具有自適應耦合強度的驅動響應網絡牽制同步控制

溫博慧，趙 末

（1.天津財經大學經濟學院金融系，天津300222；2.中國民航大學民航空管研究院，天津300222）

具有自適應耦合強度的驅動響應網絡牽制同步控制

溫博慧1，趙 末2

（1.天津財經大學經濟學院金融系，天津300222；2.中國民航大學民航空管研究院，天津300222）

在系統耦合矩陣無需對稱可約的無限制條件下，將具有自適應時變特性的耦合強度作為系統模型，利用李雅普諾夫穩定性理論、舒爾補引理和自適應技術，提出一種實現復雜網絡間牽制外同步的判別條件，能有效權衡耦合強度、控制器增益和控制器數量三者之間的關系，并通過調整系統參數求得影響驅動響應網絡的控制器數量。數值仿真結果表明，以洛侖茲系統為代表的廣義復雜網絡間能實現外同步，從而驗證該判別條件的正確性，且不同類型金融市場間收益行為的仿真同步控制結果接近于實際同步結果。

復雜網絡；牽制控制；自適應；耦合強度；同步；控制器

1 概述

復雜網絡的泛在性與科學性在現實領域中已被廣泛認知［1-2］，其分析過程需系統科學、計算機科學與控制理論相結合的交叉特質，促使不同領域的研究者提出了諸多網絡模型，以期更逼真地描述和有效調控現實世界［3-4］。在動態復雜網絡中，最引人注目的現象之一是同步效應［5-6］，其可被劃分為內部同步［7］和外部同步［8］2類。內部同步指同一網絡內的集體行為，外部同步則指同步發生在2個或更多網絡之間，而不論內部同步是否發生。隨著復雜動態網絡外同步問題研究的不斷深入，人們需要進一步思考和關注的問題是：如果存在網絡內部節點間狀態同步的計算準則，那么當網絡內節點未實現動力行為統一時，是否存在網絡間節點同步，即網絡外同步的判別準則，并且如何通過控制手段結合網絡特性提高網絡性能并進行行為控制。

本文在系統耦合矩陣不必對稱可約的無限制條件下，針對具有自適應耦合強度的驅動和響應網絡牽制外同步問題，利用李雅普諾夫（Lyapunov）穩定性理論、舒爾補（Schur）引理和自適應技術，提出一個能夠實現牽制外同步的數值條件，并通過調整系統參數值影響響應系統網絡中所需添加的控制器個數。該方法能夠有效權衡耦合強度、控制器增益和控制器數量的關系，實現成本最小化。由于不同類需協調控制的網絡間耦合權值不是某一固定常數，而是實時變化的，因此將具有自適應時變特性的耦合強度作為系統模型。

2 相關知識

牽制控制通過對復雜網絡中部分節點施加控制來確保整個網絡實現同步［9］，避免了傳統控制研究中對網絡海量節點逐一添加控制器的繁瑣和弊端，簡化了耦合拓撲配置，從而節約成本［10］。牽制控制因其優勢，成為近期學者們的研究熱點。相關研究通過Lyapunoy穩定性理論和自適應技術取得了牽制外同步實現的系列條件。文獻［11］借助變分方程計算得出的最大Lyapunoy指數判斷網絡外同步是否能夠實現；文獻［12］針對網絡耦合特性提出一種用于判斷外同步實現的數值條件；文獻［13］針對時滯效應計算了牽制外同步的實現準則。需要說明的是，雖然在對內同步問題的研究中通常要求網絡節點都具有連通性，即整個系統不存在孤立節點，用數學語言描述即為系統耦合矩陣具有對稱可約性，但2個或多個系統之間完全對稱的情況很少出現，外同步實現時允許內部節點孤立，即存在外部耦合矩陣（即節點間外同步關系的數值表現）非對稱可約性的現實。然而，上述文獻計算過程均需系統外部耦合矩陣具備對稱可約性，易導致建模合理性的失衡和無法對系統結構與動態特征做出正確解析［14］。因此，本文忽略了對系統外部耦合矩陣對稱可約的限制，包容系統內部孤立節點的存在，降低了對系統結構的約束，使其所得牽制外同步實現條件、控制策略及優化方法具有更廣泛的應用范圍。

此外，系統耦合強度、控制器增益和牽制控制數量間存在相互制約關系。耦合強度變化對外同步實現的影響強調了將具有自適應耦合強度復雜網絡納入研究的重要意義。由此，如何衡量系統耦合強度、控制器增益和牽制控制數量三者的數值關系，計算網絡間牽制外同步實現的最小控制器數量，以及如何通過參數調整對外同步實現進行控制調節，成為需要進一步研究的問題。

3 模型構建與引理推證

3.1 具有自適應耦合強度的驅動響應網絡模型

本文在文獻［10-13］模型的基礎上，降低對系統外部耦合矩陣對稱可約的要求，引入一個由M個相同的、具有自適應耦合結構的節點構成的復雜網絡，且網絡中每一個節點都是一個M維動力系統。廣義驅動系統復雜網絡的狀態方程表達式為：

