基于區間值模糊集的理想化軟BCK代數

劉春輝

1.赤峰學院教務處，內蒙古赤峰024001

2.赤峰學院數學與統計學院，內蒙古赤峰024001

基于區間值模糊集的理想化軟BCK代數

劉春輝1，2

1.赤峰學院教務處，內蒙古赤峰024001

2.赤峰學院數學與統計學院，內蒙古赤峰024001

將Zadeh提出的區間值模糊集概念應用于理想化軟BCK代數問題的研究。借助于BCK代數的區間值模糊理想、區間值（∈，∈∨q）-模糊理想和區間值（∈，∈∨qˉ）-模糊理想的概念，獲得了一個給定的BCK代數上的幾類特殊的理想化軟BCK代數的若干等價刻畫。

BCK代數；區間值模糊集；軟集；理想化軟BCK代數

1　引言

BCK代數是由日本學者Y.Imai和K.Ieski［1-2］于1966年提出的一類邏輯代數，其結構與許多著名的邏輯代數結構密切相關。著名數理邏輯學家R.Cignoli［3］指出，因為偏序交換剩余整獨異點與剩余格都是BCK代數的自然擴張，所以大部分邏輯代數（如MTL代數、BL代數、Heyting代數、R0代數和格蘊涵代數等）都是有界BCK代數的自然擴張。因此對BCK代數的性質和結構的研究具有重要的意義。迄今為止，這方面的研究已經獲得了一批優秀的研究成果［4-8］。1999年，Molodtsov提出了軟集的概念［9］，試圖從參數化的角度為不確定性問題的研究提供一個統一的數學框架。作為一種新的處理不確定性問題的數學工具，軟集理論與模糊集理論和粗糙集理論等具有很強的互補性，相關研究受到了學術界的廣泛關注，由此，也推動了軟集理論研究工作的迅速發展［10-11］。作為軟集理論的應用，文獻［12-15］將軟集概念應用于BCK/BCI代數，提出了軟BCK/BCI代數、軟BCK/BCI代數的軟子代數和理想化軟BCK/BCI代數等概念并討論了這些概念的性質。這些研究工作很好地促進了軟集與代數結構的相互融合，豐富和完善了軟集理論的研究內容。

以上述研究工作為基礎，本文將Zadeh于1975年提出的區間值模糊集［14］概念與軟集概念相結合，定義了基于一個區間值模糊集的∈-軟集，q-軟集和（∈∨q）-軟集的概念，并借助于BCK代數的區間值模糊理想、區間值（∈，∈∨q）-模糊理想和區間值模糊理想的概念對BCK代數上的幾類特殊的理想化軟BCK代數的結構特征進行了刻畫，獲得了一些有意義的結論。

2　預備知識

定義1［1］（2，0）型代數（X，*，0）稱為BCK代數，如果它滿足如下公理，?x，y，z∈X：

BCK-1：（（x*y）*（x*z））*（z*y）=0；

BCK-2：（x*（x*y））*y=0；

BCK-3：x*x=0；

BCK-4：x*y=y*x=0?x=y；

BCK-5：0*x=0。

為了敘述簡潔起見，以下如無特別說明，X均表示BCK代數。

定義2［4］稱BCK代數X的非空子集I為X的理想，若I滿足

（I1）0∈I；

（I2）（?x，y∈X）（（x*y∈I且y∈I）?x∈I）。

定義3［9］設U是論域，P（U）是U的冪集，E是一個非空參數集，A?E，稱二元組（F，A）為U上的一個軟集，這里F:A→P（U）是一個映射。

定義4［13］設X是BCK代數，（F，A）為X上的軟集。如果?x∈A，F（x）=?或F（x）為X的理想，則稱（F，A）為X上的理想化軟BCK代數。

定義5［16］一個區間數a?是指閉區間［a-，a+］，其中0≤a-≤a+≤1。區間數的全體構成的集合記作D［0，1］。特別地，區間［a，a］等同于數a∈［0，1］。

