版社，1978.

[2]韓士安,林磊.近世代數[M].北京：科學出版社，2004.

[3]楊子胥，宋寶和.近世代數習題解[M].濟南，山東科學技術出版社，2003.

Ker words:ring;sum of two elements;property

〔責任編輯 高海〕

Further Discussion on Property of the Sum of Two Elements in Ring

LIN Da-hua,DAI Li-hui
(Department of Mathematics,Minjiang University,Fuzhou Fujian,350108)

In this paper,we deeply discuss property of the sum of two elements by multiplication in ring.

O153.3

A

1674-0874(2015)03-0018-02

2015-02-27

福建省中青年教師教育科研項目[JB13164];閩江學院2013年度教育教學改革研究項目[MJUB2013033]

林大華（1959-），男，福建福州人，副教授，研究方向:代數學。