其中，i=1，2，…，M；f（·）為描述節點動態特征的非線性函數；χi（t）=（χi1（t），χi2（t），…，χim（t））T∈Rm是節點i的狀態變量；c（t）表示自適應耦合強度；H=（hij）∈RM×M為系統外部耦合矩陣，其對角線元素hii=-∑Mj=1，j1ihij，若節點i，j（i≠j）相關，則hij＞0，否則hij=0；矩陣A為驅動網絡中能夠反映任意兩節點狀態間耦合關系的內部耦合矩陣。

對應驅動系統，將具有自適應耦合強度的響應系統復雜網絡模型表述為：

其中，yi（t）為響應系統網絡中節點的狀態變量；n表示牽制控制器數量。式（2）中其余參數與式（1）中對應參數涵義相同。上述2個系統模型中，外部耦合矩陣H無對稱可約限制。

3.2 相關引理證明

鑒于諸如洛倫茲（Lorenz）系統、Chen系統、Lü系統以及其他系列一致性混沌系統已被驗證為滿足利普希茨（Lipschitz）條件，本文假設f（·）滿足如下不等式：

根據Schur引理［14］，或任意成立等價于線性不等式（簡稱LM I）成立，其中，A（χ）=（A（χ））T；C（χ）=（c（χ））T。于是可得如下引理：引理 若矩陣其中，B1=diag（b1，b2，…，br）為一對角正定矩陣Aˉ，Bˉ∈RM×M，A1，B1∈RT×T（1≤r＜M），且AT1=A1，則當bi（1≤i≤r）足夠大時，A2＜0與Aˉ-Bˉ＜0等價。

該引理可用于推證具有自適應耦合強度的驅動響應網絡牽制外同步的實現條件。

4 實現牽制外同步的數值條件

系統耦合強度與控制器增益和牽制控制器數量之間存在相互影響，在自適應耦合強度復雜網絡下研究三者的關系，不僅可以得到網絡牽制外同步實現的數值條件，而且可計算獲得牽制外同步實現的最小控制器數量。自適應牽制控制器設計如下：

其中，i=1，2，…，n；θ為正常數；ri（t）=yi（t）-χi（t）表示驅動響應網絡系統誤差向量；Ki（t）表示牽制控制器增益。對于1≤i≤n，若di＞0，則Ki（t）與c（t）成正比，即控制器增益正比于網絡系統耦合強度。

將牽制控制器的表達式（4）代入系統誤差模型（式（5））：

將外部耦合矩陣H的對角線元素hii替代為（ρmin/γ）hii，得到H的修正矩陣H∧，記為的最小特征根，γ=A。

構造一個Lyapunoy函數V（t）如式（6）所示：

其中，α和cˉ為待定常數。

根據牽制控制器表達式（4）和系統誤差模型式（5），該函數在式（5）解的方向上關于時間t的導數為：

其中：

記λmin為的最小特征值，為Hμ的最大特征值。根據引理，等價于當α充分小且ˉc充分大時此時，具有自適應耦合強度的驅動和響應系統網絡在自適應牽制控制器（式（4））的作用下可以實現外同步。因此，得出基于具有自適應耦合強度的驅動和響應系統網絡間牽制同步實現的數值條件：

條件 當利Lipschitz條件成立時，如果存在自然數n（1≤n＜M）滿足：

其中，α為正常數；當γ=A時，具有自適應耦合強度的驅動與響應復雜網絡在如式（4）所示的自適應牽制器作用下可以實現牽制外同步。

數值條件中含有網絡節點間耦合強度、牽制控制器數量和牽制控制器增益，是一種可以權衡三者關系的折中性判斷依據。式（8）中α的變化可以對不等式起到調節作用，從而影響最小控制器數量。

5 數值仿真驗證

本文仿真驗證分為廣義性質驗證和具體領域實例驗證兩部分。首先進行廣義性質驗證。由于研究目的之一是得出具有自適應耦合強度的2個廣義系統間實現外同步的判別條件。根據同步定義，在時間t趨于無窮時，若系統間對應節點能夠實現對象狀態一致，則認為這2個系統實現外同步。據此，將該問題轉化為誤差系統的穩定性問題，即若在時間t趨于無窮時，系統中對應節點間的誤差趨于0，則認為系統對應節點間實現同步。為得出在時間t趨于無窮時，系統中對應節點間誤差趨于0的判定條件，應用穩定性理論中的Lyapunov第二穩定性理論，選取適當的Lyapunov函數，利用該函數導數小于0得出系統能夠實現穩定且誤差趨于0的判別條件。由于Lorentz系統已被驗證為滿足Lipschitz條件，一般性地，選擇由6個節點構成的復雜網絡，且網絡中任一節點均由具有典型混沌特性的洛倫茲系統構成。洛倫茲系統的數學描述模型如式（9）所示：沌特征的非線性動力系統。當時，系統具有混沌特性。由于Lorentz系統存在有界性［15-16］，滿足Lipschitz條件，因此式（3）成立。