定義6［16］集合X上的一個區間值模糊集（簡稱IV-模糊集）指的是映射:X→D［0，1］，其中（x）=［Θ-（x），Θ+（x）］∈D［0，1］，?x∈X。

特別地，若Θ-（x）+t-＞1，則記。在本文的討論過程中，總假設：］或，?x∈X。

定義7［8］稱BCK代數X上的IV-模糊集為X的區間值模糊理想，如果滿足：

稱BCK代數X上的一個形如

定義8［8］稱BCK代數X上的IV-模糊集為X的區間值（∈，∈∨q）-模糊理想，如果滿足：

引理1［8］BCK代數X上的IV-模糊集為X的區間值（∈，∈∨q）-模糊理想當且僅當滿足：

定義9［8］稱BCK代數X上的IV-模糊集?為X的區間值（∈，∈∨qˉ）-模糊理想，如果?滿足：

注1有關定義8和定義9的具體實例，請參閱文獻［8］，這里不再贅述。

引理2［8］BCK代數X上IV-模糊集?為X的區間值（∈，∈∨qˉ）-模糊理想當且僅當?滿足：

3　基于區間值模糊集的理想化軟BCK代數

（3）F（∈∨q）:A→P（X），，分別稱（F，A），（Fq，A）和（F（∈∨q），A）為X上的基于?的∈-軟集，q-軟集和（∈∨q）-軟集。

反之，設（F，A）為X上的理想化軟BCK代數。若存在a∈X使（0）＜（a），則可選取∈A使得（0）＜≤（a），從而a∈但0∈，進而有a∈F（）≠?但0?F（），這與F（）為X的理想矛盾！故（0）≥（x），?x∈X。若存在a，b∈X使（a）＜rmin｛（a*b），（b）｝，則可選取∈A使得（a）＜≤rmin｛（a*b），（b）｝，從而（a*b）∈，b∈但a∈，即a*b，b∈F（）≠?但a∈F（），這亦與F（）為X的理想矛盾！因此對任意x，y∈X都有（x）≥rmin｛（x*y），（y）｝。綜合便得是X的區間值模糊理想。

即xq，故x∈Fq（）。因此由定義2得Fq（）為X的理想，進而由定義4得（Fq，A）為X上的理想化軟BCK代數。

反之，設（Fq，A）為X上的理想化軟BCK代數。若存在a∈X使（0）＜（a），則可選取∈A使得（0）+≤［1，1］＜（a）+，從而得aq，從而Fq（）≠?，故Fq（）為X的理想，因此0∈Fq（），即（0）+＞［1，1］。這與（0）+≤［1，1］矛盾！因此（0）≥（x），?x∈X。若存在a，b∈X使（a）＜rmin｛（a*b），（b）｝，則可選取∈A使得（a）+≤［1，1］＜rmin｛（a*b），（b）｝+，從而得（a*b）q且bq，進而Fq（）≠?，故Fq（）為X的理想，因此a∈Fq（），從而aq，進而得（a）+＞［1，1］，這與（a）+≤［1，1］矛盾！因此對任意x，y∈X都有（x）≥rmin｛（x*y），（y）｝。綜合便得是X的區間值模糊理想。

反之，設（F，A）為X上的理想化軟BCK代數。若存在a∈X使（0）＜rmin｛（a），［0.5，0.5］｝，則存在∈A使得（0）＜≤rmin｛（a），［0.5，0.5］｝，從而得a∈，進而a∈F（），即F（）≠?，故F（）為X的理想，因此0∈F（），即（0）≥。這與（0）＜矛盾！因此（0）≥rmin｛（x），［0.5，0.5］｝，?x∈X。若a，b∈X使（a）＜rmin｛（a*b），則∈A且（a）＜＜rmin｛（a*b），（b），［0.5，0.5］｝，從而得（a*b）∈且b∈，但a∈。這表明a*b∈F（）且b∈F（），但a∈F（），與F（）為X的理想矛盾！因此對任意x，y∈X都有（x）≥rmin｛（x*y），（y），［0.5，0.5］｝。綜合便得是X的區間值（∈，∈∨q）-模糊理想。

反之，設（F，A）為X上的理想化軟BCK代數。若存在a∈X使（a）＞rmax｛（0），［0.5，0.5］｝，則存在∈A使得（a）≥＞rmax｛（0），［0.5，0.5］｝。一方面，由（0）＜得0∈，因此0∈F（）。另一方面，由（a）≥得a∈F（），從而F（）≠?，故F（）為X的理想，因此又得0∈F（），矛盾！故（x）≤rmax｛（0），［0.5，0.5］｝，?x∈X。若a，b∈X使rmin｛（a*b），（b）｝＞rmax｛（a），［0.5，0.5］｝，則有∈A使得rmin｛（a*b），（b）｝≥＞rmax｛（a），［0.5，0.5］｝。于是得（a*b）∈且b∈，但a∈。這表明a*b∈F（）且b∈F（），但a∈F（），與F（）為X的理想矛盾！因此對任意x，y∈X都有rmin｛（x*y），（y）｝≤rmax｛（x），［0.5，0.5］｝。綜合便得是X的區間值（∈，∈∨qˉ）-模糊理想。

從而0q，故0∈Fq（）。設x，y∈X使x*y∈Fq（）且y∈Fq（），則（x*y）q且yq，即（x*y）+＞［1，1］且（y）+＞［1，1］，因此由（intF4）得

反之，設（F（∈∨q），A）為X上的理想化軟BCK代數。則?∈A，F（∈∨q）（）=?或F（∈∨q）（）為X的理想。若存在a∈X使得（0）＜rmin｛（a），［0.5，0.5］｝，則存在∈A使得［0，0］＜≤［0.5，0.5］且（0）＜≤rmin｛（a），［0.5，0.5］｝，從而0∈且（0）+＜2≤［1，1］，即0qˉ，因此0∈F（）∪Fq（）=F（∈∨q）（）。而由（a）≥知F（∈∨q）（）≠?，從而F（∈∨q）（）為X的理想，故又有0∈F（∈∨q）（），矛盾！因此?x∈X，（0）≥rmin｛（x），［0.5，0.5］｝。設a，b∈X使得

4　結束語

本文將區間值模糊集的思想和運算方法運用于理想化軟BCK代數問題的研究，對一個給定的BCK代數上的若干特殊的的理想化軟BCK代數概念進行了刻畫，獲得了若干有意義的結論。這些結論不但有助于進一步把握BCK代數的結構特征，而且也有助于促進區間值模糊集理論、軟集理論與BCK代數理論間的相互融合與交叉滲透。同時，本文所運用的研究方法對基于其他邏輯代數的類似問題的研究也有一定的借鑒意義。

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Idealistic soft BCK-algebras based on interval valued fuzzy sets.

LIU Chunhui1，2

1.Dean’s Office，Chifeng University，Chifeng，Nei Mongol，024001，China
2.Department of Mathematics and Statistics，Chifeng University，Chifeng，Nei Mongol，024001，China

Apply the concept of interval valued fuzzy sets which introduced by Zadeh to idealistic soft BCK-algebras.By means the notions of interval valued fuzzy ideals，interval valued（∈，∈∨q）-fuzzy ideals and interval valued（∈，∈∨qˉ）-fuzzy ideals in BCK-algebras，some equivalent characterizations of various special idealistic soft BCK-algebras on a given BCK-algebra are obtained.

BCK-algebra；interval valued fuzzy set；soft set；idealistic soft BCK-algebra

A

O141.1

10.3778/j.issn.1002-8331.1311-0194

國家自然科學基金（No.10371106，No.60774073）。

劉春輝（1982—），男，講師，研究領域為非經典數理邏輯、Domain和拓撲學。E-mail：chunhuiliu1982@163.com

2013-11-13

2014-01-02

1002-8331（2015）22-0066-04

CNKI網絡優先出版：2014-04-01，http://www.cnki.net/kcms/doi/10.3778/j.issn.1002-8331.1311-0194.html