選取具有自適應變化的函數作為驅動和響應系統網絡的耦合強度。根據引理和式（9）約定的參數δ=60.318，θ=0.004，n=3，di=50，i=1，2，…，n。對自適應耦合強度c（t）和剩余狀態變量的初始值，在區間（0，1）內進行隨機選取。在本例中，選取α=3驗證響應系統網絡中牽制節點數量所產生的影響。

具有自適應耦合強度的驅動和響應系統復雜網絡中對應6個節點的誤差狀態曲線如圖1～圖3所示。圖1表示廣義驅動與響應系統中對應節點實現同步過程中，對應誤差的變化曲線。由圖1可知，在t=4后2個系統間對應節點的第1種狀態間的誤差

Lorentz系統為一類在指定參數下具有明顯混趨于0，也即系統間節點對應的第1種狀態完全實現同步。圖2和圖3表示對應節點間的第2和第3種狀態間對應的誤差變化曲線。可見，當t趨向無窮時，系統間對應節點可以完全實現同步，即本文所得理論具有可行性。

圖1 具有自適應耦合強度的驅動響應系統誤差狀態ri1

圖2 具有自適應耦合強度的驅動響應系統誤差狀態ri2

圖3 具有自適應耦合強度的驅動響應系統誤差狀態ri3

鑒于在應用領域中金融市場已被證實具有復雜網絡特性，以及其間同步問題的存在性和收益數據的易得性，筆者繼而進行以我國不同類型金融市場，股票市場、國債市場和股指期貨市場間收益行為的同步控制作為廣義性質仿真后的具體應用領域驗證。針對各金融市場，選擇2010年9月20日-2014年9月30日上證綜指、上證國債指數和股指期貨指數的日度收益率序列，以相關性對各市場建網，用數值仿真的形式得出系統對應節點間實現外同步的判別條件，驗證本文所得理論結果的有效性。表征其網間外同步的誤差演化形式如圖4所示。在本文模型參數約束下，其在2011年附近誤差接近于0，與實際市場在2011年3月所表現出的高同步時的點接近一致。

圖4 不同類型金融市場的系統誤差狀態

6 結束語

本文基于Lyapunov穩定性理論、Schur引理和自適應技術，提出一種復雜網絡間牽制外同步的判別條件，所得判別條件通過代數表達式進行表達，與現有矩陣不等式方法相比，該方法具有適用范圍廣的優點，無需對外部耦合矩陣進行對稱可約約束，通過模型參數調整響應系統中需要添加的控制器數量，能有效權衡耦合強度、控制器增益和控制器數量三者間的關系，降低成本。從廣義應用價值角度，本文研究適用于不同領域間控制協調和網絡間擁塞控制，從狹義應用價值角度，適用于不同類型金融市場間行為的協調分析和信息網絡間擁塞的外同步滯后控制。鑒于數據可得性，選擇以不同類型金融市場間收益行為的協調作為廣義性質仿真后的具體性驗證。在后續研究中可將本文研究延伸至經濟金融政策的協調設計，對優化網絡結構、提高系統穩定性具有借鑒作用。

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編輯 陸燕菲

Pinning Synchronization Control of Drive and ResPonse Network with AdaPtive CouPling Strength

WEN Bohui1，ZHAO Mo2
（1.Department of Finance，School of Economics，Tianjin University of Finance and Economics，Tianjin 300222，China；2.Institute of Civil Aviation Air Traffic Control，Civil Aviation University of China，Tianjin 300222，China）

Under the condition that the system coup ling matrix is not required to be symmetric，the coupling strength of adaptive time varying characteristics is used as the system model，this paper makes adaptive time-varying characteristic of the coup ling strength as a model of the system Without symmetry restriction.Based on the Lyapunov stability theory，the lemma of Schur and adaptive technique，the discriminant condition can realize pinning external synchronization between comp lex network.The discriminant condition considers the relationship among the coupling strength，controllers numbers and the controller gain，and it has important realistic significance in engineering design，and the minimum number of controller by parameters can be adjusted.Numerical simulations in Lorentz system are given to illustrate the effectiveness of discriminant condition，and synchronous control simulation results of earnings behavior between different types of financial markets and also close to the real high synchronization in financial markets.

com plex network；pinning control；adaptive；coup ling strength；synchronization；controller

溫博慧，趙 末.具有自適應耦合強度的驅動響應網絡牽制同步控制［J］.計算機工程，2015，41（9）：126-130.

英文引用格式：Wen Bohui，Zhao Mo.Pinning Synchronization Control of Drive and Response Network with Adaptive Coup ling Strength［J］.Computer Engineering，2015，41（9）：126-130.

1000-3428（2015）09-0126-05

A

TP273

10.3969/j.issn.1000-3428.2015.09.022

國家自然科學基金青年基金資助項目（71103126）；天津財經大學優秀青年學者培育計劃基金資助項目（YQ1204）。

溫博慧（1981-），女，副教授、博士，主研方向：復雜網絡控制；趙 末，助理研究員、博士。

2014-09-19

2014-10-25 E-m ail：m im iwenh@163.com